[Toán 10] Bất đẳng thức

[nhockthongay_girlkute]

[TEX]1; x;y;z\geq0.CM:\sum_{cyc}x^2(y+z)\geq (\sum xy)\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}[/TEX]
[TEX]2; x;y;z\not=1 t/m xyz=1.CM:\sum_{cyc}(\frac{x}{x-1})^2\geq1[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

[TEX]1; x;y;z\geq0.CM:\sum_{cyc}x^2(y+z)\geq (\sum xy)\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}[/TEX]
[TEX]2; x;y;z\not=1 t/m xyz=1.CM:\sum_{cyc}(\frac{x}{x-1})^2\geq1[/TEX]

2,

Đúng là số thực anh ak
[TEX]Dat.a=\frac{x}{x-1}; b=\frac{y}{y-1}; c=\frac{z}{z-1} \Rightarrow \prod (a-1) = \prod a \Rightarrow \sum a - \sum ab -1=0[/TEX]
[TEX]\sum a ^2=(\sum a)^2-2\sum ab = (\sum a-1)^2+1 \geq 1[/TEX]

thi xem ai nhanh hơn nào em ), thanks chị đi cô

 

[bboy114crew]

Nhân dịp năm mới tặng các bạn bài toán:
Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện [TEX]abc=1[/TEX].Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{1}{\sqrt{a^3+2b^3+6}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+2c^3+6}}+ \frac{1}{\sqrt{c^3+2a^3+6}} \leq 1 [/TEX]

 

[tan75]

các bác giải giúp minh bài toán
a/(b+2c) +b/(c+2a) +c/(a+2b) > hoặc bằng 1
abc=1

 

[chuanho]

1/CMBĐT
[TEX]\sum_{abc}\frac{a}{b+c+1}+\prod_{abc} (1-a)[/TEX]\leq1
vs a,b,c thuộc [0,1]

2/
[TEX]\sum _{abcd}\frac{a^2}{b^5}[/TEX]\geq [TEX]\sum_{abc} {\frac{1}{a^3}[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

1/CMBĐT
[TEX]\sum_{abc}\frac{a}{b+c+1}+\sum_{abc} (1-a)[/TEX]\leq1

điều kiện của a,b,c thế nào chị :-??

 

[bboy114crew]

1/CMBĐT
[TEX]\sum_{abc}\frac{a}{b+c+1}+\sum_{abc} (1-a)[/TEX]\leq1
vs a,b,c thuộc [0,1]
2/
[TEX]\sum _{abcd}\frac{a^2}{b^5}[/TEX]\geq [TEX]\sum_{abc} {\frac{1}{a^3}[/TEX]

đề bài nói rồi mà!

điều kiện của a,b,c thế nào chị :-??

đề là a,b,c thuộc [0,1]
..................................

 

[bboy114crew]

1/CMBĐT
[TEX]\sum_{abc}\frac{a}{b+c+1}+\sum_{abc} (1-a) [/TEX]\leq1
vs a,b,c thuộc [0,1]

cái chỗ [TEX]\sum_{abc} (1-a)[/TEX] là tổng nhưng mình nghĩ là tích đó
bạn xem lại đi!
hay là tích:[TEX]\prod_{abc}(1-a)[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

1/CMBĐT
[TEX]\sum_{abc}\frac{a}{b+c+1}+\sum_{abc} (1-a)[/TEX]\leq1
vs a,b,c thuộc [0,1]

2/
[TEX]\sum _{abcd}\frac{a^2}{b^5}[/TEX]\geq [TEX]\sum_{abc} {\frac{1}{a^3}[/TEX]

1 , đề đúng là [TEX]a,b,c\in [0;1].Prove \sum\frac{a}{b+c+1}+\prod(1-a)\leq 1[/TEX]
[TEX]g/s a=max(a;b;c)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left{\frac{a}{b+c+1}=\frac{a}{b+c+1}\\{\frac{b}{c+a+1}\leq \frac{b}{c+b+1}\\{\frac{c}{a+b+1}\leq \frac{c}{c+b+1}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sum\frac{a}{b+c+1}\leq \frac{a+b+c}{b+c+1}(1)[/TEX]
[TEX]To prove :\prod(1-a)\leq 1-\frac{a+b+c}{b+c+1}=\frac{1-a}{b+c+1}(2)[/TEX]
[TEX]If :a=1\Rightarrow (2) true[/TEX]
[TEX]If :a\not=1 \Rightarrow 1-a>0 :(2)\Rightarrow (b+c+1)(1-b)(1-c)\leq 1[/TEX]
[TEX]AM-GM: (b+c+1)(1-b)(1-c)\leq [\frac{(b+c+1+1-b+1-c}{3}]^3=1\Rightarrow (2) true[/TEX]
[TEX](1)+(2):: Done[/TEX]

 

[bboy114crew]

[TEX] x;y;z\not=1 t/m xyz=1.CM:\sum_{cyc}(\frac{x}{x-1})^2\geq 1(1)[/TEX]

dây là bài 2 trong kì thi toán quốc tế IMO 2008.
giải :
[TEX]đặt x=\frac{a}{b} ; y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}[/TEX]
[TEX]m=\frac{a+b}{a-b};n=\frac{b+c}{b-c};p=\frac{c+a}{c-a}[/TEX]
khi đó(1) \Leftrightarrow [TEX] (\frac{a}{a-b})^2 + (\frac{b}{b-c})^2 +(\frac{c}{c-a})^2 \geq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(m+1)^2+(n+1)^2+(p+1)^2 \geq 4[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]m^2+n^2+p^2+2(m+n+p)\geq 1(2)[/TEX]
vì [TEX](m+1)(n+1)(p+1) = (m-1)(n-1)(p-1) \Rightarrow nm+mp+np=-1[/TEX]
Do đó:[TEX](2)\Leftrightarrow(m+n+p)^2 + 2(m+n+p) \geq -1[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](m+n+p+1)^2 \geq 0[/TEX] Luôn đúng!
còn đây là bài toán tổng quát:
[TEX] x;y;z\not=1 t/m xyz=1.CM:\sum_{a,b,c}(\frac{x+m}{x-1})^2\geq 1[/TEX]

 

[vansang95]

Thử bài này cac ban:

Voi a;b;c > 0

[TEX]sqrt{\frac{a(b+c)}{{a}^{2}+bc}}+\sqrt{\frac{b(c+a) }{{b}^{2}+ca}}+\sqrt{\frac{c(a+b)}{{c}^{2}+ab}} \geq 2[/TEX]

 

[01263812493]

Mọi người giúp em hai bài không dùng Schur

[TEX]Vs \ x,y,z >0. \ C/m:[/TEX]
a)

b)

 

[legendismine]

Thử bài này cac ban:

Voi a;b;c > 0

[TEX]sqrt{\frac{a(b+c)}{{a}^{2}+bc}}+\sqrt{\frac{b(c+a) }{{b}^{2}+ca}}+\sqrt{\frac{c(a+b)}{{c}^{2}+ab}} \geq 2[/TEX]

bất đẳng thức này không tồn tại dấu bằng để tồn tại dk của đề bài phải là [tex]a,b,c\ge 0[/tex] và đẳng thức xảy ra khi a=0,b=c=1 và các hoán vị xoay vòng

 

[tell_me_goobye]

[TEX]1; x;y;z\geq0.CM:\sum_{cyc}x^2(y+z)\geq (\sum xy)\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}[/TEX]

[TEX]AM-GM:\sqrt[3]{\prod(x+y)}\leq \frac{2(x+y+z)}{3}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VP\leq \frac23(x+y+z)(xy+yz+zx)[/TEX]
[TEX]\text{can chung minh:} \sum_{cyc}x^2(y+z)\geq \frac23(x+y+z)(xy+yz+zx)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3[\sum_{cyc}xy(x+y)]\geq 2[\sum_{cyc}xy(x+y)]+6xyz[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum_{cyc}xy(x+y)\geq 6xyz \text{(dung)}[/TEX]
[TEX]\text{vi theo AM-GM}:\sum_{cyc}xy(x+y)\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2\prod(x+y)}\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^28xyz}=6xyz[/TEX]

 

[trydan]

Nhân dịp năm mới tặng các bạn bài toán:
Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện [TEX]abc=1[/TEX].Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{1}{\sqrt{a^3+2b^3+6}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+2c^3+6}}+ \frac{1}{\sqrt{c^3+2a^3+6}} \leq 1 [/TEX]

 

[tell_me_goobye]

[TEX]1; a;b;c>0 t/m \sum\sqrt{a}=1:\text{chung minh}:\sum_{cyc}\frac{a^2+bc}{a\sqrt{b+c}}\geq \sqrt{2}[/TEX]
[TEX]2; a;b;c>0 t/m :a+b+c\geq \frac32(1+\frac{1}{abc}).\text{Tim min}P=\sum_{cyc}\frac{a^3b}{1+ab^2}[/TEX]

 

[legendismine]

[TEX]1; a;b;c>0 t/m \sum\sqrt{a}=1:\text{chung minh}:\sum_{cyc}\frac{a^3+bc}{a\sqrt{b+c}}\geq \sqrt{2}[/TEX]
[TEX]2; a;b;c>0 t/m :a+b+c\geq \frac32(1+\frac{1}{abc}).\text{Tim min}P=\sum_{cyc}\frac{a^3b}{1+ab^2}[/TEX]

Cái bài j mà nó cứ loằng ngoằng )
Bài 2:
[tex]LHS\leftrightarrow \sum_{abc}\frac{a^2}{\frac{1}{ab}+b}\ge \frac{(a+b+c)^2}{\sum_{abc}\frac{1}{ab}+a+b+c}(using cauchy-schwarz)\ge \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(1+\frac{1}{abc})}[/tex]
Thử áp dụng đề bài cho cái [tex]1+\frac{1}{abc}[/tex] thử xem nhé

 

[nhockthongay_girlkute]

bất đẳng thức này không tồn tại dấu bằng để tồn tại dk của đề bài phải là [tex]a,b,c\ge 0[/tex] và đẳng thức xảy ra khi a=0,b=c=1 và các hoán vị xoay vòng

cậu post bài làm lên hộ tớ nhá , thanks

 

[nhockthongay_girlkute]

[TEX]1; a;b;c>0 t/m \sum\sqrt{a}=1:\text{chung minh}:\sum_{cyc}\frac{a^2+bc}{a\sqrt{b+c}}\geq \sqrt{2}[/TEX]
[TEX]2; a;b;c>0 t/m :a+b+c\geq \frac32(1+\frac{1}{abc}).\text{Tim min}P=\sum_{cyc}\frac{a^3b}{1+ab^2}[/TEX]

1; [TEX]\text{xet}: M=\sum_{cyc}\frac{a^2}{a\sqrt{b+c}}= \sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{b+c}}[/TEX]
[TEX]AM-GM: \frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{\sqrt{b+c}}{2}\geq \sqrt{2a}....[/TEX]
[TEX]\Rightarrow M\geq \sqrt2-(\frac{\sum\sqrt{a+b}}{2})[/TEX]
[TEX]\text{xet}N=\sum_{cyc}\frac{bc}{a\sqrt{b+c}}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{abc(\sum\sqrt{a+b}}\geq \frac{3(a+b+c)}{\sum\sqrt{a+b}}\text{(vi (ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)}[/TEX]
[TEX]\text{ta co }(\sum\sqrt{a+b})^2\leq 6(a+b+c)\Rightarrow N\geq \frac{\sum\sqrt{a+b}}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow M+N\geq \sqrt{2}(dpcm)[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

[TEX]a;b;c \geq 0[/TEX] thỏa mãn không có 2 số nào đồng thời bằng 0 .CM
[TEX]\frac12\leq \sum_{cyc}\frac{a^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq\frac23[/TEX]