[Toán 10] Bất đẳng thức

[duynhan1]

Bằng BDT Cauchy-Schwarz hãy chứng minh

[TEX]\forall a,b,c>0 \\ \huge (\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+\frac{c}{a} )^2 \ge (a+b+c)(\frac1a+\frac1b+\frac1c)[/TEX]

 

[htdhtxd]

[TEX]\huge (\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+\frac{c}{a} )^2 \ge (a+b+c)(\frac1a+\frac1b+\frac1c)[/TEX]

em là thành viên mới có gì mong cả nhà chỉ giáo

khai triển ta có

a²/b² + b²/c² + c²/a² + a/c + b/a + c/b ≥ 3 + a/b + b/c + c/a

<=> a²/b² + b²/c² + c²/a² ≥ a/b + b/c + c/a ( áp dụng cô si)

=>đpcm (áp dụng cô si hoặc bunhia )

dấu = xảy ra <=> a = b = c

có cho đó a,b,c > 0 đề thiếu

 

[conan_edogawa93]

Bđt

[tex]x,y,z>0||\\C/m::\sum\frac{x^2}{y}+\sum x\ge 2\sqrt{(x^2+y^2+z^2)(\sum\frac{x}{y})}[/tex]

 

[huyhoang94]

Cho ba số dương thoả mãn điều kiện x+y+z>=6.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức(>= lớn hơn hoặc bằng)
M=x^3/(y+z)+y^3/(z+x)+z^3/)x+y) ?

 

[khanh_ndd]

[TEX]x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\geq 6\Rightarrow xyz\geq 8[/TEX]

cái dòng này [TEX]3\sqrt[3]{xyz}\geq 6[/TEX] ở đâu ra vậy!!!

Dùng Holder

dấu

xảy ra

 

[duynhan1]

Cho ba số dương thoả mãn điều kiện x+y+z>=6.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức(>= lớn hơn hoặc bằng)
M=x^3/(y+z)+y^3/(z+x)+z^3/)x+y) ?

Áp dụng BDT Co-si ta có :
[TEX]\frac{x^3}{y+z} + \frac{x(y+z)}{4} \ge x^2 [/TEX]
Và ta lại có :
[TEX]\sum x^2 \ge \sum xy [/TEX] nên ta có :
[TEX]\frac{x^3}{y+z} \ge \frac12(x^2+y^2+z^2) \ge \frac \frac16 ( x+ y + z)^2 = 6 [/TEX]

 

[khanh_ndd]

[tex]x,y,z>0||\\C/m::\sum\frac{x^2}{y}+\sum x\ge 2\sqrt{(x^2+y^2+z^2)(\sum\frac{x}{y})}[/tex]

Bình phương 2 vế bđt
[TEX](\sum \frac{x^2}{y}+\sum x)^2\ge 4(x^2+y^2+z^2)(\sum \frac{x}{y})[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\sum \frac{x^2}{y}+\sum x)^2-4(\sum x)^2\ge 4(x^2+y^2+z^2)(\sum \frac{x}{y})-4(\sum x)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\sum \frac{x^2}{y}-\sum x)(\sum \frac{x^2}{y}+3\sum x)\geq 4(x^2+y^2+z^2)(\sum \frac{x}{y})-4(\sum x)^2[/TEX]

phân tích S.O.S

[TEX](\sum \frac{x^2}{y}-\sum x)(\sum \frac{x^2}{y}+3\sum x)=(\sum \frac{(x-y)^2}{y})(\sum \frac{x^2}{y}+3\sum x)[/TEX]
[TEX](x^2+y^2+z^2)(\sum \frac{x}{y})-(\sum x)^2=(\sum \frac{x^3}{y}-\sum x^2)-(\sum \frac{x^2y}{z}-\sum xy)[/TEX]
[TEX]\sum \frac{x^3}{y}-\sum x^2=\sum \frac{x^3}{y}+\sum xy-2\sum x^2+\sum x^2-\sum xy=\sum \frac{x}{y}.(x-y)^2+\frac{1}{2}.\sum (x-y)^2=\sum (\frac{x}{y}+\frac{1}{2})(x-y)^2[/TEX]
[TEX]\sum \frac{x^2y}{z}-\sum xy=\sum {z}{x}.(x-y)^2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x^2+y^2+z^2)(\sum \frac{x}{y})-(\sum x)^2=\sum (\frac{x}{y}+{z}{x}+\frac{1}{2}).(x-y)^2=\sum \frac{2(x^2+yz)+xy}{2xy}.(x-y)^2[/TEX]

BĐT cần cm tương đương
[TEX]\sum (\frac{\sum \frac{x^2}{y}+3\sum x}{y}-\frac{2(x^2+yz)+xy}{2xy}).(x-y)^2\geq 0[/TEX]
ta được [TEX]S_a=2x^4y^2+4x^3yz^2+5x^2y^2z^2+6x^2yz^3-2xy^2z^3[/TEX]
..........
xét 2 TH
./ [TEX]x\geq y\geq z[/TEX] dễ dàng cm đc [TEX]S_a,S_c,S_a+2S_b,S_c+2S_b\geq 0[/TEX]
./[TEX]x\leq y\leq z[/TEX] tương tự ta cm đc [TEX]S_a,S_b,S_c+S_b\geq 0[/TEX]

P/S: bài mình viết ra nhìn còn không muốn đọc :khi (163):

 

[phantom1996]

Bài 1,Cho a,b,c thuộc R và a^2 +b^2 +c^2 =3.CMR:a^2.b + b^2.c + c^.a 3.
Bài 2,Cho các số thực a,b,c thỏa mãn:a^2 + b^2 +c^2 =9.CMR: 2(a+b+c) 10+abc.
Bài 3,Cho các số thực không âm a,b,c CMR: a^2.b^2.(a-b)^2 + b^2.c^2.(b-c)^2 + c^2.a^2.(c-a)^2 (a-b)^2.(b-c)^2.(c-a)^2.
Bài 4,Cho các số thực dương thỏa mãn:a^2 + b^2 + c^2=3.CMR: 1/(2-a) +1/(2-b) +1/(2-c) 3.

 

[bboy114crew]

Bạn phantom96 xem lời giải tại đây:http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=62237&st=0
Cho a,b,c là các số thực dương .Cm:
[TEX](\frac{a^2}{b}+c)^2+(\frac{b^2}{c}+a)^2+(\frac{c^2}{a}+b)^2 \geq \frac{12(a^3+b^3+c^3)}{a+b+c}.[/TEX]

 

[chjenbinh_gaychan]

Bạn phantom96 xem lời giải tại đây:http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=62237&st=0
Cho a,b,c là các số thực dương .Cm:
[TEX](\frac{a^2}{b}+c)^2+(\frac{b^2}{c}+a)^2+(\frac{c^2}{a}+b)^2 \geq \frac{12(a^3+b^3+c^3)}{a+b+c}.[/TEX]

bài này thầy em giải theo pp S.O.S ! Nhưng cồng kềnh lắm
Anh có cách hay hơn thì post lên cho \forall người xem đi !

 

[bboy114crew]

Mình vẫn chưa tìm ra lời giải nào cho bài đó nên mới post lên để mọi người cùng thảo luận .
Bài tiếp theo:
Cho [tex]a,b,c >0[/tex]. Chứng minh rằng: [tex]x^2y+y^2z+z^2x\le\frac{(x+y+z)^3}{9}[/tex]

 

[vuotlensophan]

bdt bunhia...

1) cho x,y,z>0. x+y+z=1. cmr:
[TEX]1/ (x^2+y^2+z^2)+ 1/ xyz[/TEX]>= 30
2) cho x,y,z>0, 1/x +1/y +1/z =1. CMR:
1/(ax+by+cz) +1/(bx+cy+cz) +1/ (cx+ay+cz) =< 1/ (a+b+c) voi a,b,c>0

 

[nguyenthuytho]

can gap

[TEX]\sqrt[3]{{3(x-3)}^{2}}+\sqrt[3]{9(x-3)}=\sqrt[2]{0,5x+1}[/TEX]

 

[bin96vn]

Bđt

Dùng BĐT Côsi:
[tex]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}[/tex]

 

[nguyenkhacthi]

trả lời

[TEX]\frac{{a}^{2}}{b+c}+ \frac{b+c}{4}\geq {a} [/TEX]
[TEX]\frac{{b}^{2}}{a+c} + \frac{a+c}{4}\geq {b} [/TEX]
[TEX]\frac{{c}^{2}}{a+b} + \frac{a+b}{4}\geq {c}[/TEX]
cộng vế với vế được điều phải chứng minh

 

[p_trk]

Bài này bạn có thể giải theo bunhia kopski;
(~~) hp (~~)

Chú ý bạn nhá .Tốt nhất bạn cứ post bài lên chứ đừng nói rồi để không đó .tránh spam

 

[anhtruong10a9]

toan hay

minh co bai nay cung kho khong kem phan ....moi anh em tham khao.
[TEX]\frac{a^4+b^4+c^4}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c} \geq \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2) voi a,b,c>0[/TEX]
bai nay thay minh cho nhung minh lam mai ma ko dc ...minh mong cac ban giai giup..

 

[anhnamngoda]

Jup voj :-D
em co bdt moj anh soj
a,b,c>0.chung mjnh
((a^2)/(b+c)) +((b^2)/(c+a)) +((c^2)/(a+b))
>=(a+b+c)/2
em cam on anh nhjeu lm

 

[asroma11235]

Jup voj :-D
em co bdt moj anh soj
a,b,c>0.chung mjnh
((a^2)/(b+c)) +((b^2)/(c+a)) +((c^2)/(a+b))
>=(a+b+c)/2
em cam on anh nhjeu lm

Ta có bổ đề sau:
[TEX](a+b+c)(\frac{x^2}{a}+ \frac{y^2}{b}+ \frac{z^2}{c}) \geq (x+y+z)^2[/TEX]
Bất đẳng thức trên được suy ra trực tiếp từ bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Chuyển vế, ta có: [TEX]\frac{x^2}{a}+ \frac{y^2}{b}+ \frac{z^2}{c} \geq \frac{(x+y+z)^2}{a+b+c}[/TEX]
Áp dụng, ta có: [TEX]VT \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)} = \frac{a+b+c}{2}[/TEX]
Cách 2:
Theo Cau-chy:
[TEX]\frac{a^2}{b+c} + \frac{b+c}{4} \geq \frac{a}{2}[/TEX]
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự với các biến b,c rồi cộng lại. Ta có đpcm!
Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c[/TEX]

 

[asroma11235]

minh co bai nay cung kho khong kem phan ....moi anh em tham khao.
[TEX]\frac{a^4+b^4+c^4}{ab+bc+ca}+\frac{3abc}{a+b+c} \geq \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2) voi a,b,c>0[/TEX]
bai nay thay minh cho nhung minh lam mai ma ko dc ...minh mong cac ban giai giup..

Lời giải bằng S.O.S:
Ta có:
[TEX]3(a^4+b^4+c^4)- (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)= \sum (b-c)^2 (\frac{a^2+b^2+c^2}{2}+ (b+c)^2)[/TEX]
[TEX](a^2+b^2+c^2)(a+b+c)-9abc= \sum (b-c)^2 . \frac{3a+b+c}{2}[/TEX]
Suy ra:
[TEX]\frac{3(a^4+b^4+c^4)-(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)}{3(ab+bc+ca)}+ \frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)-9abc}{3(a+b+c)} \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum (b-c)^2.[\frac{(a^2+b^2+c^2)+2(b+c)^2}{ab+bc+ca}- \frac{3a+b+c}{a+b+c}] \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow S= \sum (b-c)^2 . \frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{ab+bc+ca}+2.(\frac{(b+c)^2}{ab+bc+ca} - \frac{a}{a+b+c})) \geq 0[/TEX]
Đặt [TEX]T= \frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{ab+bc+ca} \Rightarrow T \geq 0[/TEX]
[TEX]S_{(a)}= T+2(\frac{(b+c)^2}{ab+bc+ca}- \frac{a}{a+b+c})[/TEX]
[TEX]S_{(b)}= T+2(\frac{(a+c)^2}{ab+bc+ca}- \frac{b}{a+b+c})[/TEX]
[TEX]S_{(c)}= T+2(\frac{(a+b)^2}{ab+bc+ca}- \frac{c}{a+b+c})[/TEX]
Giả sử: [TEX]a \geq b \geq c \Rightarrow S_{(a)} \leq S_{(b)} \leq S_{(c)}[/TEX]
Ta sẽ chứng minh: [TEX]S_{(a)}+ S_{(b)} \geq 0[/TEX] (Theo định lí S.O.S)
Vì [TEX]T \geq 0[/TEX] nên chỉ cần chứng minh: [TEX]\frac{(b+c)^2+(a+c)^2}{ab+bc+ca} \geq \frac{a+b}{a+b+c}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow [(a+b)^2+(a+c)^2] (a+b+c) \geq (a+b)(ab+bc+ca)[/TEX]
Ta có: [TEX](b+c)^2+(a+c)^2 > a^2+b^2[/TEX]
Mà: [TEX] (a^2+b^2)(a+b+c) - (a+b)(ab+bc+ca) =a^3+b^3-2abc \geq ab(a+b-2c) \geq 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow [(a+b)^2+(a+c)^2] (a+b+c) > (a+b)(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow S_{(a)}+ S_{(b)} > 0[/TEX]
Vậy bài toán được chứng minh!