[Toán 10] Bất đẳng thức

[legendismine]

[TEX]1; a;b;c>0 t/m \sum\sqrt{a}=1:\text{chung minh}:\sum_{cyc}\frac{a^2+bc}{a\sqrt{b+c}}\geq \sqrt{2}[/TEX]
[TEX]2; a;b;c>0 t/m :a+b+c\geq \frac32(1+\frac{1}{abc}).\text{Tim min}P=\sum_{cyc}\frac{a^3b}{1+ab^2}[/TEX]

Đức nhé chơi "độc" ghê hồi trưa nhìn [tex]a^3[/tex] tí mai nhìn lại [tex]a^2[/tex]

1; [TEX]\text{xet}: M=\sum_{cyc}\frac{a^2}{a\sqrt{b+c}}= \sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{b+c}}[/TEX]
[TEX]AM-GM: \frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{\sqrt{b+c}}{2}\geq \sqrt{2a}....[/TEX]
[TEX]\Rightarrow M\geq \sqrt2-(\frac{\sum\sqrt{a+b}}{2})[/TEX]
[TEX]\text{xet}N=\sum_{cyc}\frac{bc}{a\sqrt{b+c}}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{abc(\sum\sqrt{a+b}}\geq \frac{3(a+b+c)}{\sum\sqrt{a+b}}\text{(vi (ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)}[/TEX]
[TEX]\text{ta co }(\sum\sqrt{a+b})^2\leq 6(a+b+c)\Rightarrow N\geq \frac{\sum\sqrt{a+b}}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow M+N\geq \sqrt{2}(dpcm)[/TEX]

Cậu làm cái j đấy ==!
[tex]\sum_{abc}\frac{a}{\sqrt {b+c}}\ge \frac{1}{\sum_{abc}\sqrt {b+c}}[/tex]
[tex]\sum_{cyc}\frac{bc}{a\sqrt {b+c}}\ge \frac{3(a+b+c)}{\sum_{abc}\sqrt {b+c}}[/tex]
Cộng lại và sử dụng [TEX](\sum\sqrt{a+b})^2\leq 6(a+b+c)[/tex] ta chỉ cần chứng minh:
[tex]1+3(a+b+c)\ge \sqrt {12(a+b+c)}[/tex]
Đúng theo AM_GM

cậu xem lại , xem 2 cách này về hướng làm có j` khác nhau khôg ? :(

[TEX]a;b;c \geq 0[/TEX] thỏa mãn không có 2 số nào đồng thời bằng 0 .CM
[TEX]\frac12\leq \sum_{cyc}\frac{a^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq\frac23[/TEX]

Bài này vế đầu đúng vế sau sai
[tex]using AM-GM (b+c)^2\le 2(b^2+c^2)[/tex]
[tex]RHS \ge \frac{a^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{1}{2}[/tex]

 

[vodichhocmai]

Thử bài này cac ban:

Voi a;b;c > 0

[TEX]sqrt{\frac{a(b+c)}{{a}^{2}+bc}}+\sqrt{\frac{b(c+a) }{{b}^{2}+ca}}+\sqrt{\frac{c(a+b)}{{c}^{2}+ab}} \geq 2[/TEX]

[TEX]\fra{a^2+bc}{a(b+c)}+1\ge 2\sqrt{\fra{a^2+bc}{a(b+c)}}[/TEX]

[TEX]\to \frac{(a+b)(a+c)}{2a(b+c)}\ge \sqrt{\fra{a^2+bc}{a(b+c)}}[/TEX]

[TEX]\to \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\ge \frac{2a(b+c)}{ (a+b)(a+c) } [/TEX]

[TEX]\to \sum_{cyclic}^{a,b,c\ge 0}\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\ge 2\sum_{cyclic}\frac{a(b+c)^2}{ (a+b)(a+c)(b+c) }[/TEX]

[TEX]\to \sum_{cyclic}^{a,b,c\ge 0}\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\ge 2+\frac{6abc}{(a+b)(a+c)(b+c) }\ge 2[/TEX]

[TEX]Done!![/TEX]

 

[bboy114crew]

Câu1: Cho a,b,c>0. Cmr:
[TEX]\sum_{cyc}\frac{a}{b+c} \geq \frac{9}{2}\frac{\sum_{cyc}a^2\sqrt[]{bc}}{(a+b+c)(ab+bc+ca}[/TEX]
Câu 2: Cho a,b,c> 0. CMR:
[TEX]\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc} \geq \frac{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}{(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)}[/TEX]
Câu 3:Cmr Với mọi a,b,c [TEX]\geq[/TEX] 0 ta có
[TEX]\sum_{cyc}\frac{a^2}{5a^2+(b+c)^2}\leq \frac{1}{3}[/TEX]
Câu 4: Với a,b,c [TEX]\geq[/TEX]0 và khác nhau đôi một. CMR
[TEX]\sum_{cyc}\frac{1}{(a-b)^2}\geq \frac{4}{ab+bc+ca}[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

câu 4: Với a,b,c [tex]\geq[/tex]0 và khác nhau đôi một. Cmr
[tex]\sum_{cyc}\frac{1}{(a-b)^2}\geq \frac{4}{ab+bc+ca}[/tex]

giả sử[tex] z= {min(x,y,z)}[/tex] we have:
[tex](x-z)^2+(y-z)^2=(x-y)^2+2(x-z)(y-z) [/tex]
so by the am-gm inequaliy ,we get
[tex]\frac{1}{(x-y)^2} +\frac{1}{(y-z)^2} + \frac{1}{(z-x)^2} [/tex]
[tex]=\frac{1}{(x-y)^2} +\frac{(x-y)^2}{(y-z)^2(z-x)^2} +\frac{2}{(y-z)(x-z)} \ge [/tex]
[tex]\frac{2}{(y-z)(z-x)} +\frac{2}{(y-z)(z-x)} =\frac{4}{(y-z)(x-z)} \ge \frac{4}{xy+yz+xz}[/tex]

 

[vodichhocmai]

Câu 4: Với a,b,c [TEX]\geq[/TEX]0 và khác nhau đôi một. CMR
[TEX]\sum_{cyc}\frac{1}{(a-b)^2}\geq \frac{4}{ab+bc+ca}[/TEX]

không mất tínnh tổng quát giả sử rằng [TEX]z=\min\{x,y,z\}[/TEX]

[TEX]\left{ xy+yz+zx \ge xy\\ \frac{1}{{\left( x-y\right)}^{2}}+\frac{1}{{\left( y-z\right)}^{2}}+\frac{1}{{\left( z-x\right)}^{2}} \ge \frac{1}{{\left( x-y\right)}^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{x^{2}} [/TEX]
[TEX]\righ VT\ge xy\[\frac{1}{{\left( x-y\right)}^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{x^{2}} \][/TEX]
Chúng ta chỉ cần chứng minh đúng với [tex] xy=1[/tex]
[TEX]\righ \left{ xy=1 \\VT\ge f(x):=\frac{x^2}{(x^2-1)^2}+x^2+\frac{1}{x^2}[/TEX][TEX]\ \ \ \ \righ \left{ xy=1 \\VT\ge \frac{x^2}{(x^2-1)^2}+\frac{\(x^2-1\)^2}{x^2}+2 \ge 4[/TEX]
Bài toán chứng minh xong

[TEX]\left{ xy+yz+zx \ge xy\\ \frac{1}{{\left( x-y\right)}^{2}}+\frac{1}{{\left( y-z\right)}^{2}}+\frac{1}{{\left( z-x\right)}^{2}} \ge \frac{1}{{\left( x-y\right)}^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{x^{2}} [/TEX]
[TEX]\righ VT\ge xy\[\frac{1}{{\left( x-y\right)}^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{x^{2}} \][/TEX]

[TEX]\righ VT\ge \frac{\frac{x}{y}}{{\left( \frac{x}{y}-1\right)}^{2}}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x} [/TEX]

[TEX]\righ VT \ge \frac{a}{\(a-1\)^2}+a+\frac{1}{a}= \frac{a}{\(a-1\)^2}+\frac{(a-1)^2}{a}+2\ge 4[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

Câu1: Cho a,b,c>0. Cmr:
[TEX]\sum_{cyc}\frac{a}{b+c} \geq \frac{9}{2}\frac{\sum_{cyc}a^2\sqrt[]{bc}}{(a+b+c)(ab+bc+ca}[/TEX]

[TEX]AM-GM:\frac{a}{b+c}=\frac{a^2\sqrt{bc}}{(b+c)a\sqrt{bc}}=\frac{a^2\sqrt{bc}}{\sqrt{2bc(ab+ac)(ab+ac)}}\geq\frac{a^2\sqrt{bc}}{\sqrt{[\frac{2bc+2(ab+ac)}{3}]^3}}=\frac{3\sqrt3}{2}\frac{a^2\sqrt{bc}}{\sqrt{(ab+bc+ca)^3}[/TEX]
tương tự
[TEX]\Rightarrow \sum_{cyc}\frac{a}{b+c}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}\frac{\sum a^2\sqrt{bc}}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}[/TEX]
cần chứng minh [TEX]\sqrt{3(ab+bc+ca)}\leq a+b+c[/TEX]
bất đẳng thức này hiển nhiên đúng

 

[nhockthongay_girlkute]

Câu 2: Cho a,b,c> 0. CMR:
[TEX]\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc} \geq \frac{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}{(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)}[/TEX]

[TEX](a^2+bc)(b+c)=b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)\geq 2\sqrt{bc(c^2+a^2)(a^2+b^2)}[/TEX]
[TEX](b^2+ca)(c+a)\geq 2\sqrt{ac(c^2+a^2)(a^2+b^2)}[/TEX]
[TEX](c^2+ab)(a+b)\geq 2\sqrt{ac(a^2+c^2)(b^2+c^2)}[/TEX]
nhân lại => đpcm

 

[01263812493]

Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a+b+c \leq \frac{3}{2}[/TEX]. Tìm Min:
[tex]\huge \prod(3 +\frac{1}{a}+ \frac{1}{b})[/tex]
Bài này Holder dc hok mấy anh :|

 

[legendismine]

Câu1: Cho a,b,c>0. Cmr:
[TEX]\sum_{cyc}\frac{a}{b+c} \geq \frac{9}{2}\frac{\sum_{cyc}a^2\sqrt[]{bc}}{(a+b+c)(ab+bc+ca}[/TEX]
Câu 2: Cho a,b,c> 0. CMR:
[TEX]\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc} \geq \frac{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}{(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)}[/TEX]
Câu 3:Cmr Với mọi a,b,c [TEX]\geq[/TEX] 0 ta có
[TEX]\sum_{cyc}\frac{a^2}{5a^2+(b+c)^2}\leq \frac{1}{3}[/TEX]
Câu 4: Với a,b,c [TEX]\geq[/TEX]0 và khác nhau đôi một. CMR
[TEX]\sum_{cyc}\frac{1}{(a-b)^2}\geq \frac{4}{ab+bc+ca}[/TEX]

Còn 1 bài sót lại kìa
[tex]\leftrightarrow \frac{9a^2}{5a^2+(b+c)^2}\le 3[/tex]
[tex]LHS\le \sum_{abc}\frac {a^2}{a^2+b^2+c^2}+\sum_{abc}\frac{2}{2a^2+bc}\le 3[/tex]
[tex]\sum_{cyc}\frac {a^2}{2a^2+bc}\le 1[/tex]
Bằng biến đổi tương đương và sử dụng cauchy-schwarz ta có thể dễ dàng chứng minh bất đẳng thức trên:
[tex]\sum_{cyc}\frac{bc}{2a^2+bc}\ge 1[/tex]
[tex]LHS \ge \frac{(bc+ca+ab)^2}{2abc(a+b+c)+\sum_{cyc}(ab)^2}=1[/tex]
Vậy ta có dpcm

 

[vodichhocmai]

Bài này holder nhưng mà dùng cách chứng minh bdt holder :-SS cách hệ qả thì chắc @-)

[tex]Cauchy-Schwart\righ^{3l} \huge \[\prod(3 +\frac{1}{a}+ \frac{1}{b})\] \(3+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\)\ge \(3+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\)^4[/tex]


[TEX]\righ \prod \(3 +\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}\)\ge (3+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\)^3[/TEX]

 

[bboy114crew]

IMO shortlist 2004 :
Cho a,b,c là các số thực sao cho [TEX]ab+bc+ac=1[/TEX]CMR:
[TEX]\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}+ \sqrt[3]{\frac{1}{b}+6c}+ \sqrt[3]{\frac{1}{c}+6a}\leq \frac{1}{abc}[/TEX]

 

[legendismine]

IMO shortlist 2004 :
Cho a,b,c là các số thực sao cho [TEX]ab+bc+ac=1[/TEX]CMR:
[TEX]\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}+ \sqrt[3]{\frac{1}{b}+6c}+ \sqrt[3]{\frac{1}{c}+6a}\geq \frac{1}{abc}[/TEX]

Bất đẳNG Thức trên sai và bị ngược chiều Sau đây là lời giải của mình:
[TEX]VT^3\le \ 9(\sum\frac{1}{a}+6\sum a)\le \ 9(\frac{1}{abc}+\frac{2(ab+bc+ca)^2}{abc})=\frac{27}{abc}\le \frac{1}{(abc)^3} (do a^2b^2c^2\le \frac{1}{27})[/TEX]

 

[math_life6196]

[TEX]Vs \ x,y,z >0. \ C/m:[/TEX]
a)

b)

a) [TEX]x = a+1 , y = b+1 , z = c+1 \rightarrow a,b,c \geq -1[/TEX]
[TEX]BDT \leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc \geq 0[/TEX]
[TEX]ab.bc.ca = a^2b^2c^2 \rightarrow ab \geq 0 or bc \geq 0 or ca \geq 0 .[/TEX]
[TEX]Gia su : ab \geq 0[/TEX]
[TEX]Using AM-GM : a^2+b^2+c^2+2abc \geq 2ab+c^2+2abc = 2abz+c^2 \geq 0 ( vi ab \geq 0 )[/TEX]

 

[trydan]

Lâu lâu mới vào pic này mà :-SS quá

Chứng minh

 

[dandoh221]

Lâu lâu mới vào pic này mà :-SS quá

Chứng minh

[TEX]\frac{a^4}{a^4+1} \ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{(b^3+1)(c^3+1)(d^3+1}[/TEX]
làm 3 cái nữa rồi nhân lại :-?

 

[math_life6196]

[TEX]Vs \ x,y,z >0. \ C/m:[/TEX]
a)

b)

[Tex] b) BDT \Leftrightarrow \sum x^4+\sum x^3y \geq \sum xy^3[/Tex]
[Tex]Using AM-GM : x^4+3y^4 \geq 4xy^3[/Tex]
[Tex]\Rightarrow \sum x^4 \geq \sum xy^3 \Rightarrow dpcm[/Tex]
Cái này hình như là lớn hơn 0 thì phải

 

[dandoh221]

[TEX]b) Gia su x \geq y \geq z[/TEX]
[TEX]\sum x^4+\sum xy(x^2-y^2) = \sum x^4+(x-y)(y-z)(x-z)(x+y+z) \geq 0[/TEX]

bdt này k đối xứng k thể giả sử vậy được cậu à .

 

[trydan]

Nhìn dễ dễ mà sao khó thế này! :-SS

Chứng minh

 

[bboy114crew]

cho a,b,c>0,a+b+c=3.CMr:
[tex]\frac{1}{2a^2+7} + \frac{1}{2b^2+7} + \frac{1}{2c^2+7} \leq \frac{1}{3}[/tex]

 

[donghxh]

a,b,c >0
a+b+c=1
Cm:[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq3({a^2}+{b^2}+{c^2})[/TEX]