[Toán 10]Bdt

[bigbang195]

Cho ba số thực dương thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX] chứng minh rằng

[TEX]\sum_{cyclic}\frac{1}{b^2+5ab}\ge \frac{1}{2}[/TEX]

Hướng dẫn

[TEX]Setting\ \ a=\frac{x}{y[/TEX] .

 

[bigbang195]

Cho các số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX] chứng minh rằng

[TEX]\frac{a(3a+b)}{(a+b)^{2}}+\frac{b(3b+c)}{(b+c)^{2}}+\frac{c(3c+a)}{(c+a)^{2}}\ge 3[/TEX]

Vậy bài này coi như xong

 

[vodichhocmai]

Cho các số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX] chứng minh rằng

[TEX]\frac{a(3a+b)}{(a+b)^{2}}+\frac{b(3b+c)}{(b+c)^{2}}+\frac{c(3c+a)}{(c+a)^{2}}\ge 3[/TEX]

[TEX]LHS:= \sum_{cyclic}\frac{\[\frac{a\(3a+b\)}{a+b}\]^2}{a(3a+b)}\ge \frac{\[3\sum_{cyclic}a-\sum_{cyclic}\frac{2ab}{a+b} \]^2}{3(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}\ge 3[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]LHS:= \sum_{cyclic}\frac{\[\frac{a\(3a+b\)}{a+b}\]^2}{a(3a+b)}\ge \frac{\[3\sum_{cyclic}a-\sum_{cyclic}\frac{2ab}{a+b} \]^2}{3(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca}\ge 3[/TEX]

BDT cuối CM thế nào ạ .:-??

 

[vodichhocmai]

Cho các số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX] chứng minh rằng

[TEX]\frac{a(3a+b)}{(a+b)^{2}}+\frac{b(3b+c)}{(b+c)^{2}}+\frac{c(3c+a)}{(c+a)^{2}}\ge 3[/TEX]

[TEX]Afin \longrigh^{x=\frac{b}{a}} \ \ LHS:=\sum_{cyclic}^{xyz=1}\frac{x+3}{(x+1)^2}[/TEX]

[TEX]\ \ =\sum_{cyclic}^{xyz=1} \[\frac{1}{x+1} +\frac{2}{\(x+1\)^2}\][/TEX]

Dễ thấy rằng

[TEX]\left{\frac{1}{\(x+1\)^2}+\frac{1}{\(y+1\)^2}\ge \frac{1}{xy+1} \\ \frac{1}{x+1} +\frac{1}{yz+1}=1[/TEX]

Vậy bài toán là xong

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c >0[/TEX] . Chứng minh

[TEX]\sum_{cyc} \frac{a}{b} \ge \sum_{cyc} \frac{a+b}{a+c}[/TEX]

 

[vodichhocmai]

[TEX]a,b,c >0[/TEX] . Chứng minh

[TEX]\sum_{cyc} \frac{a}{b} \ge \sum_{cyc} \frac{a+b}{a+c} [/TEX]

Hướng dẫn

[TEX] \Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a}{b} \ge \sum_{cyc} \frac{1+\frac{b}{a}}{1+\frac{c}{a}} [/TEX]

[TEX]Afin\longrigh_{xyz=1}^{x=\frac{a}{b}} Done!![/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX]a,b,c >0[/TEX] . Chứng minh

[TEX]\sum_{cyc} \frac{a}{b} \ge \sum_{cyc} \frac{a+b}{a+c}[/TEX]

[TEX]\sum_{cyc} \frac{a+b}{a+c} \leq \sum_{cyc} (a+b)(\frac{1}{4} (\frac{1}{a} + \frac{1}{c})) =\sum_{cyc} \frac{a}{2c} + \sum \frac{a}{4b} + \frac{1}{4} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow CM: \sum \frac{a}{b} \geq \sum \frac{a}{c}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a-b)(c-b)(c-a) \geq 0[/TEX] :-/

 

[bigbang195]

[TEX]\sum_{cyc} \frac{a+b}{a+c} \leq \sum_{cyc} (a+b)(\frac{1}{4} (\frac{1}{a} + \frac{1}{c})) =\sum_{cyc} \frac{a}{2c} + \sum \frac{a}{4b} + \frac{1}{4} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow CM: \sum \frac{a}{b} \geq \sum \frac{a}{c}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a-b)(c-b)(c-a) \geq 0[/TEX] :-/

BDT này chỉ đúng với [TEX]a \ge b \ge c[/TEX] .

 

[duynhan1]

[TEX]a,b>0; 2a+3b=ab[/TEX]

TÌm min: [TEX] a^b+b^2[/TEX]
------------------------------------------------------------------------------

 

[bigbang195]

Chứng minh hộ em công thức này

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c [/TEX]dương thoả mãn [TEX]a+b+c=abc.[/TEX] Chứng minh

[TEX]\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+ \frac{1}{\sqrt{1+c^2}} \le \frac{3}{2}[/TEX]

 

[quyenuy0241]

[TEX]a,b,c [/TEX]dương thoả mãn [TEX]a+b+c=abc.[/TEX] Chứng minh

[TEX]\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+ \frac{1}{\sqrt{1+c^2}} \ge \frac{3}{2}[/TEX]

[tex] \sum{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\sum{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\sum{\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}} \le \frac{1}{2} \sum{(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})=\frac{3}{2}[/tex]

do[tex] xy+yz+xz=1 [/tex]


Với [tex]\frac{1}{a}=x,,,,\frac{1}{b}=y,,,,\frac{1}{c}=z [/tex]

Đề bài của em sai hay anh giải sai nhỷ

 

[bigbang195]

cho [TEX]a,b,c \ge 0 [/TEX]c/m

[tex]\sum \frac{b + c}{2a^{2} + bc} \geq \frac{6}{a + b + c}[/tex]

 

[bigbang195]

dương. Chứng minh

 

[doremon.]

Món quà đặc biệt

Sau 2 ngày làm việc , trong đầu t tự dưng nghĩ làm xong việc này thì mình có thể học thêm môn văn để thi vào học viện báo trí và tuyên truyền hay không ???

Tặng tất cả mọi người đã , đang và sẽ yêu mến BĐT đặc biệt là xin gửi tặng đến các anh chị 12 đang cần tài liệu ôn thi đại học về BĐT


Có gì sai sót mong các bạn góp ý để hoàn thiện thêm về cuốn sách đặc biệt này

100 bài tập về BĐT

or ở đây

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương. Chứng minh rằng

[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge 2[/TEX]

 

[dandoh221]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương. Chứng minh rằng

[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge 2[/TEX]

Quy đồng mẫu số và rút gọn ta được
[TEX]a^3+b^3+c^3+3abc \ge \sum_{sym} a^2b[/TEX]
Schur bậc 3

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c [/TEX]dương. Chứng minh

[TEX]a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c) \ge 2\sum a^2b^2[/TEX]

 

[quyenuy0241]

[TEX]a,b,c[/TEX] dương. Chứng minh rằng

[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge 2[/TEX]

[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}-\frac{3}{2}+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\frac{1}{2} \ge 0 [/tex]

Có các phân tích sau!
[tex]\sum{(\frac{a}{b+c}-\frac{1}{2})=\sum{\frac{(a-b)+(a-c)}{2(b+c)}=\sum{\frac{a-b}{2(b+c)}+\sum\frac{a-b}{2(a+c)}=\sum{\frac{a-b}{2}.(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+c})=\sum{\frac{(a-b)^2}{2(b+c)(c+a)}[/tex]

[tex]\frac{(a+b)(a+c)(c+a)-8abc}{2(a+b)(a+c)(c+b)}=\sum{\frac{c}{2(a+b)(b+c)(c+a)}(a-b)^2[/tex]

[tex]BDT \Leftrightarrow \sum{(\frac{1}{(b+c)(c+a)}-\frac{c}{(a+b)(b+c)(c+a)})(a-b)^2 [/tex]

[tex]S_c=\frac{1}{(b+c)(c+a)}-\frac{c}{(a+b)(b+c)(c+a) }=\frac{a+b-c}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/tex]

[tex]S_b=\frac{1}{(a+b)(b+c)}-\frac{b}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{a+c-b}{(a+b)(a+c)(b+c)}[/tex]

[tex]S_a=\frac{1}{(a+b)(a+c)}-\frac{a}{(a+b)(a+c)(b+c)}=\frac{b+c-a}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/tex]

[tex](*)Th_1 a \ge b \ge c [/tex]

[tex] \Rightarrow S_b \ge 0,, S_c \ge 0 [/tex]

[tex]S_b+S_a=\frac{2c}{(a+b)(a+c)(b+c)} \ge 0 [/tex]

[tex](*)TH_2 ,,,a \le b \le c [/tex]tương tự như trên!!!