[Toán 10]Bdt

[quyenuy0241]

Em nhầm !
nhưng BDT của anh sai với [TEX]x+y+z=\frac{1}{2}[/TEX]

Đầu bài cũng không bảo là tìm [TEX]Mix[/TEX]

ai bảo sai :VT=-3,6 ....VP=-4.5........
[tex]Sai?????? WHY?????[/tex]

 

[bigbang195]

[tex]\frac{9}{x+y+z-3} \ge \frac{-9}{2}[/tex]

BDT của anh sai với [TEX]x+y+z=\frac{1}{2}[/TEX]

^^!

 

[bigbang195]

Hinhf như anh làm đúng rùi

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq \frac{3}{4}[/TEX].

 

[bigbang195]

Cho a,b,c dương và [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq \frac{3}{4}[/TEX].

Để ý
[TEX](b+c)^2 \le 2(b^2+c^2)[/TEX]
vậy chỉ cần chứng minh
[TEX]\sum \frac{a}{b^2+c^2} \ge \frac{3}{2}[/TEX]
ta Lại có
[TEX]\sum \frac{a}{b^2+c^2}=\sum \frac{a}{3-a^2}=\sum \frac{a}{4-(a^2+1)} \ge \frac{a}{4-2a}[/TEX]
vậy cần chứng minh [TEX]\sum \frac{a}{2-a} \ge 3[/TEX]
Mặt khác sử dụng AM-GM
[TEX]\sum \frac{a}{2-a}=\sum \frac{a^2}{(2-a)a} \ge \sum a^2=3[/TEX]

em làm ở cả bên Boxmath rùi đó :-/:-/:-/:-/

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=abc[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{b^2}}+ \sqrt{1+\frac{1}{c^2}}[/TEX].

 

[bigbang195]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=abc[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{b^2}}+ \sqrt{1+\frac{1}{c^2}}[/TEX].

Áp dụng MINCOPKY kêt hợp
[TEX]\sum \frac{1}{a} \ge \sqrt{3\sum \frac{1}{ab}}[/TEX]

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c là độ dai ba canh tam giác. Chúng minh:
[TEX]\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}[/TEX].

 

[bigbang195]

Cho a,b,c dương. Chúng minh:
[TEX]\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}[/TEX].

[TEX](\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a})^2 \le 2[(a+b-c)+(b+c-a)]=4a[/TEX]
Xây dựng các bdt tương tự

 

[bigbang195]

Cho a,b,c là độ dai ba canh tam giác. Chúng minh:
[TEX]\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}[/TEX].

Bất đẳng thức tổng quát
[TEX]\sqrt[n]{a+b-c}+\sqrt[n]{b+c-a}+\sqrt[n]{c+a-b}\leq \sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}[/TEX].

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX](a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 3(a+b+c)^2[/TEX].

 

[bigbang195]

Anh không cần sửa đâu vì dưới căn bậc 2 để tồn tại thì nó phải dương ^^

 

[quyenuy0241]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=abc[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{b^2}}+ \sqrt{1+\frac{1}{c^2}}[/TEX].

[tex]a+b+c=abc \Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=1[/tex]
Đặt[tex] \frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y ,\frac{1}{c}=z \Rightarrow xy+yz+zx =1[/tex]
[tex]P=\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}[/tex]
[tex](1+x^2)(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}) \ge (\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{x}{3})^2 [/tex]
hay [tex]\sqrt{1+x^2} \ge \frac{3}{2} (\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{x}{3})[/tex]
[tex](x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+xz) = 3 \Rightarrow x+y+z \ge \sqrt{3}[/tex]
[tex]P \ge \sum {\frac{3}{2} (\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{x}{3}}) \ge 2 \sqrt{3}[/tex]

 

[bigbang195]

Cho a,b,c dương. Chứng minh:
[TEX](a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 3(a+b+c)^2[/TEX].

Cách làm của mathvn

Bdt [TEX]\Leftrightarrow [/TEX]
[TEX]a^2b^2c^2+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4(a^2+b^2+c^2)+8\ge 3(a^2+b^2+c^2)+6(ab+bc+ca)[/TEX]
ta có vơí 3 số a,b,c ta có:
[TEX](a^2-1)(b^2-1)\ge 0[/TEX]
:Leftrightarrow [TEX]a^2b^2c^2\ge \ a^2c^2+b^2c^2-c^2[/TEX]
cần c/m: [TEX]2a^2b^2+3b^2c^2+3b^2c^2+a^2+b^2+8\ge \ 6(ab+bc+ca)[/TEX]
mà [TEX]2(a^2b^2+1)+a^2+b^2\ge 6ab[/TEX]
[TEX]3(b^2c^2+1)\ge 6bc[/TEX]
[TEX]3(c^2a^2+1)\ge 6ca[/TEX]

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2b^2}{c^3(a^2-ab+b^2)}+\frac{b^2c^2}{a^3(b^2-bc+c^2)}+\frac{c^2a^2}{b^3(c^2-ca+a^2)}\geq \frac{3}{ab+bc+ca}[/TEX].

 

[bigbang195]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2b^2}{c^3(a^2-ab+b^2)}+\frac{b^2c^2}{a^3(b^2-bc+c^2)}+\frac{c^2a^2}{b^3(c^2-ca+a^2)}\geq \frac{3}{ab+bc+ca}[/TEX].

Giả sử [TEX]c=min \rightarrow b^2-bc+c^2 \le b^2,c^2-ca+a^2 \le a^2[/TEX] do đó
[TEX]VT \ge \frac{a^2b^2}{c^3(a^2-ab+b^2)}+[/TEX]
[TEX]\frac{b^2c^2}{a^3b^2}+\frac{c^2a^2}{b^3c^2}[/TEX]
[TEX]= \frac{a^2b^2}{c^3(a^2-ab+b^2)}+\frac{c^2}{a^3}+\frac{c^2}{b^3}[/TEX]
[TEX]=\frac{a^2b^2}{c^3(a^2-ab+b^2)}+\frac{c^2(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^3b^3}[/TEX]

Áp dụng AM-GM ta được ĐPCM
Chú ý khi c min thì [TEX]c \le \frac{1}{3}[/TEX] và [TEX]a+b \ge \frac{2}{3}[/TEX]

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 3(a^2+b^2+c^2)[/TEX].

 

[bigbang195]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 3(a^2+b^2+c^2)[/TEX].

Theo cauchy-Schwarz
[TEX]Vt \ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum_{cyc}a^2b}[/TEX]

cần chứng minh:

[TEX]a^2+c^2+b^2 \ge 3\sum_{cyc}a^2b[/TEX]

hay

[TEX](a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \ge 3\sum_{cyc}a^2b[/TEX]

khai triển VT :

[TEX]\sum a^3+\sum_{cyc}a^2b+\sum_{cyc} b^2a[/TEX]

mà
[TEX]\sum a^3+\sum b^2a \ge 2\sum a^2b[/TEX]


Chứng minh hoàn tất !

 

[namtuocvva18]

Cho a,b,c dương và [TEX]a+b+c=3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a^2(b+1)}{a+b+ab}+\frac{b^2(c+1)}{b+c+bc}+ \frac{c^2(a+1)}{c+a+ca}\geq 2[/TEX].

 

[rua_it]

Cho a,b,c dương và [TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]. Chứng minh:
[TEX]\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq \frac{3}{4}[/TEX].

Ta cần chứng minh [tex]\sum_{cyc} \frac{a}{(b+c)^2} \geq \frac{9}{4.(a+b+c)}[/tex]

Thật vậy, [tex]Cauchy-Schwarz \Rightarrow [\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{((c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}].(a+b+c) \geq (\sum_{cyc} \frac{a}{b+c})^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{(ab+bc+ca).2} \geq \frac{3}{2}[/tex]

Mặt khác, [tex](gt) \Rightarrow 3.(a^2+b^2+c^2)=9 \geq (a+b+c)^2 \Rightarrow a+b+c\leq 3[/tex]

[tex]\Rightarrow \sum_{cyc} \frac{a}{(b+c)^2} \geq \frac{9}{4.3}=\frac{3}{4}(dpcm)[/tex]