[Toán 10] Bất đẳng thức

[0915549009]

Bạn ơi ! Bạn làm rõ hơn tí đc ko ? Mình ko hỉu lứm !

[TEX]\sqrt{\frac{a}{b}}=x; \sqrt{\frac{b}{c}}=y; \sqrt{\frac{c}{a}}=z \Rightarrow \sum x \geq 3 [/TEX]

[TEX]3(x^3+y^3+z^3) \geq (x+y+z)(x^2+y^2+z^2) \geq 3(x^2+y^2+z^2) \Rightarrow x^3+y^3+z^3 \geq x^2+y^2+z^2(dpcm)[/TEX]

 

[trydan]

Cách giải khác (sáng sủa hơn)

Tương tự ta suy ra đpcm!

 

[nhockthongay_girlkute]

[TEX]Let a,b,c>0.Prove that :\sum_{cyc}\frac{a^4}{a^4+\sqrt[3]{(a^6+b^6)(a^3+c^3)^2}}\leq1[/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX]Let a,b,c>0.Prove that :\sum_{cyc}\frac{a^4}{a^4+\sqrt[3]{(a^6+b^6)(a^3+c^3)^2}}\leq1[/TEX]

[TEX]Holder \to \sqrt[3]{(a^6+b^6)(a^3+c^3)^2} \ge a^4 + b^2c^2 [/TEX]

[TEX](bdt) \Leftrightarrow \sum \frac{a^4}{2a^4+b^2c^2} \le 1 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c^2}{2a^4+b^2c^2} \ge 1 [/TEX]
Mà ta có :
[TEX]\Large VT \ge \frac{ (\sum b^2c^2)^2}{\sum b^4c^4 + 2 \sum a^4b^2c^2} = 1(dpcm)[/TEX]

 

[legendismine]

[TEX]Holder \to \sqrt[3]{(a^6+b^6)(a^3+c^3)^2} \ge a^4 + b^2c^2 [/TEX]

[TEX](bdt) \Leftrightarrow \sum \frac{a^4}{2a^4+b^2c^2} \le 1 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c^2}{2a^4+b^2c^2} \ge 1 [/TEX]
Mà ta có :
[TEX]\Large VT \ge \frac{ (\sum b^2c^2)^2}{\sum b^4c^4 + 2 \sum a^4b^2c^2} = 1(dpcm)[/TEX]

Anh nhân thích dài hì nếu holder sao k holder cho nó ra [tex]a^2b^2+a^2c^2[/tex] rồi chia cả tử và mẫu cho [tex]a^2[/tex] thế cộng lại là

 

[duynhan1]

[TEX]Cho \ \left{ a,b,c \ge - \frac34 \\ a+b+c=1\right. \ \ CM: \sum \frac{a}{a^2+1} \le \frac{9}{10}[/TEX]

[TEX]Cho \ \left{ a,b,c > 0\\ a+b+c=3\right. \ \ CM: \sum \sqrt{a} \ge ab+bc+ca[/TEX]

 

[girlkute_nhockthongay]

[TEX] [TEX]Cho \ \left{ a,b,c > 0\\ a+b+c=3\right. \ \ CM: \sum \sqrt{a} \ge ab+bc+ca[/TEX]

[TEX]BDT\Leftrightarrow \sum_{cyc}\sqrt{a}\geq \frac{(a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2}{2}=\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum_{cyc}2\sqrt{a}+\sum_{cyc}a^2\geq 9=3(a+b+c)[/TEX]
[TEX]ma:a^2+2\sqrt{a}\geq 3a[/TEX]
[TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

[TEX]Cho:a,b,c\geq 0[/TEX] đôi 1 khác nhau [TEX]t/m:ab+bc+ca=4[/TEX]
[TEX]CM:\sum\frac{1}{(a-b)^2}\geq1[/TEX]

 

[chuanho]

Cho x\geqy\geqz\geq0


CMR: [TEX]\sum\frac{x^2y}{z}\geq\sum{x^2}[/TEX]

Tớ vik tắt
tẹo các bác cố hiểu hehe

 

[nhockthongay_girlkute]

Cho x\geqy\geqz\geq0


CMR: [TEX]\sum\frac{x^2y}{z}\geq\sum{x^2}[/TEX]

Tớ vik tắt
ko bik các bác cố hiểu hehe

[TEX] cauchy-schwars :(\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y})( \frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x})\geq (\sum x^2)^2[/TEX]
[TEX]otherwise:(\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y})-(\frac{x^2z}{y}+\frac{y^2x}{z}+\frac{z^2y}{x}) =\frac{(\sum xy)(x-y)(y-z)(x-z)}{xyz}[/TEX]
[TEX]because: \left{x\geq y\Rightarrow x-y\geq 0\\{ y\geq z\Rightarrow y-z\geq0\\{ x\geq z\Rightarrow x-z\geq 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow\left{(x-y)(y-z)(x-z)\geq 0\\{ x;y;z\geq 0\Rightarrow \sum xy\geq0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{(\sum xy)(x-y)(y-z)(x-z)}{xyz}\geq0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sum\frac{x^2y}{z}\geq \sum\frac{x^2z}{y} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow (\sum\frac{x^2y}{z})^2\geq (\sum\frac{x^2y}{z})(\sum\frac{x^2z}{y})\geq (\sum x^2)^2[/TEX]

oke men rồi nhá chị chuanho

 

[chuanho]

Next

1/Cho a,b,c,p,q là 5 số >0 tùy ý .CM
[TEX]\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}[/TEX]\geq[TEX] \frac{3}{p+q}[/TEX]

2/Cho a,b,c,là ba số >0.m,n là hai số [TEX]Z^+[/TEX].CMR

[TEX]a^mb^n+b^mc^n+c^ma^n[/TEX]\leq[TEX]\sum_{a,b,c} a^{m+n}[/TEX]

3/Cho a,b,c,d là bốn số >0 tùy ý. CMR với \forall số Z n\geq1,ta đều có:

[TEX]\sum_{a,b,c,d} \frac{a^n}{b+c+d}[/TEX]\geq[TEX]\frac{\sum_{a,b,c,d} a^{n-1}}{3}[/TEX]

 

[trydan]

Đầu năm mà mấy bác post bài nặng đô quá!
p/S: Các bác post đáp án các bài kia dùm e!

Tìm max

 

[0915549009]

Đầu năm mà mấy bác post bài nặng đô quá!
p/S: Các bác post đáp án các bài kia dùm e!

Tìm max

[TEX]\frac{x}{x+1}= 3 - \sum \frac{1}{x+1} \leq 3 - \frac{9}{\sum x + 3} = \frac{3}{4}[/TEX]

 

[trydan]

Tìm min

 

[0915549009]

Tìm min

[TEX]\frac{1}{\sum x^2} + \sum \frac{1}{xy} = \frac{1}{\sum x^2} + \frac{1}{3} \sum \frac{1}{xy} + \frac{2}{3}\sum \frac{1}{xy} \geq 30 (Cauchy)[/TEX]

 

[duynhan1]

Đầu năm mà mấy bác post bài nặng đô quá!
p/S: Các bác post đáp án các bài kia dùm e!

Tìm max

[TEX]\sum \frac{x}{x+1} = \sum \frac{x}{(x+y)+(x+z)} \le \frac14. \sum ( \frac{x}{x+y} + \frac{x}{x+z} ) = \frac34 [/TEX]

1/Cho a,b,c,p,q là 5 số >0 tùy ý .CM
[TEX]\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}[/TEX]\geq[TEX] \frac{3}{p+q}[/TEX]

[TEX]\sum \frac{a}{p.b+q.c} = \sum \frac{a^2}{p.ab+q.ac} \ge \frac{(a+b+c)^2}{(p+q(ab+bc+ca)} \ge \frac{3}{p+q} [/TEX]

2/Cho a,b,c,là ba số >0.m,n là hai số [TEX]Z^+[/TEX].CMR

[TEX]a^mb^n+b^mc^n+c^ma^n[/TEX]\leq[TEX]\sum a^{m+n}[/TEX]

[TEX]m . a^{m+n} + n. b^{m+n} \ge (m+n) a^m.b^n (Cauchy)[/TEX]

Tương tự rồi cộng lại.

 

[trydan]

[TEX]\frac{1}{\sum x^2} + \sum \frac{1}{xy} = \frac{1}{\sum x^2} + \frac{1}{3} \sum \frac{1}{xy} + \frac{2}{3}\sum \frac{1}{xy} \geq 30 (Cauchy)[/TEX]

Không thể hiểu nổi!
Ngân giải thích rõ ra tí đi
............................................................. Đầu óc mình (~~)

 

[0915549009]

[TEX]Cho:a,b,c\geq 0[/TEX] đôi 1 khác nhau [TEX]t/m:ab+bc+ca=4[/TEX]
[TEX]CM:\sum\frac{1}{(a-b)^2}\geq1[/TEX]

Giả Sử[TEX] z= {min(x,y,z)}[/TEX] We have:
[TEX](x-z)^2+(y-z)^2=(x-y)^2+2(x-z)(y-z) [/TEX]
So by the AM-GM inequaliy ,we get
[TEX]\frac{1}{(x-y)^2} +\frac{1}{(y-z)^2} + \frac{1}{(z-x)^2} [/TEX]
[TEX]=\frac{1}{(x-y)^2} +\frac{(x-y)^2}{(y-z)^2(z-x)^2} +\frac{2}{(y-z)(x-z)} \ge [/TEX]
[TEX]\frac{2}{(y-z)(z-x)} +\frac{2}{(y-z)(z-x)} =\frac{4}{(y-z)(x-z)} \ge \frac{4}{xy+yz+xz}[/TEX]

đây nè chị

 

[0915549009]

Không thể hiểu nổi!
Ngân giải thích rõ ra tí đi
............................................................. Đầu óc mình (~~)

[TEX]\frac{1}{x^2+y^2+z^2} + \frac{1}{3xy} + \frac{1}{3yz} + \frac{1}{3xz} \geq \frac{(1+1+1+1)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz+xy+yz+xz} \geq \frac{16}{\frac{4}{3}} =12[/TEX]
[TEX]\sum \frac{2}{3xy} \geq \frac{2.9}{3(xy+yz+xz)}\geq 18[/TEX]

 

[01263812493]

Không dùng Schur