[Toán 10]Bdt

[bigbang195]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{b^2+c+a}+\frac{1}{c^2+a+b}\leq 1[/TEX].


.

Chỉ cần sử dụng

[TEX](a^2+b+c)(1+b+c) \ge 9[/TEX] .

 

[quyenuy0241]

Chỉ cần sử dụng

[TEX](a^2+b+c)(1+b+c) \ge 9[/TEX] .

Cách khác :

[tex]BDT \Leftrightarrow \sum{\frac{c^2-c}{c^2-c+3} \ge 0[/tex]

[tex]\frac{c^2-c}{c^2-c+3} =(c-1).\frac{1}{c+\frac{3}{c}-1}[/tex]

Áp dụng BDT chebyshev cho 2 dãy cùng chiều
[tex]c-1,b-1,c-1[/tex]
[tex]\frac{1}{c+\frac{3}{c}-1},......,.....[/tex]

suy ra được luôn đpcm

 

[ivory]

Cách khác :

[tex]BDT \Leftrightarrow \sum{\frac{c^2-c}{c^2-c+3} \ge 0[/tex]

[tex]\frac{c^2-c}{c^2-c+3} =(c-1).\frac{1}{c+\frac{3}{c}-1}[/tex]

Áp dụng BDT chebyshev cho 2 dãy cùng chiều
[tex]c-1,b-1,c-1[/tex]
[tex]\frac{1}{c+\frac{3}{c}-1},......,.....[/tex]

suy ra được luôn đpcm

có [TEX]\frac{c^2-c}{c^2-c+1}\ge \frac{c-1}{3}\Leftrightarrow\frac{(c-1)^2(3-c)}{c^2-c+1}\ge 0[/TEX] , đúng vì [TEX]0\le c<3[/TEX]
làm thêm 2 bdt tương tự cho a,b\geqdpcm

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

[TEX]\frac{1}{\sqrt[]{a^3+2b^3+6}}+\frac{1}{\sqrt[]{b^3+2c^2+6} }+\frac{1}{\sqrt[]{c^3+2a^2+6}}\leq1[/TEX]

a,b,c là 3 số dương và abc=1

 

[vodichhocmai]

[TEX] \frac{1}{\sqrt[]{a^3+2b^3+6}}+\frac{1}{\sqrt[]{b^3+2c^2+6} }+\frac{1}{\sqrt[]{c^3+2a^2+6}}\leq1[/TEX]
a,b,c là 3 số dương và abc=1

[TEX]\( \frac{1}{a^3+2b^3+6}+\frac{1}{b^3+2c^2+6} +\frac{1}{c^3+2a^2+6}\)\(1+1+1\) \geq \(\frac{1}{\sqrt[]{a^3+2b^3+6}}+\frac{1}{\sqrt[]{b^3+2c^2+6} }+\frac{1}{\sqrt[]{c^3+2a^2+6}}\)^2 \ \ \(1\)[/TEX]

[TEX]\left{a^3+b^3+1 \ge 3ab \\ b^3+1+1 \ge 3b[/TEX]

[TEX]\righ a^3+2b^3+6 \ge 3\(b+ab+1\)[/TEX]

[TEX]\righ \sum_{cyclic} \frac{1}{a^3+2b^3+6}\le \sum_{cyclic} \frac{1}{3 \(b+ab+1\)}=\frac{1}{3} \(2 \)[/TEX]

[TEX] \(1\)&\(2\)\righ \(\frac{1}{\sqrt[]{a^3+2b^3+6}}+\frac{1}{\sqrt[]{b^3+2c^2+6} }+\frac{1}{\sqrt[]{c^3+2a^2+6}}\)^2 \le 1[/TEX]

[TEX]\righ \frac{1}{\sqrt[]{a^3+2b^3+6}}+\frac{1}{\sqrt[]{b^3+2c^2+6} }+\frac{1}{\sqrt[]{c^3+2a^2+6}} \le 1\ \ \ \ \(dpcm\)[/TEX]

 

[duynhan1]

Bài mới!!

[TEX]a,b,c>0 ; a^2+b^2+c^2=abc[/TEX]. Tìm MAX:
[TEX]P= \sqrt{\frac{a}{4a^2 +7}} + \sqrt{\frac{b}{4b^2 +7}} + \sqrt{\frac{c}{4c^2 +7}}[/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX]a,b,c>0 ; a^2+b^2+c^2=abc[/TEX]. Tìm MAX:
[TEX]P= \sqrt{\frac{a}{4a^2 +7}} + \sqrt{\frac{b}{4b^2 +7}} + \sqrt{\frac{c}{4c^2 +7}}[/TEX]

Đặt [TEX]a=\frac{1}{x}; b= \frac{1}{y}; c=\frac{1}{z} [/TEX]

[TEX]GT \Leftrightarrow x+y+z\leq1[/TEX].

[TEX]\Rightarrow[/TEX] Tìm MAX:

[TEX]P=\sum \sqrt{\frac{x}{7x^2+4}[/TEX]

[TEX]Cauchy - Schwarz:[/TEX]

[TEX]P^2\leq 3\sum \frac{x}{7x^2+4}[/TEX]

Tiếp tục sử dụng hợp lý Cauchy cho mẫu, sau đó sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu ta tìm được MAX

 

[duynhan1]

Anh thử sử dụng Cauchy mẫu đi anh ^^!, ra x nhưng làm sao tìm đc max của nó ?

[TEX]P^2 \leq \frac37 \sum \frac{x}{x^2+\frac19 + \frac{29}{63}[/TEX]

[TEX]P^2 \leq \frac37 \sum \frac{x}{\frac{2x}{3} + \frac{29}{63}[/TEX]

[TEX]P^2\leq \frac37( \frac{9}{2} - \frac{87}{2} \sum \frac{1}{42x+89})[/TEX]

[TEX]Cauchy-Schwarz :[/TEX]

[TEX]P^2 \leq \frac{27}{43}[/TEX]

 

[quyenuy0241]

.
Theo đầu bài đặt [TEX]\sum a=\sum \frac{1}{x}[/TEX]

[TEX]a^2+b^2+c^2 \ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}[/TEX]

hay [TEX]\left { abc \ge 27 \\ a+b+c \ge 9[/TEX]

tức[TEx]\sum \frac{1}{x} \ge 9[/TEx]

chứ không kết luận được [TEX]\sum \frac{1}{42x+89}[/TEX] lớn hơn 1 cái gì đó

em hỉu nhầm rùi
[tex]abc=a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ac \Rightarrow x+y+z \le 1 [/tex]

với [tex]\frac{1}{a}=x,y=\frac{1}{b},,z=\frac{1}{c}[/tex]

[TEX]\sum \frac{1}{42x+89} \ge \frac{9}{42(x+y+z)+89.3} \ge.......[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Anh mới chế

Ch ba số thực dương [TEX]a,b,c>0[/TEX] thoả mãn [TEX]ab+bc+ca=7[/TEX] Tìm giá trị nhỏ nhất của

[TEX]L:=6a^2+6b^2+c^2[/TEX]&gt;-

 

[vodichhocmai]

Chế con này khó hơn

Ch ba số thực dương [TEX]a,b,c>0[/TEX] thoả mãn [TEX]ab+bc+ca=1[/TEX] Tìm giá trị nhỏ nhất của

[TEX]L:=6a^2+9b^2+20c^2[/TEX]&gt;-

 

[duynhan1]

Ch ba số thực dương [TEX]a,b,c>0[/TEX] thoả mãn [TEX]ab+bc+ca=7[/TEX] Tìm giá trị nhỏ nhất của

[TEX]L:=6a^2+6b^2+c^2[/TEX]&gt;-

Con này quen quen để em xử nó )

[TEX]\frac32(a^2 + b^2) \geq 3ab[/TEX]

[TEX]\frac92 a^2 + \frac12 c^2 \geq 3ac[/TEX]

[TEX]\frac92 b^2 + \frac12 c^2 \geq 3bc[/TEX]

Cộng lại có được điều cần tìm

DONE!!!!

 

[duynhan1]

Ch ba số thực dương [TEX]a,b,c>0[/TEX] thoả mãn [TEX]ab+bc+ca=1[/TEX] Tìm giá trị nhỏ nhất của

[TEX]L:=6a^2+9b^2+20c^2[/TEX]&gt;-

[TEX]\left{ \begin{xa^2=yb^2}\\{(6-x)a^2=zc^2}\\{(9-y)b^2=(20-z)c^2}\\{\sqrt{xy} = \sqrt{(6-x)z} = \sqrt{(9-y)(20-z)}[/TEX]

 

[quyenuy0241]

a,b,c >0 :[tex]a^2+b^2+c^2=3 [/tex]

CMR:[tex] \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge \frac{9}{a+b+c} [/tex]

 

[quyenuy0241]

2 với a,b,c không âmCMR:


.[tex]\sum\frac{a^2+64bc}{(b+c)^2} \ge 18 [/tex]

 

[quyenuy0241]

2 với a,b,c không âmCMR:


.[tex]\sum\frac{a^2+64bc}{(b+c)^2} \ge 18 [/tex]

bài này hơi khủng!

[tex]E(a,b,c)= \sum\frac{a^2+64bc}{(b+c)^2} [/tex]

giả sử [tex]c \ge b \ge a [/tex]
1.[tex]Th_1: 64b^3 \ge c^2(a+2b) [/tex]
ta sẽ CM: [tex]E(a,b,c) \ge E(0,b,c) \ge 18 [/tex]

[tex]\frac{E(a,b,c)-E(0,b,c)}{a}=\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{64c^3-b^2(a+2c)}{c^2(c+a)^2}+\frac{64b^3-c^2(a+2b)}{b^2(b+a)^2} > \frac{64c^3-b^2(a+2c)}{c^2(c+a)^2} \ge \frac{64b^2c-b^2(c+2c)}{c^2(c+a)^2}=\frac{63b^2c}{c^2(c+a)^2} >0 [/tex]

[tex](*)E(0.b,c)-18=\frac{64bc}{(b+c)^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{b^2}-18[/tex]

[tex]Dat-> x=\frac{b}{c}+\frac{c}{b}[/tex]

Cần CM:
[tex]E(0,b,c)-18 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{64}{x+2}+x^2-18=\frac{(x-2)^2(x+6)}{x+2} \ge 0 [/tex]

[tex](**)TH_2: c^2(a+2b)> 64b^3[/tex]chỉ cần CM:

[tex]\frac{c^2+64ab}{(a+b)^2} - 18 \ge 0[/tex]

[tex]VT >64b.\frac{\frac{b^2}{a+2b}+a}{(a+b)^2}-18=64\frac{b}{a+2b}-18=\frac{64}{3}-18=\frac{10}{3}>0[/tex]
Để ý : [tex]a+2b >0 ,3b > 0,[/tex]

Xong!!!

@p/s : Đoạn cuối hơi rắc rối để ý kĩ nhá !! rất hay đó !
Ai có cách khác ngắn hơn thì post lên nhá!!thank you!!

 

[vodichhocmai]

Cho các số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX] chứng minh rằng

[TEX]\frac{a(3a+b)}{(a+b)^{2}}+\frac{b(3b+c)}{(b+c)^{2}}+\frac{c(3c+a)}{(c+a)^{2}}\ge 3[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Có ai nhận ghi lại tất cả các bài giải trong box này và chọn lọc nó tạo thành file PDF bất đẳng thức hocmai.vn không ta . Chắc nó thú vị lắm.

Nếu điều đó thành công thì anh sẽ Del cái topic này và nhờ [TEX]Namtuocvva[/TEX] lập ra cái khác cho dễ quản lí

Ai hy sinh không ?

Có gì liên hệ với anh khanhsy1452@yahoo.com

 

[duynhan1]

Có ai nhận ghi lại tất cả các bài giải trong box này và chọn lọc nó tạo thành file PDF bất đẳng thức hocmai.vn không ta . Chắc nó thú vị lắm.

Nếu điều đó thành công thì anh sẽ Del cái topic này và nhờ [TEX]Namtuocvva[/TEX] lập ra cái khác cho dễ quản lí

Ai hy sinh không ?

Bài nhiều thế sao làm nổi anh, mà có làm chắc cũng phải để hết thi học kỳ chứ chừ đang thi học kỳ II nên bận

 

[vodichhocmai]

Bài nhiều thế sao làm nổi anh, mà có làm chắc cũng phải để hết thi học kỳ chứ chừ đang thi học kỳ II nên bận

Ok bao giờ rảnh thì làm thôi trong vong khoảng 2 tháng-3tháng là đượ mà

Bây giờ có mài mới đây

Cho ba số thực dương thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX] chứng minh rằng

[TEX]\sum_{cyclic}\frac{1}{b^2+5ab}\ge \frac{1}{2}[/TEX]