[Toán 10] Bất đẳng thức

[bigbang195]

Cho các số dương a,b,c có tích bằng 1. Chứng minh rằng :

[TEX]\sum_{cyc} a^2+\sum_{cyc} a \ge 2\sum_{cyc} ab[/TEX]

Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương thì :
[TEX]a^2+b^2+c^2+2+abc \ge a+b+c+ab+bc+ac[/TEX]

Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương thì :
[TEX](a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2)(ab+bc+ac)^2 \ge 8a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)^2[/TEX]

 

[duynhan1]

Cho a,b,c duong và [TEX]a+b+c=abc[/TEX]. Chung minh:
[TEX]\frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}+\frac{b}{\sqrt{ca(1+b^2)}}+ \frac{c}{\sqrt{ab(1+c^2)}}\leq \frac{3}{2}[/TEX].

[TEX]VT = \sum \sqrt{\frac{a^2}{(a+b)(a+c)}} \le \frac12 \sum ( \frac{a}{a+b}+ \frac{a}{a+c} ) = \frac32[/TEX]

 

[duynhan1]

2, Cho [TEX]a,b,c>1 [/TEX] và [TEX]abc=8[/TEX]. Tìm GTNN của:
[TEX]P=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}[/TEX].

Bằng chứng minh tương đương ta chứng minh được BDT :

Ta có :

[TEX]\Leftrightarrow P \ge 1 [/TEX]

 

[bigbang195]

a,b,c>0 . thỏa mãn [TEX]abc=1[/TEX]. Chứng minh rằng :

[TEX]\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{1}{b^2+b+1}+\frac{1}{c^2+c+1} \ge 1[/TEX]

 

[vuanoidoi]

4. Cho [TEX]x,y,z\in{[1;3]}[/TEX]. Chung minh:
[TEX](x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\leq 12[/TEX].

Thử các TH x,y,z=0 rồi
Đặt:[tex]a=\frac{2}{x-1}-1;b=\frac{2}{y-1}-1;c=\frac{2}{z-1}-1 [/tex]
Thế vào biến đổi tương đương hình như ra
PS:Đại ca Sơn ra tay giùm bọn em cái ^^ xin cám ơn đại ca ^^

 

[bigbang195]

3, Cho [TEX]x,y,z\in{(0;1]}[/TEX] . Chung minh:
[TEX]\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1}\leq \frac{5}{x+y+z}[/TEX].

mọi người thử làm bài này :

[TEX]x,y,z \in [1,2].[/TEX] Chứng minh :

[TEX]\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1}< \frac{5}{x+y+z}[/TEX].

 

[vuanoidoi]

3, Cho [TEX]x,y,z\in{(0;1]}[/TEX] . Chung minh:
[TEX]\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1}\leq \frac{5}{x+y+z}[/TEX].

Đặt: [tex]a=\frac{1}{x-1}-1 ;b=...;c=....[/tex]
Thế vào chắc ra

 

[0915549009]

Cho các số dương a,b,c có tích bằng 1. Chứng minh rằng :

[TEX]\sum_{cyc} a^2+\sum_{cyc} a \ge 2\sum_{cyc} ab[/TEX]

Em thử làm mong các anh chỉ giáo ^^^^^^. Ta có BĐT:
[TEX]a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b+c)^2+2abc+1 \geq 4(ab+bc+ca) \Leftrightarrow (a+b+c)^3 + (2abc+1)(a+b+c) \geq 4(ab+bc+ca)(a+b+c)[/TEX]
Do [TEX](a+b+c)^3+9abc \geq 4(ab+bc+ca)(a+b+c) . ma. (2abc+1)(a+b+c) \geq 9abc \Rightarrow (a+b+c)^3+(2abc+1)(a+b+c) \geq 4(ab+bc+ca)[/TEX]
Mặt khác, từ BĐT thỳ: [TEX]a^2+b^2+c^2+3 \geq 4(ab+bc+ca).ma. a+b+c \geq 3 \Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[shyhaeky_1111]

1.Cho a,b,c >0 và a +b+c=1. CMR: [TEX]\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{a+b} \geq 2[/TEX]
2. Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}[/TEX]

 

[legendismine]

1.Cho a,b,c >0 và a +b+c=1. CMR: [TEX]\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{a+b} \geq 2[/TEX]
2. Cho a,b,c là các số thực dương. CMR: [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}[/TEX]

Bài 1:
[tex]\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac {a^2+b}{b+c}+a+b+c\ge 3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac {a+b}{b+c}\ge 3[/tex]
By am-gm
Bài 2:
Ta đặt a/b=x.....=>xyz=1
[tex]\sum_{cyc}\frac {x-1}{y+1}\ge 0[/tex] wy đồng
By cheybev or engel

 

[0915549009]

Cho a,b,c là các số thực dương và abc=1.
Chứng minh :
[TEX]\sum \frac{a}{a+b^2+c^3} \leq 1[/TEX]

 

[shyhaeky_1111]

1. Cho a, b, c là các số thực dương. CMR:
[TEX]\frac{a+b}{b+c}.\frac{a}{2a+b+c}+ \frac {b+c}{c+a} . \frac{b}{2b+c+a}+\frac{c+a}{a+b}.\frac{c}{2c+a+b} \geq \frac{3}{4}[/TEX]
2. CMR với x,y,z>0 và x+y+z=xyz thì [TEX]xy+yz+zx \geq 3 + \sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}[/TEX]

 

[minhkhac_94]

2. CMR với x,y,z>0 và x+y+z=xyz thì [TEX]xy+yz+zx \geq 3 + \sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}[/TEX]

Đặt

Bất đẳng thức trở thành:

Mà

Có các BĐT tương tự công vào =>ĐPCM

 

[bigbang195]

a,b,c >0

[TEX]\huge a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc+5\ge 3(a+b+c)[/TEX] .

 

[minhkhac_94]

[TEX]\huge a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc+5\ge 3(a+b+c)[/TEX] .

Ta có

Do đó ta chỉ cần cm

Lại có

(biến đổi <=> OK liền)
BĐT cần cm :

(đúng theo BĐT schur)
Dấu"=" xảy ra

 

[0915549009]

[TEX]\huge a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc+5\ge 3(a+b+c)[/TEX] .

Bài này gần giống bài trong VD về p, q, r của VTV )))
Cho a, b, c > 0. Min:
[TEX]\sqrt {\frac{a}{b+c}}+\sqrt {\frac{b}{a+c}}+\sqrt {\frac{c}{a+b}} + \frac{\sqrt {2}(a+b+c)}{\sqrt {ab}+\sqrt {bc}+\sqrt {ca}}[/TEX]

 

[vuanoidoi]

Cho tứ giác lồi ABCD tìm Min của MA+MB+MC+MD .........

 

[legendismine]

Bài này gần giống bài trong VD về p, q, r của VTV )))
Cho a, b, c > 0. Min:
[TEX]\sqrt {\frac{a}{b+c}}+\sqrt {\frac{b}{a+c}}+\sqrt {\frac{c}{a+b}} + \frac{\sqrt {2}(a+b+c)}{\sqrt {ab}+\sqrt {bc}+\sqrt {ca}}[/TEX]

[tex]\frac {\sqrt {2}(a+b+c)}{\sum_{cyc}\sqrt {ab}}\ge \sqrt {2}[/tex]
[tex]\sum_{cyc}\frac {a}{\sqrt {a(b+c)}}\ge 2[/tex]
By Am-Gm

 

[legendismine]

bài này thứ nhất là ko tìm đc a b c để <=1 còn nếu chứng minh thì cứ nhân chéo thôi.

Hix bài này mãi chẳng ai làm thôi tớ làm vậy.
[tex]\Leftrightarrow\frac {1}{2}-\sum_{cyc}\frac {a^2}{2a^2+bc}\ge \frac{1}{2}[/tex]
[tex]\sum_{cyc}\frac {bc}{2a^2+bc}\ge 1[/tex]
By CS

 

[legendismine]

Pic vắng bóng người góp mấy bài để cho mọi ng bơt sầu.
Cho x,y,z>0 xyz=1.C/m:
[tex]\sum_{cyc}\frac {1}{1+(1+x)^3}\ge \frac {1}{3}[/tex]
Cho a,b,c>0.C/m:
[tex]\sum_{cyc}\frac {a^9}{bc}+\frac {2}{abc}\ge a^4+b^4+c^4+3[/tex]