[Toán 10] Bất đẳng thức

N

nokonyo

donghxh said:
a,b,c >0
a+b+c=1
Cm:[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq3({a^2}+{b^2}+{c^2})[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX]P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}[/TEX]
[TEX]P^2=\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}+\frac{2a^2b}{c}+\frac{2b^2c}{a}+\frac{2c^2a}{b}[/TEX]
Ta có
[TEX]\frac{a^4}{b^2}+2ab+\frac{b^4}{c^2}+2bc+\frac{c^4}{a^2}+2ca \geq 3(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
Ta chỉ cần CM
[TEX]\frac{2a^2b}{c}+\frac{2b^2c}{a}+\frac{2c^2a}{b} \geq 2(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX]\frac{a^2b}{c}+bc+\frac{b^2c}{a}+ca+\frac{c^2a}{b}+ab \geq 2(ab+bc+ca)[/TEX]
 
M

math_life6196

[TEX]Cauchy-Schwarz : \sum \frac{a^2}{b} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a} [/TEX]
[TEX]\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a} \geq 3(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c) \geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2 \geq 2(a^2b+b^2c+c^2a)[/TEX]
[TEX]\leftrightarrow a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2 \geq 0 [/TEX]
[TEX]\rightarrow DONE[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
V

vodichhocmai

donghxh said:
a,b,c >0
a+b+c=1
Cm:[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq3({a^2}+{b^2}+{c^2})[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\(a+b+c\)\geq3({a^2}+{b^2}+{c^2})-\(a+b+c\)^2[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow \frac{\(a-b\)^2}{b}+ \frac{\(b-c\)^2}{c} + \frac{\(c-a\)^2}{b}\ge \(a-b\)^2+\(b-c\)^2+\(c-a\)^2[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow \frac{\(a-b\)^2\(a+c\)}{b} +\frac{\(b-c\)^2\(b+a\)}{c}+\frac{\(c-a\)^2\(b+c)}{a} \ge 0 [/TEX]
 
D

donghxh

Mình có cách khác thế này:
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}). (a+b+c)[/TEX]
Sau đó phá ra rùi dùng điểm rơi là xong.
P/s: Bài gửi trên là do post xong quên xem lại nên mới có hậu quả này. hichic
 
B

bboy114crew

Cho các số ko âm a,b,c có tổng bằng 3.CMR:
[TEX](3a^2+bc+3b^2)(3b^2+ac+3c^2)(3c^2+ab+3a^2) \leq 900[/TEX]
 
B

bboy114crew

Cho các 3 số thực khác 0 thỏa mãn [tex] ab+bc+ca=1 [/tex] Chứng minh rắng:
[tex] \frac{a^2}{(1+a^2)^2}+\frac{b^2}{(1+b^2)^2}+\frac{c^2}{(1+c^2)^2} \ge \frac{4}{3(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)} [/tex]
 
Last edited by a moderator:
H

herrycuong_boy94

nokonyo said:
[TEX]P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}[/TEX]
[TEX]P^2=\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}+\frac{2a^2b}{c}+\frac{2b^2c}{a}+\frac{2c^2a}{b}[/TEX]
Ta có
[TEX]\frac{a^4}{b^2}+2ab+\frac{b^4}{c^2}+2bc+\frac{c^4}{a^2}+2ca \geq 3(a^2+b^2+c^2)[/TEX]
Ta chỉ cần CM
[TEX]\frac{2a^2b}{c}+\frac{2b^2c}{a}+\frac{2c^2a}{b} \geq 2(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX]\frac{a^2b}{c}+bc+\frac{b^2c}{a}+ca+\frac{c^2a}{b}+ab \geq 2(ab+bc+ca)[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

vế trái bình phương mà về phải chưa bình phương ;))
 
B

bboy114crew

bboy114crew said:
Cho các số ko âm a,b,c có tổng bằng 3.CMR:
[TEX](3a^2+bc+3b^2)(3b^2+ac+3c^2)(3c^2+ab+3a^2) \leq 900[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
.........................
bboy114crew said:
Cho các 3 số thực khác 0 thỏa mãn [tex] ab+bc+ca=1 [/tex] Chứng minh rắng:
[tex] \frac{a^2}{(1+a^2)^2}+\frac{b^2}{(1+b^2)^2}+\frac{c^2}{(1+c^2)^2} \ge \frac{4}{3(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)} [/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
hai bài trên là hai bài khá hay mong mọi người có thể giải để mọi người cùng trao đổi !
Còn đây là bài dễ hơn!

1.Cho các số a,b,c ko âm. CMR:
[tex]\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{ac}} + \frac{1}{{bc}} \geq \frac{6}{{2{a^3} + {b^3} + {c^3} + 2}} + \frac{6}{{2{b^3} + {a^3} + {c^3} + 2}} + \frac{6}{{2{c^3} + {a^3} + {b^3} + 2}}[/tex]
2.Cho[TEX] \left\{ \begin{array}{l}abc = 1 \\ a,b,c > 0 \\ \end{array} \right.[/TEX]
Tìm Min
[TEX]P = \frac{{bc}}{{{a^2}(b + c)}} + \frac{{ca}}{{{b^2}(a + c)}} + \frac{{ab}}{{{c^2}(a + b)}}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
G

goodboy_1507

Một bài bdt thi thử DH
1.PNG
 
L

legendismine

bboy114crew said:
.........................

hai bài trên là hai bài khá hay mong mọi người có thể giải để mọi người cùng trao đổi !
Còn đây là bài dễ hơn!

1.Cho các số a,b,c ko âm. CMR:
[tex]\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{ac}} + \frac{1}{{bc}} \geq \frac{6}{{2{a^3} + {b^3} + {c^3} + 2}} + \frac{6}{{2{b^3} + {a^3} + {c^3} + 2}} + \frac{6}{{2{c^3} + {a^3} + {b^3} + 2}}[/tex]
2.Cho[TEX] \left\{ \begin{array}{l}abc = 1 \\ a,b,c > 0 \\ \end{array} \right.[/TEX]
Tìm Min
[TEX]P = \frac{{bc}}{{{a^2}(b + c)}} + \frac{{ca}}{{{b^2}(a + c)}} + \frac{{ab}}{{{c^2}(a + b)}}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

goodboy_1507 said:
Một bài bdt thi thử DH
1.PNG
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
1)[tex]\sum_{cyc}\frac{bc}{a^2(b+c)}\Leftrightarrow \frac{(bc)^2}{ab+ac}[/tex]
Sử dụng bdt cauchy-schwarz:
[tex]P\ge \frac{(bc+ca+ab)^2}{2(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\ge \frac{3}{2}[/tex]
2)[tex]\Leftrightarrow \sum_{cyc}x-\frac{xy^2}{x+y^2}\ge \sum_{cyc} x- \frac{\sqrt{x}y}{2}\ge \sum_{cyc} x-\frac{xy+y}{4}= \frac{(x+y+z)^2+x+y+z-(x+y+z+xy+yz+zx)}{4}\ge \frac{3}{2}[/tex]
Vì [tex]xy+yz+xz\le 3[/tex]
 
B

bboy114crew

CMR: với mọi [tex] a_1;a_2;...;a_n > 0 [/tex] và với mọi số [tex]x_1;x_2;...;x_n \in R[/tex] th“ ta có BDDT sau:
[tex]\frac{1}{n-1}(x_1+x_2+...+x_n)^2 \geq (\frac{a_1^{n+1}}{S - a_1} + ... + \frac{a_n^{m+1}}{S - a_n})(\frac{x_1^2}{a_1^m} + ... + \frac{x_n^2}{a_n^m})[/tex]
với mọi [tex]m,n \in N;m \geq 2; S= a_1+a_2+...+a_n[/tex]
 
B

bigbang195

vodichhocmai said:
I can die:D it, by Albe's inquality:khi (163)::khi (163)::khi (163)::khi (163)::khi (163)::khi (163)::khi (163): [TEX]\ \ [/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

:)), anh VDHM dùng từ sai rồi =)) I can die(kills):D it =))


Anh post lời giải lên đi ạ Albe là BDT gì ạ, em chưa nghe thấy bao giờ :-ss

vodich said:
(I also think it's nice one ). Anh xuất phát từ giang hồ mà ku :)>-:)>-:)>-:)>-:)>-
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
 
Last edited by a moderator:
V

viet_tranmaininh

Cho [TEX] \left{a, b, c >0\\{a +b +c \leq \frac{3}{2}[/TEX]
Tìm GTNN của [TEX]S= a^2 +b^2 +c^2 +\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}[/TEX]
 
B

bboy114crew

viet_tranmaininh said:
Cho [TEX] \left{a, b, c >0\\{a +b +c \leq \frac{3}{2}[/TEX]
Tìm GTNN của [TEX]S= a^2 +b^2 +c^2 +\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
bài nay dùng chọn điểm rơi là ra ko khó!
Với [tex]a, b, c [/tex] không đồng thời bằng 0.
Tìm GTNN của [tex]S= \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} + \frac{\sqrt{2(b^2+c^2)}} {\sqrt{a^2+b^2+c^2}} + \frac{\sqrt{3(c^2+a^2)}} {\sqrt{a^2+b^2+c^2}}[/tex]
 
N

nhockhd22

CM hộ mình cái

2[TEX]\sqrt{ab+bc+cd}[/TEX] \leq [TEX]\sqrt{3}[/TEX][TEX]\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)[/TEX]
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom