[Toán 10]Bdt

Status
Không mở trả lời sau này.
V

vodichhocmai

[TEX]\left{ 3(1+r\)=p^2+pq+q^2\\ a^4+b^4+c^4+r\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)+\(p+q-r-1\)abc\(a+b+c\) \ge p\(a^3b+b^3c+c^3a\)+q\(ab^3+bc^3+ca^3\)[/TEX]

Nó là luôn đúng vì :

[TEX]VT-VP:=\frac{1}{t}\sum_{cyclic} \[ 2a^2-b^2-c^2-pab+\(p+q\)bc-qca\]^2[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
Q

quyenuy0241

Cho [tex]a,b,c >0 -Tm: xyz=1 [/tex]


1.[tex]\frac{a-1}{b}+\frac{b-1}{c}+\frac{c-1}{a} \ge 0[/tex]

2.[tex]\frac{a-1}{b+c}+\frac{b-1}{a+c}+\frac{c-1}{a+b} \ge 0 [/tex]
 
Last edited by a moderator:
Q

quyenuy0241

[tex] a,b,c,d>0 [/tex]

[tex]CMR: \frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+cb}+\frac{1}{c^2+cd}+\frac{1}{d^2+ad} \ge \frac{4}{ac+bd}[/tex]
 
Q

quyenuy0241

[tex]a,b,c [/tex]không âm !

CMr;[tex]\frac{1}{3a^2+bc}+\frac{1}{3b^2+ac}+\frac{1}{3c^2+ab} \ge \frac{5}{3(ab+bc+ac)}[/tex]
 
I

ivory

bigbang195 said:
[TEX]a,b,c[/TEX] dương. Chứng minh rằng

[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge 2[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
mình giải thế này ,đặt [TEX]\frac{a}{b+c}=x, \frac{b}{a+c}=y, \frac{c}{a+b}=z[/TEX], ta cần cm nều [TEX]x,y,z >0, 2xyz+xy+yz+zx=1[/TEX] thì ta luôn có
[TEX]x+y+z+4xyz\ge 2[/TEX]
Th1[TEX]x+y+z\ge 2[/TEX], ta thấy đúng.
Th2[TEX]\frac{3}{2}\le x+y+z=k<2[/TEX]
[TEX]xyz\ge (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)\Leftrightarrow9xyz\ge 4k(xy+yz+zx)-k^3[/TEX]
cùng với gt ta cần cm[TEX]k+\frac{16k-4k^3}{9+8k}\ge 2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(4k^2-9)(k-2)\le 0[/TEX], đúng
đẳng thức
th1, nếu [TEX]a,b,c\ge 0[/TEX] thì [TEX]a=0, b=c=1[/TEX], hoặc hoán vị
th2, [TEX]a=b=c[/TEX]
 
N

namtuocvva18

Cho x,y,z dương. Chứng minh:
[TEX]x^2+y^2+z^2+\sqrt{3xyz(x+y+z)}\geq 2(xy+yz+zx)[/TEX].
 
N

namtuocvva18

2,Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2(ab+bc+ca)}[/TEX].


3, Cho x,y,z dương và [TEX]x+y+z=3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{x^3}{y^3+8}+\frac{y^3}{z^3+8}+\frac{z^3}{x^3+8}\geq \frac{1}{9}+\frac{2}{27}.(xy+yz+zx)[/TEX].
 
N

namtuocvva18

4,Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}+\frac{ca}{b(b+c)}\geq \frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}[/TEX].

5, Cho a,b,c không âm và [TEX]ab+bc+ca=3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge \frac{3}{2}[/TEX].
 
Last edited by a moderator:
N

namtuocvva18

Hi lap MO 2007

Cho a,b,c la do dai ba canh tam giac. Chung minh:
[TEX]\frac{(b+c-a)^4}{a(a+b-c)}+\frac{(c+a-b)^4}{b(b+c-a)}+\frac{(a+b-c)^4}{c(c+a-b)}\geq ab+bc+ca[/TEX].
 
N

namtuocvva18

7,Cho các số thực x,y,z và [TEX]xy+yz+zx=-1[/TEX]. Tìm Min:
[TEX]P=x^2+5y^2+8z^2[/TEX].


8,Cho a,b,c dương và [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}[/TEX].
 
Last edited by a moderator:
N

namtuocvva18

Cho a,b,c dương và [TEX]a^2+b^2+c^2+abc=4[/TEX]. Chung minh:
[TEX]\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq a^2+b^2+c^2[/TEX].
 
I

ivory

bigbang195 said:
gif.latex
dương. Chứng minh

gif.latex
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
ta có [TEX]\frac{(a-b)^2}{2(b+c)(a+c)}=x, [/TEX]
[TEX]\frac{(b-c)^2}{2(b+a)(c+a)}=y[/TEX]
[TEX]\frac{(c-a)^2}{2(a+b)(c+b)}=z[/TEX]
bất đẳng thức trở thành [TEX]x+y+z\ge 3\sqrt[3]{xyz}[/TEX]
 
Q

quyenuy0241

namtuocvva18 said:
5, Cho a,b,c không âm và [TEX]ab+bc+ca=3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge \frac{3}{2}[/TEX].
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[tex]a^2+b^2+c^2+3 \ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3a^2b^2c^2[/tex]

[tex]AM-GM: (a+b+c)(ab+bc+ac) \ge 9abc \Rightarrow a+b+c \ge 3abc[/tex]
cách đơn giản nhất là dưa về đồng bậc!!:D:D
[tex]BDT \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3 \ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc(a+b+c)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (ab+bc+ac)(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ac)^2) \ge 3(a^2b^2+b^2c^2+a^c^2)+3abc(a+b+c)[/tex]

\Leftrightarrow[tex]ab(a-b)^2+bc(b-c)^2+ac(a-c)^2 \ge 0 [/tex] Luôn đúng!!!8-x.8-x
 
Q

quyenuy0241

namtuocvva18 said:
2,Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{2(ab+bc+ca)}[/TEX].
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
2.

[tex]\sum{(\frac{a}{b+c}-\frac{1}{2})=\sum{\frac{(a-b)+(a-c)}{2(b+c)}=\sum{\frac{a-b}{2(b+c)}+\sum{\frac{b-a}{a+c}=\sum{\frac{a-b}{2}.(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+c})=\sum{\frac{(a-b)^2}{2(b+c)(c+a)}}[/tex]

[tex]\frac{3}{2}(\frac{a^2+b^2+b^2}{ab+bc+ac}-1)=\frac{3}{4}(\frac{(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2}{ab+bc+ac})[/tex]

Cần Cm:[tex]S_a(b-c)^2+S_b(a-c)^2+S_c(a-b)^2 \ge 0[/tex]

Với [tex]S_c=\frac{3}{4(ab+bc+ac)}-\frac{1}{2(a+c)(b+c)}=\frac{3c^2+3ab+3ac+3bc-2(ab+bc+ac)}{(a+c)(b+c)(ab+ac+bc)} =\frac{3c^2+ab+bc+ac}{(a+c)(b+c)(ab+ac+bc)}[/tex]

Tương tự cho[tex]S_b,,S_a \ge 0 [/tex] \Rightarrow BDT đúng!!:confused::confused:
 
Q

quyenuy0241

namtuocvva18 said:
3, Cho x,y,z dương và [TEX]x+y+z=3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{x^3}{y^3+8}+\frac{y^3}{z^3+8}+\frac{z^3}{x^3+8}\geq \frac{1}{9}+\frac{2}{27}.(xy+yz+zx)[/TEX].
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


[tex]\frac{x^3}{y^3+8}=\frac{x^3}{(y+2)(y^2-2y+4)}[/tex]............

[tex]\frac{x^3}{y^3+8}+\frac{y+2}{27}+\frac{y^2-2y+4}{27} \ge \frac{x}{3} [/tex]

[tex]\Rightarrow\frac{x^3}{y^3+8} \ge \frac{9x+y-y^2-6}{27}[/tex]

Các BDT khác tương tự!!:D:D
Cộng

[tex]Vt \ge \frac{10(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2)-18}{27}=\frac{12-(x^2+y^2+z^2)}{27}=\frac{3+(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{27}=\frac{1}{9}+\frac{2(xy+yz+xz)}{27}[/tex]
Xong!!
 
V

vodichhocmai

Anh mới chế

Cho [TEX]7[/TEX] số thực không âm thoả mãn điều kiện [TEX]8\(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1\)=3\(a_4a_5+a_5a_6+a_6a_7+a_7a_4\)[/TEX] chứng minh rằng

[TEX]25\(a_1^2+a_2^2+a_3^2...+a_7^2\)\ge \(a_1+a_2+a_3+...+a_7\)^2[/TEX]:)&gt;-
 
Q

quyenuy0241

namtuocvva18 said:
8,Cho a,b,c dương và [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}[/TEX].
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[tex](*)a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc [/tex]
[tex](*)3\sqrt[3]{abc}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \ge 9 [/tex]

[tex]\Rightarrow abc \ge 1[/tex]

[tex]\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \ge 3\sqrt[6]{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge 3\sqrt[6]{8abc} \ge 3\sqrt{2}[/tex]
 
Status
Không mở trả lời sau này.
Top Bottom