[Toán 10] Bất đẳng thức

[nhockthongay_girlkute]

x,y,z >0
[TEX] \sum \sqrt{x} =1 [/TEX]

CM
[TEX] \sum \frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}} \geq 1[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

cho x,y,z >0

tìm min

[TEX]\sum \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} [/TEX]

 

[tuyn]

cho a,b,c>o ,[TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX].CMR:
[TEX]\frac{a^2}{1+bc}+\frac{b^2}{1+ca}+\frac{c^2}{1+ab} \geq \frac{3}{4}[/TEX]
ta có [TEX]bc \leq \frac{b^2+c^2}{2}[/TEX]
[TEX]ca \leq \frac{c^2+a^2}{2}[/TEX]
[TEX]ab \leq \frac{b^2+a^2}{2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]VT \geq \frac{2a^2}{2+b^2+c^2}+\frac{2b^2}{2+c^2+a^2}+\frac{2c^2}{2+a^2+b^2}[/TEX]
ta CM [TEX]\frac{2a^2}{2+b^2+c^2}+\frac{2b^2}{2+c^2+a^2}+\frac{2c^2}{2+a^2+b^2} \geq \frac{3}{4}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{a^2}{2+b^2+c^2}+\frac{b^2}{2+c^2+a^2}+\frac{c^2}{2+a^2+b^2} \geq \frac{3}{8}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{a^2}{2+b^2+c^2}+1+\frac{b^2}{2+c^2+a^2}+1+\frac{c^2}{2+a^2+b^2}+1 \geq \frac{3}{8}+3[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a^2+b^2+c^2+2)(\frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2}) \geq \frac{27}{8}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2} \geq \frac{9}{8}[/TEX]
áp dụng Côsi cho VT là ra

 

[vodichhocmai]

Cho [TEX]a,b,c,d>0[/TEX] thoả mãn [TEX]abcd=1[/TEX] chứng minh rằng khi đó ta có :
[TEX]\ \ \ \ \ \sum_{cyclic} \sqrt{a^2+1} \le \sqrt{2}\(a+b+c+d\)[/TEX]

ko biết em ngu hay sao chứ hình như VT \ge VP mà :-SS:-SS:-SS:-SS

Trước tiên anh giả sử tồn tại con [TEX]a[/TEX] thoả mãn

[TEX]f(x)=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{2}x+alnx[/TEX]

sau đó muốn tìm [TEX]a[/TEX] buộc nó vào [TEX]f'(1)=0[/TEX]

[TEX]f'(x):= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\sqrt{2}+\frac{a}{x}[/TEX]

Chúng ta cần có [TEX]f'(1):=0 \righ a=\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}} [/TEX]

[TEX]f(x)=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{2}x+\(\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\)lnx[/TEX]

[TEX]f'(x):= \frac{\(x-1\)\(x-2x^2-1-2\sqrt{2}\sqrt{x^2+1} \)}{\(x\sqrt{2x^2+2}\)\(\sqrt{2}x^2+\sqrt{x^2+1}\)}[/TEX]

[TEX]f'(x):=0 \leftrightarrow x=1[/TEX]

Từ bảng biến thiên chúng ta có :

[TEX]\sqrt{x^2+1}-\sqrt{2}x+\(\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\)lnx \le 0 [/TEX]

Với [TEX]x=a,b,c,d[/TEX] cộng vế theo vế ta được dpcm

Bất đẳng thức là 1 vấn đề nhiều ma giáo :khi (61):

 

[dandoh221]

................Dồn Bài.........................................................

 

[vodichhocmai]

Nice solution!!!!!
Let a,b,c positive reals prove that:

Nó có thể viết lại là :

[TEX]\sum_{cyc} \frac{ab^3\(a+b+c\)}{a^2+ab+b^2} \ge 3abc[/TEX]

[TEX]Setting a+b+c=1[/TEX]

Áp dụng [TEX]Cauchy-Schwarz[/TEX] ta có :

[TEX]\sum_{cyc} \frac{ab^3}{a^2+ab+b^2}.\sum_{cyc} \frac{\(a^2+ab+b^2\)}{ab} \ge 1[/TEX]

Do đó ta cần chứng minh :

[TEX]3abc\sum_{cyc} \frac{\(a^2+ab+b^2\)}{ab} \le 1 [/TEX]

Mà nó thì luôm đúng theo [TEX]Schur[/TEX]

 

[legendismine]

Nó có thể viết lại là :

[TEX]\sum_{cyc} \frac{ab^3\(a+b+c\)}{a^2+ab+b^2} \ge 3abc[/TEX]

[TEX]Setting a+b+c=1[/TEX]

Áp dụng [TEX]Cauchy-Schwarz[/TEX] ta có :

[TEX]\sum_{cyc} \frac{ab^3}{a^2+ab+b^2}.\sum_{cyc} \frac{\(a^2+ab+b^2\)}{ab} \ge 1[/TEX]

Do đó ta cần chứng minh :

[TEX]3abc\sum_{cyc} \frac{\(a^2+ab+b^2\)}{ab} \le 1 [/TEX]

Nice solution but
ANOTHER solution is probably more natural:
[tex]\sum_{cyc} \frac{ab^3}{a^2+ab+b^2} \ge \frac {3abc}{a+b+c}[/tex]
[tex]\leftrightarrow\sum_{cyc}{\frac{b^{2}}{1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}}\geq\frac{3abc}{a+b+c}[/tex]
By CS W.E.D

Nice solution but
ANOTHER solution is probably more natural:
[tex]\sum_{cyc} \frac{ab^3}{a^2+ab+b^2} \ge \frac {3abc}{a+b+c}[/tex]
[tex]\leftrightarrow\sum_{cyc}{\frac{b^{2}}{1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}}\geq\frac{3abc}{a+b+c}[/tex]
By CS W.E.D

Thật ra hồi chiều anh giải nhanh quá . ko cần chuẩn hóa đâu chỉ cần có hằng đẳng thứ nà là ra rồi [TEX]\(a+b+c\)^3=\sum a^3+3\sum ab(a+b)+6abc[/TEX]

 

[bigbang195]

If a,b,c are non-negative real numbers such that ab+bc+ca>0 Prove that:

If a,b,c are non-negative real numbers such that ab+bc+ca>0 Prove that:

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=52&t=377396&p=2084219#p2084219 .

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=52&t=377396&p=2084219#p2084219 .

Post the solution!!!!........Because "somebody doesn't understand :|" such as me....

Post the solution!!!!........Because "somebody doesn't understand :|" such as me....

Tôi cũng đề nghị bạn posst tiếng việt.Không phải đọc mấy bài tiếng anh ra oai viét tiếng anh chơi trội.Mong bạn thông cảm.
VÀ "somebody doesn't understand :|" .

 

[vuongthiendi]

ai làm giúp mik cái nhỉ
Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX]
CMR: [TEX]\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} +\frac{a}{\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}} \leq \frac{3\sqrt{2}}{2}[/TEX]

 

[legendismine]

ai làm giúp mik cái nhỉ
Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX]
CMR: [TEX]\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} +\frac{a}{\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}} \leq \frac{3\sqrt{2}}{2}[/TEX]

I will guide friend made as follows.
Put [tex]x=a^2.....[/tex] and two sides squared use BCS we have
[tex]VT\le 2(x+y+z)(\frac {2(xy+xz+yz)}{(x+y)(y+z)(x+z)}\le \frac {9}{2}[/tex]
[tex]8(z+y+x)(xz+yz+xy)\le 9(z+y)(y+x)(z+x)[/tex]
By Am-Gm It is easy to prove it

 

[legendismine]

Let a,b,c>0 prove that:
[tex]\sqrt {a^4+b^4+c^4}+\sqrt {a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2}\ge \sqrt {ab^3+bc^3+ca^3}+\sqrt {a^3b+b^3c+c^3a}[/tex]

 

[kukumalu_2010]

cho các số thực dương x,y,z có tổng bằng 3 và n là số nguyên duơng lớn hơn 1.CMR:
[TEX] \sqrt[n]{\frac{x+y}{2}} +\sqrt[n]{\frac{y+z}{2}} + \sqrt[n]{\frac{z+x}{2}}\geq {\frac{ 3+ \sqrt[n]{x} + \sqrt[n]{y} + \sqrt[n]{z} }{2} [/TEX]

 

[vnzoomvodoi]

Let a,b,c>0 prove that:
[tex]\sqrt {a^4+b^4+c^4}+\sqrt {a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2}\ge \sqrt {ab^3+bc^3+ca^3}+\sqrt {a^3b+b^3c+c^3a}[/tex]

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-schawz ta có:
[TEX](\sqrt {a^4+b^4+c^4}+\sqrt {a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2})(\sqrt {a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2}+\sqrt {a^4+b^4+c^4}) \ge (\sqrt {ab^3+bc^3+ca^3}+\sqrt {a^3b+b^3c+c^3a})^2[/TEX]

 

[vnzoomvodoi]

cho các số thực dương x,y,z có tổng bằng 3 và n là số nguyên duơng lớn hơn 1.CMR:
[TEX] \sqrt[n]{\frac{x+y}{2}} +\sqrt[n]{\frac{y+z}{2}} + \sqrt[n]{\frac{z+x}{2}}\geq {\frac{ 3+ \sqrt[n]{x} + \sqrt[n]{y} + \sqrt[n]{z} }{2} [/TEX]

Nhân chéo 2 lên.Đưa vào trong căn.Áp dụng holder

 

[legendismine]

Let a,b,c >0.Prove that:

 

[legendismine]

Let a,b,c>0 and abc=1 prove that:

 

[letrang3003]

Let a,b,c>0 and abc=1 prove that:

Do vậy ta cần chứng minh

Đây là BDT Nesbit

 

[bigbang195]

1 hàng

. Chứng minh :

 

[vnzoomvodoi]

Chỉ cần CM BĐT quen thuộc sau:
[TEX]a^2+b^2+c^2+2abc+1 \ge 2(ab+ac+bc)[/TEX]

 

[kally_05]

1. Cho [TEX]x + y - 2[/TEX][tex]\sqrt{xy}=3[/TEX]
Tìm GTNN của [TEX]S =[/TEX] [tex]\sqrt{x+1}[/TEX] + [tex]\sqrt{y+1}[/TEX]

2. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: [TEX]a.b.c = 1[/TEX]

Tìm GTNN của :

[TEX]A = [/TEX] [tex]\frac{bc}{\frac a1^2(b+c)}[/tex] + [tex]\frac{ac}{\frac a1^2(a+c)}[/tex] + [tex]\frac{ab}{\frac c1^2(a+b)}[/tex]

:-s:-s