[Toán 10] Bất đẳng thức

[nokonyo]

a,b,c >0
a+b+c=1
Cm:[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq3({a^2}+{b^2}+{c^2})[/TEX]

[TEX]P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}[/TEX]
[TEX]P^2=\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}+\frac{2a^2b}{c}+\frac{2b^2c}{a}+\frac{2c^2a}{b}[/TEX]
Ta có
[TEX]\frac{a^4}{b^2}+2ab+\frac{b^4}{c^2}+2bc+\frac{c^4}{a^2}+2ca \geq 3(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
Ta chỉ cần CM
[TEX]\frac{2a^2b}{c}+\frac{2b^2c}{a}+\frac{2c^2a}{b} \geq 2(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX]\frac{a^2b}{c}+bc+\frac{b^2c}{a}+ca+\frac{c^2a}{b}+ab \geq 2(ab+bc+ca)[/TEX]

 

[math_life6196]

[TEX]Cauchy-Schwarz : \sum \frac{a^2}{b} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a} [/TEX]
[TEX]\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c) \geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2 \geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2 \geq 0 [/TEX]
[TEX]\rightarrow DONE[/TEX]

 

[vodichhocmai]

a,b,c >0
a+b+c=1
Cm:[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq3({a^2}+{b^2}+{c^2})[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-$a+b+c$\geq3({a^2}+{b^2}+{c^2})-$a+b+c$^2[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow \frac{$a-b$^2}{b}+ \frac{$b-c$^2}{c} + \frac{$c-a$^2}{b}\ge $a-b$^2+$b-c$^2+$c-a$^2[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow \frac{$a-b$^2$a+c$}{b} +\frac{$b-c$^2$b+a$}{c}+\frac{$c-a$^2\(b+c)}{a} \ge 0 [/TEX]

 

[donghxh]

Mình có cách khác thế này:
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}). (a+b+c)[/TEX]
Sau đó phá ra rùi dùng điểm rơi là xong.
P/s: Bài gửi trên là do post xong quên xem lại nên mới có hậu quả này. hichic

 

[bboy114crew]

Cho các số ko âm a,b,c có tổng bằng 3.CMR:
[TEX](3a^2+bc+3b^2)(3b^2+ac+3c^2)(3c^2+ab+3a^2) \leq 900[/TEX]

 

[bboy114crew]

Cho các 3 số thực khác 0 thỏa mãn $$ab+bc+ca=1$$ Chứng minh rắng:
$$\frac{a^2}{(1+a^2)^2}+\frac{b^2}{(1+b^2)^2}+\frac{c^2}{(1+c^2)^2} \ge \frac{4}{3(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}$$

 

[herrycuong_boy94]

[TEX]P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}[/TEX]
[TEX]P^2=\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}+\frac{2a^2b}{c}+\frac{2b^2c}{a}+\frac{2c^2a}{b}[/TEX]
Ta có
[TEX]\frac{a^4}{b^2}+2ab+\frac{b^4}{c^2}+2bc+\frac{c^4}{a^2}+2ca \geq 3(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
Ta chỉ cần CM
[TEX]\frac{2a^2b}{c}+\frac{2b^2c}{a}+\frac{2c^2a}{b} \geq 2(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX]\frac{a^2b}{c}+bc+\frac{b^2c}{a}+ca+\frac{c^2a}{b}+ab \geq 2(ab+bc+ca)[/TEX]

vế trái bình phương mà về phải chưa bình phương )

 

[bboy114crew]

Cho các số ko âm a,b,c có tổng bằng 3.CMR:
[TEX](3a^2+bc+3b^2)(3b^2+ac+3c^2)(3c^2+ab+3a^2) \leq 900[/TEX]

.........................

Cho các 3 số thực khác 0 thỏa mãn $$ab+bc+ca=1$$ Chứng minh rắng:
$$\frac{a^2}{(1+a^2)^2}+\frac{b^2}{(1+b^2)^2}+\frac{c^2}{(1+c^2)^2} \ge \frac{4}{3(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}$$

hai bài trên là hai bài khá hay mong mọi người có thể giải để mọi người cùng trao đổi !
Còn đây là bài dễ hơn!

1.Cho các số a,b,c ko âm. CMR:
$$\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{ac}} + \frac{1}{{bc}} \geq \frac{6}{{2{a^3} + {b^3} + {c^3} + 2}} + \frac{6}{{2{b^3} + {a^3} + {c^3} + 2}} + \frac{6}{{2{c^3} + {a^3} + {b^3} + 2}}$$
2.Cho[TEX] \left\{ \begin{array}{l}abc = 1 \\ a,b,c > 0 \\ \end{array} \right.[/TEX]
Tìm Min
[TEX]P = \frac{{bc}}{{{a^2}(b + c)}} + \frac{{ca}}{{{b^2}(a + c)}} + \frac{{ab}}{{{c^2}(a + b)}}[/TEX]

 

[goodboy_1507]

Một bài bdt thi thử DH

 

[legendismine]

.........................

hai bài trên là hai bài khá hay mong mọi người có thể giải để mọi người cùng trao đổi !
Còn đây là bài dễ hơn!

1.Cho các số a,b,c ko âm. CMR:
$$\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{ac}} + \frac{1}{{bc}} \geq \frac{6}{{2{a^3} + {b^3} + {c^3} + 2}} + \frac{6}{{2{b^3} + {a^3} + {c^3} + 2}} + \frac{6}{{2{c^3} + {a^3} + {b^3} + 2}}$$
2.Cho[TEX] \left\{ \begin{array}{l}abc = 1 \\ a,b,c > 0 \\ \end{array} \right.[/TEX]
Tìm Min
[TEX]P = \frac{{bc}}{{{a^2}(b + c)}} + \frac{{ca}}{{{b^2}(a + c)}} + \frac{{ab}}{{{c^2}(a + b)}}[/TEX]

Một bài bdt thi thử DH

1)$$\sum_{cyc}\frac{bc}{a^2(b+c)}\Leftrightarrow \frac{(bc)^2}{ab+ac}$$
Sử dụng bdt cauchy-schwarz:
$$P\ge \frac{(bc+ca+ab)^2}{2(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\ge \frac{3}{2}$$
2)$$\Leftrightarrow \sum_{cyc}x-\frac{xy^2}{x+y^2}\ge \sum_{cyc} x- \frac{\sqrt{x}y}{2}\ge \sum_{cyc} x-\frac{xy+y}{4}= \frac{(x+y+z)^2+x+y+z-(x+y+z+xy+yz+zx)}{4}\ge \frac{3}{2}$$
Vì $$xy+yz+xz\le 3$$

 

[bboy114crew]

(Romania 2003)
Cho $$x,y,z$$ là các số thực thỏa mãn: $$x+y+z=xy+yz+zx$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}$$

lời giải

 

[bigbang195]

(Romania 2003)
Cho $$x,y,z$$ là các số thực thỏa mãn: $$x+y+z=xy+yz+zx$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}$$

lời giải

http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=15822 .

 

[goodboy_1507]

Một bài hay

Một bài hay

 

[dinhnam9f]

Một bài hay

[TEX]\sum \frac{x+y}{\sqrt{xy+z}}= \sum \frac{x+y}{\sqrt{(1-x)(1-y)}}\geq 2(\sum\frac{x+y}{2-x-y})=2(\sum\frac{x+y}{x+z+y+z}) [/TEX]



Đặt : x+y=a
y+z=b
z+x=c
\Rightarrow [TEX]2(\sum \frac{x+y}{(x+z)+(y+z)})=2(\sum \frac{a}{b+c})\geq3[/TEX]

 

[bboy114crew]

CMR: với mọi $$a_1;a_2;...;a_n > 0$$ và với mọi số $$x_1;x_2;...;x_n \in R$$ th“ ta có BDDT sau:
$$\frac{1}{n-1}(x_1+x_2+...+x_n)^2 \geq (\frac{a_1^{n+1}}{S - a_1} + ... + \frac{a_n^{m+1}}{S - a_n})(\frac{x_1^2}{a_1^m} + ... + \frac{x_n^2}{a_n^m})$$
với mọi $$m,n \in N;m \geq 2; S= a_1+a_2+...+a_n$$

 

[trydan]

Vẫn gặp khó khăn ở dạng này

Cho

và

Chứng minh rằng

Ai có thể giúp mình tổng quát lên với

. Tìm min

 

[bigbang195]

I can die it, by Albe's inquality:khi (163)::khi (163)::khi (163)::khi (163)::khi (163)::khi (163)::khi (163): [TEX]\ \ [/TEX]

), anh VDHM dùng từ sai rồi =)) I can die(kills) it =))


Anh post lời giải lên đi ạ Albe là BDT gì ạ, em chưa nghe thấy bao giờ :-ss

(I also think it's nice one ). Anh xuất phát từ giang hồ mà ku >->->->->-

 

[viet_tranmaininh]

Cho [TEX] \left{a, b, c >0\\{a +b +c \leq \frac{3}{2}[/TEX]
Tìm GTNN của [TEX]S= a^2 +b^2 +c^2 +\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}[/TEX]

 

[bboy114crew]

Cho [TEX] \left{a, b, c >0\\{a +b +c \leq \frac{3}{2}[/TEX]
Tìm GTNN của [TEX]S= a^2 +b^2 +c^2 +\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}[/TEX]

bài nay dùng chọn điểm rơi là ra ko khó!
Với $$a, b, c$$ không đồng thời bằng 0.
Tìm GTNN của $$S= \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} + \frac{\sqrt{2(b^2+c^2)}} {\sqrt{a^2+b^2+c^2}} + \frac{\sqrt{3(c^2+a^2)}} {\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

 

[nhockhd22]

CM hộ mình cái

2[TEX]\sqrt{ab+bc+cd}[/TEX] \leq [TEX]\sqrt{3}[/TEX][TEX]\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)[/TEX]