[Toán 10] Bất đẳng thức

[bigbang195]

Chúng ta luôn có :

[TEX]\huge \blue \frac{1}{1-xy} \le \frac{27}{384}\[27\(xy\)^2+12xy+1\] [/TEX]

[TEX]\huge\red \righ \sum_{cyc}\frac{1}{1-xy} \le \frac{27}{384}\[27\(xy\)^2+9\(yz\)^2+\9(zx\)^2+12\(xy+yz+zx\)+3\] [/TEX]

Tới đây là quá dễ [TEX]\huge Done!![/TEX]

Cái này hình như là chiêu mới , dùng [TEX]Ax^2+Bx+C[/TEX] rùi

 

[nhockthongay_girlkute]

[TEX]x;y;z>0.CM[/TEX]
[TEX]\sum\frac{1}{x^2+xy+y^2}\geq \frac{9}{(x+y+z)^2}[/TEX]

 

[rua_it]

[TEX]x;y;z>0.CM[/TEX]
[TEX]\sum\frac{1}{x^2+xy+y^2}\geq \frac{9}{(x+y+z)^2}[/TEX]

Chuẩn hóa [tex]x+y+z=1[/tex]

[tex]\Rightarrow\sum_{cyc} \frac{1}{x^2+xy+y^2} \geq \frac{9}{(x+y+z)^2}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{1}{1-(q+z)} \geq {9}{(x+y+z)^2} \ Dat: \left{\begin{p=x+y+z}\\{q=xy+yz+zx}\\{r=xyz}[/TEX][/tex]

[tex]\Leftrightarrow \sum_{cyc} (1-q-x)(1-q-y) \geq 9.\prod(1-x-q)[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 9.(1-q)^3+3.(1-q)+9(q-q^2)-9xyz-12.(1-q)^2+5 \leq 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 9.q^3+6q^2+9r-3q+1\geq 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (9q^3+6q^2+q)+9r+1-4q \geq 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow q.(3q+1)^2+9r+1-4q\geq 0[/tex]

[tex]Schur(!!)[/tex]

Post cuối cùng trong box toán nhé em.

 

[nhocngo976]

[tex] cho \left{\begin{a,b>0 \\ab+a+b=3 \tex{chung minh} \frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b} <=a^2+b^2+\frac{3}{2}[/tex]

 

[quyenuy0241]

[tex] cho \left{\begin{a,b>0 \\ab+a+b=3 \tex{chung minh} \frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b} <=a^2+b^2+\frac{3}{2}[/tex]

[TEX]Note:\frac{ab}{a+b} \le \frac{a+b}{4} [/TEX]

Can CM:

[tex] \frac{3a^2+3a+3b^2+3b}{ab+a+b+1}+\frac{a+b}{4} \le a^2+b^2+\frac{3}{2} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a+b)(a+b-2 ) \ge 0 [/TEX]

Đúng do [tex]4=ab+a+b+1=(a+1)(b+1) \le \frac{(a+b+2)^2}{4} \Rightarrow a+b \ge 2 [/TEX]

 

[bboy114crew]

1)cho các số thực dương [tex]x_1;x_2;...;x_{2007}[/tex] thỏa mãn [tex]\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} + ... + \sqrt{x_{2007} = 2007[/tex]
t“m giá trị lớn nhất của [tex]P= \sqrt{x_1x_2} + \sqrt{x_2x_3} + ... + \sqrt{x_{2006}x_{2007}}[/tex]
2)cho x>0 t“m x để [tex] N=\frac{x}{(x+2010)^2}[/tex] đạt GTLN.
3)cho các số x,y thỏa mãn x> 8y > 0Hãy t“m GTNN của biểu thức:
[tex]x+ \frac{1}{y(x-8y)}[/tex]

 

[dinhnam9f]

[TEX]x,y,z\geq0[/TEX]
CRM [TEX]\sum \sqrt{x^2+xy+2y^2}\geq 2\left ( x+y+z \right )[/TEX]

 

[dandoh221]

[TEX]x,y,z\geq0[/TEX]
CRM [TEX]\sum \sqrt{x^2+xy+2y^2}\geq 2\left ( x+y+z \right )[/TEX]

[TEX]\sum \sqrt{(x+\frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2} \ge ...[/TEX]
Mincopxki:-?

 

[duynhan1]

[TEX]x,y,z\geq0[/TEX]
CRM [TEX]\sum \sqrt{x^2+xy+2y^2}\geq 2\left ( x+y+z \right )[/TEX]

[TEX]\sqrt{x^2 + xy + 2y^2 } \ge \frac34 x + \frac54 y [/TEX] .

Xây dựng tương tự rồi cộng lại

 

[herrycuong_boy94]

1)cho các số thực dương [tex]x_1;x_2;...;x_{2007}[/tex] thỏa mãn [tex]\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} + ... + \sqrt{x_{2007} = 2007[/tex]
t“m giá trị lớn nhất của [tex]P= \sqrt{x_1x_2} + \sqrt{x_2x_3} + ... + \sqrt{x_{2006}x_{2007}}[/tex]
2)cho x>0 t“m x để [tex] N=\frac{x}{(x+2010)^2}[/tex] đạt GTLN.
3)cho các số x,y thỏa mãn x> 8y > 0Hãy t“m GTNN của biểu thức:
[tex]x+ \frac{1}{y(x-8y)}[/tex]

Ý 2 và ý 3 dùng cosi là ra luôn chứ nhỉ ?? :-SS:-SS:-SS:-SS:-SS

 

[bboy114crew]

Ý 2 và ý 3 dùng cosi là ra luôn chứ nhỉ ?? :-SS:-SS:-SS:-SS:-SS

ý 2 dùng denta!
ý 3 bạn thử dùng cô si xem!
ko ra đau!

 

[trydan]

[TEX]\sqrt{x^2 + xy + 2y^2 } \ge \frac34 x + \frac54 y [/TEX] .

Biết rõ là biến đổi tương đương sẽ đúng nhưng tìm [TEX]3/4 \ 5/4[/TEX] ở đâu ra vậy a?

1)cho các số thực dương [tex]x_1;x_2;...;x_{2007}[/tex] thỏa mãn [tex]\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} + ... + \sqrt{x_{2007} = 2007[/tex]
t“m giá trị lớn nhất của [tex]P= \sqrt{x_1x_2} + \sqrt{x_2x_3} + ... + \sqrt{x_{2006}x_{2007}}[/tex]
2)cho x>0 t“m x để [tex] N=\frac{x}{(x+2010)^2}[/tex] đạt GTLN.
3)cho các số x,y thỏa mãn x> 8y > 0Hãy t“m GTNN của biểu thức:
[tex]x+ \frac{1}{y(x-8y)}[/tex]

Bài 2:

Bài 3:

Dấu = khi

 

[duynhan1]

Biết rõ là biến đổi tương đương sẽ đúng nhưng tìm [TEX]3/4 \ 5/4[/TEX] ở đâu ra vậy a?

Giả sử :
[TEX] \sqrt{x^2+ xy + 2y^2} \ge ax + by [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ( 1- a^2) x^2 + ( 1 - 2 ab) xy + (2-b^2) y^2 \ge 0 (*) [/TEX]

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi [TEX]x = y [/TEX] và để đảm bảo điều kiện dấu "=" của nên ta chọn a,b sao cho :

[TEX]\left{ a+ b = 2 (thay\ x=y\ roi\ rut\ gon) \\ 1-a^2 \ \ : \ \ 1-2ab \ \ : \ \ 2-b^2 = 1:-2 :1 (de\ phan\ tich\ duoc\ thanh\ (x-y)^2 ) [/TEX]

 

[legendismine]

Giả sử :
[TEX] \sqrt{x^2+ xy + 2y^2} \ge ax + by [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ( 1- a^2) x^2 + ( 1 - 2 ab) xy + (2-b^2) y^2 \ge 0 (*) [/TEX]

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi [TEX]x = y [/TEX] và để đảm bảo điều kiện dấu "=" của nên ta chọn a,b sao cho :

[TEX]\left{ a+ b = 2 (thay\ x=y\ roi\ rut\ gon) \\ 1-a^2 \ \ : \ \ 1-2ab \ \ : \ \ 2-b^2 = 1:2 :1 (de\ phan\ tich\ duoc\ thanh\ (x-y)^2 ) [/TEX]

HỆ SỐ BẤT ĐỊNH đây mà báo THTT tháng 1 có đấy!!!

 

[trydan]

)
Khai bất đẳng thức đầu xuân!

Chứng minh

 

[namtuocvva18]

)
Khai bất đẳng thức đầu xuân!

Chứng minh

Giai:
Ta co:
[TEX](1-a)(1-b)(1-c)\geq 0[/TEX]
[TEX]<=> a+b+c+abc\leq ab+bc+ca+1[/TEX]
Ma:
[TEX]a+b^2+c^3\leq a+b+c+abc[/TEX]
Suy ra :
[TEX]a+b^2+c^3\leq ab+bc+ca+1[/TEX]
dpcm.

 

[trydan]

bài mùng 1 tết

Chứng minh

 

[0915549009]

Chứng minh

[TEX]BDT \ tro\ thanh: \sum x^3 \geq \sum x^2 vs\ x = \sqrt{\frac{a}{b}}[/TEX]

 

[helldemon]

Bạn ơi ! Bạn làm rõ hơn tí đc ko ? Mình ko hỉu lứm !

 

[trydan]

[TEX]BDT \ tro\ thanh: \sum x^3 \geq \sum x^2 vs\ x = \sqrt{\frac{a}{b}}[/TEX]

Bất đẳng thức trên đúng với mọi