[Toán 10] Bất đẳng thức

[0915549009]

1) Cho a,b,c,d >0
CM: [TEX]\sum \frac{a-b}{a+2b+c} \geq 0 [/TEX]
[TEX]2) a,b,c>0; abc=1. CM: \sum \frac{12a+7}{2a^2+1} \leq 19 [/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

Let x,y,z are non-negative number such that [TEX]x^2+y^2+z^2=3 [/TEX]
Prove that

[TEX]\sum \frac{x}{\sqrt{x^2+y+z}} \leq \sqrt{3}[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

Show that for all nonnegative real values an inequality occurs
prove that
[TEX] 4(\sqrt{a^3b^3}+\sqrt{b^3+c^3}+\sqrt{c^3a^3} \leq 4c^3+(a+b)^3[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c>0;abc \geq 1. CM:\sum \frac{a}{\sqrt{a+\sqrt{bc}}} \geq \frac{3}{\sqrt{2}} [/TEX]

Using the Cauchy's inequality we have :

[TEX]\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a+\sqrt{bc}}} =\sqrt{2}\sum_{cyc}\frac{a}{\sqrt{2(a+\sqrt{bc})}}\ge \sqrt{2}\sum_{cyc}\frac{a}{\frac{a+\sqrt{bc}+2}{2}} \ge 2\sqrt{2}\frac{\bigg(\sum_{cyc}\sqrt{a}\bigg)^2}{\sum_{cyc} a+\sum_{cyc}\sqrt{bc}+6}[/TEX]

But [TEX]6 \le 2 \sum_{cyc}\sqrt{bc} [/TEX] thus we have been )

 

[nhockthongay_girlkute]

1) Cho a,b,c,d >0
CM: [TEX]\sum \frac{a-b}{a+2b+c} \geq 0 [/TEX]
[TEX]2) a,b,c>0; abc=1. CM: \sum \frac{12a+7}{2a^2+1} \leq 19 [/TEX]

1) the inequality can be do

the inequality
[TEX]<=> \sum \frac{3a+c}{a+2b+c} \geq 4 [/TEX]
by the cauchy schwarz inequality ,we have

[TEX] \sum \frac{3a+c}{a+2b+c} \geq \frac{(\sum (3a+c))^2}{\sum (3a+c)(a+2b+c)} [/TEX]
[TEX]= \frac{16(\sum a)^2}{\sum (3a+c)(a+2b+c)} [/TEX]

otherwise

[TEX]\sum (3a+c)(a+2b+c) = 4(a+b+c+d)^2 [/TEX]

done!!!!!!

 

[legendismine]

Let x,y,z are non-negative number such that [TEX]x^2+y^2+z^2=3 [/TEX]
Prove that

[TEX]\sum \frac{x}{\sqrt{x^2+y+z}} \leq \sqrt{3}[/TEX]

Một bài toán khá hay lời giải của mình là đây:
Áp dụng bất đẳng thức CS ta có:
[TEX]\sum \frac{x}{\sqrt{x^2+y+z}} \leq \sqrt{3}[/tex]
[tex]\sum_{cyc}\frac{x\sqrt{1+y+z}}{x+y+z}\le \sqrt {3}[/tex]
[tex]\frac {\sqrt {(x+y+z)(2(xy+yz+xz)+x+y+z)}}{x+y+z} \le \sqrt {3}[/tex]
Vậy ta chỉ cần chứng minh
[tex]x+y+z\ge xy+yz+xz[/tex]
[tex]x+y+z\ge \frac {(x+y+z)^2}{3}[/tex]
[tex](x+y+z)(3-x-y-z)\ge 0[/tex]
Theo đề bài ta có dpcm
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z

Sơn vs Đức nghe nè các cậu bảo tớ không nói tiếng anh trong diễn đàn không cần phải chứng tỏ mình sao bây giờ 2 cậu như thế chứ phải gương "mũ" chứ!!!!!

 

[nhockthongay_girlkute]

show that for all positive real a,b,c
Prove that
[TEX] (a^2+b^2)^2 \geq (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)[/TEX]

 

[bigbang195]

Một bài toán khá hay lời giải của mình là đây:
Áp dụng bất đẳng thức CS ta có:
[TEX]\sum \frac{x}{\sqrt{x^2+y+z}} \leq \sqrt{3}[/tex]
[tex]\sum_{cyc}\frac{x\sqrt{1+y+z}}{x+y+z}\le \sqrt {3}[/tex]
[tex]\frac {\sqrt {(x+y+z)(2(xy+yz+xz)+x+y+z)}}{x+y+z} \le \sqrt {3}[/tex]
Vậy ta chỉ cần chứng minh
[tex]x+y+z\ge xy+yz+xz[/tex]
[tex]x+y+z\ge \frac {(x+y+z)^2}{3}[/tex]
[tex](x+y+z)(3-x-y-z)\ge 0[/tex]
Theo đề bài ta có dpcm
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z

http://www.vnmath.com/2010/12/hoc-mon-toan-chuyen-bang-tieng-anh-tu.html


Tớ nghĩ box Toán sẽ sớm có nhiều người nói tiếng Anh vì lí do này ) .

show that for all positive real a,b,c
Prove that
[TEX] (a^2+b^2)^2 \geq (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)[/TEX]

[TEX]a^4+b^4+2(ab)^2%20\ge%202(ab)^2+2(bc)^2+2(ac)^2-a^4-b^4-c^4%20\\\\%20\Leftrightarrow%202a^4+2b^4+c^4%20\ge%202(ac)^2+2(bc)^2%20\\\\%20\bigg(2a^4+\frac{c^4}{2}\bigg)+\bigg(2b^4+\frac{c^4}{2}\bigg)%20\ge%202(ac)^2+2(bc)^2[/TEX]

i think we have done

 

[legendismine]

Cho [tex]a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}=3[/tex] và a,b,c>0.Tìm giá trị lớn nhất [tex]P=a^2+b^2+c^2[/tex]

 

[nhockthongay_girlkute]

the inequality

let a,b,c be positive real numbers such that abc =1
Prove that

1)[TEX] (1+\frac{1}{a+b})(1+\frac{1}{b+c})(1+\frac{1}{c+a}) \geq \frac{27}{8} [/TEX]

2)[TEX] 27(a^3+a^2+a+1)(b^3+b^2+b+1)(c^3+c^2+c+1) \geq 64(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)[/TEX]

 

[bigbang195]

the inequality

let a,b,c be positive real numbers such that abc =1
Prove that

1)[TEX] (1+\frac{1}{a+b})(1+\frac{1}{b+c})(1+\frac{1}{c+a}) \geq \frac{27}{8} [/TEX]

2)[TEX] 27(a^3+a^2+a+1)(b^3+b^2+b+1)(c^3+c^2+c+1) \geq 64(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)[/TEX]

[TEX]\frac{3(a^3+a^2+a+1)}{4(a^2+a+1)}-\frac{(a+1)}{2}=\frac{(a-1)^2(a+1)}{4(a^2+a+1)} \ge 0 \\\\\Rightarrow \frac{3(a^3+a^2+a+1)}{4(a^2+a+1)} \ge \frac{(a+1)}{2} \ge 1 \Rightarrow \prod_{cyc}\frac{3(a^3+a^2+a+1)}{4(a^2+a+1)} \ge 1 [/TEX]

we have done !!?/////||||\\\\\\\\.

 

[quyenuy0241]

ai có thể cm dùm mình bđt schur này :
[TEX]a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)[/TEX]

[tex]\Leftrightarrow a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) \ge 0 [/tex]


Tới đây thì có thể giả sử!

 

[williamdunbar]

[tex]\Leftrightarrow a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) \ge 0 [/tex]


Tới đây thì có thể giả sử!

Có thể ko dùng bđt schur giải được ko ạ. Dùng bđt cơ bản ý

 

[nhockthongay_girlkute]

prove that for any positive real numbers a,b,c the following inequlity holds

[TEX]\frac{1}{3a} +\frac{1}{3b} +\frac{1}{3c} +\frac{3}{a+b+c} \geq \frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a} +\frac{1}{2c+b}+\frac{1}{2b+a}+\frac{1}{2a+b} [/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

with any positive real numbers a,b,c ,Prove that

[TEX] \sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)} } \leq 1[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

FOR non-negative real number a,b,c
Prove that

[TEX]\sum \frac{a(b+c)}{a^2+bc} \geq 2 [/TEX]

 

[letrang3003]

FOR non-negative real number a,b,c
Prove that

[TEX]\sum \frac{a(b+c)}{a^2+bc} \geq 2 [/TEX]

 

[vodichhocmai]

For non-negative real number [TEX]a,b,c [/TEX]Prove that

[TEX]\sum \frac{a(b+c)}{b^2+c^2} \geq 2 [/TEX]

 

[vodichhocmai]

For non-negative real number a,b,c
Prove that :

[TEX]\sum \sqrt{ \frac{a(b+c)}{a^2+bc}} \geq 2 [/TEX]

 

[legendismine]

with any positive real numbers a,b,c ,Prove that

[TEX] \sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)} } \leq 1[/TEX]

Ta có:
Theo bất đẳng thức cauchy-schwarz:[[tex]\sqrt{(a+b)(a+c)}\ge \sqrt{ac}+\sqrt {ab}[/tex]
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
[tex]LHS\le \sum_{cyc}\frac{a}{a+\sqrt{ac}+\sqrt {ab}}=\sum_{cyc}\frac {\sqrt{a}}{\sqrt {a}+\sqrt {b}+\sqrt {c}}=1[/tex]
Vậy ta có dpcm.Đẳng thức xảy ra khi a=b=c