[Toán 10] Bất đẳng thức

[nhockthongay_girlkute]

Lâu quá mới lên diễn đàn
Cho a,b,c>0. CMR:
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-b)^2}{a+b+c}[/TEX]

không mất tính tổng quát
[TEX]a \geq b \geq c [/TEX]

áp dụng đánh giá sau

[TEX] \sum \frac{a^2}{b} -\sum a = \frac{(a+b)(a-b)^2}{ab}+\frac{(b+c)(a-c)(b-c)}{ac}[/TEX]
....................

 

[nhockthongay_girlkute]

Mạnh hơn chút ít!

[TEX]\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+3bc}} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

thiếu điều kiện a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác

giải

[TEX] VT \geq \frac{a(a+b+c)^2}{\sqrt{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+9abc)}} [/TEX]

ta cần Cm

[TEX] 4(a+b+c)^3 \geq 9(a^3+b^3+c^3+9abc) [/TEX]

dễ thấy sử dụng schur trong tam giác

[TEX]12( a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2) \geq 6( a^3+b^3+c^3)+54abc[/TEX]
[TEX] a^3+b^3+c^3 \geq 3abc [/TEX]
ccongj vào ra điều phải Cm

 

[nhockthongay_girlkute]

giải bài toán mạnh sau

a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác

CM
[TEX]\sum\frac{a}{a^2+3bc} +\frac{3abc}{(\sum a^3+9abc)(a+b+c)} \geq \frac{5}{2(a+b+c)}[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

mạnh hơn tớ mới chỉ giải đến 9abc chứ 81 thì ko đơn giản đc như thế :

Dùng trực tiếp AM-GM và để ý rằng :

cậu có thể CM rõ cái này không? mình kém BDT nên

nhờ cậu CM ĐỂ MÌNH LẤY LÀM BỔ ĐỀ VỚI!

 

[nhockthongay_girlkute]

olimpic toán học trung quốc 2003 (dành cho lớp 10)

Cho các số thực [TEX]a,b,c,d,x_1,x_2,x_3,x_4 ,y_1,y_2,y_3,y_4[/TEX] thỏa mãn a,b,c ,d >0
[TEX]ab+cd=1 , x_i^2+x_j^2=1 (i,j=1,2,3,4) [/TEX]
CM

[TEX] (ay_1+by_2+cy_3+dy_4)^2 + (ax_4+bx_3+cx_2+dx_2)^2 \leq 2(\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{c^2+d^2}{cd})[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

INDONESIA NATIONAL SICIENCE PLYMPIA 2008

[TEX] \frac{1}{(1+\sqrt{x})^2} +\frac{1}{1+\sqrt{y})^2} \geq \frac{2}{x+y+2} [/TEX]

 

[legendismine]

Lâu quá mới lên diễn đàn
Cho a,b,c>0. CMR:
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-b)^2}{a+b+c}[/TEX]

[tex]\sum_{cyc}\frac{a^2}{b}-a\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2}{b}\ge 4\frac {(a-b)^2}{a+b+c}[/tex]

 

[dandoh221]

cậu có thể CM rõ cái này không? mình kém BDT nên

nhờ cậu CM ĐỂ MÌNH LẤY LÀM BỔ ĐỀ VỚI!

Có cách chứng minh này trông khá là đơn giản ( nhưng mà tớ cũng k nghĩ ra ). Ta có 2 BDT sau :

Nhân lại

INDONESIA NATIONAL SICIENCE PLYMPIA 2008

[TEX] \frac{1}{(1+\sqrt{x})^2} +\frac{1}{1+\sqrt{y})^2} \geq \frac{2}{a+b+2} [/TEX]

x,y,a,b 8-}

 

[0915549009]

INDONESIA NATIONAL SICIENCE PLYMPIA 2008

[TEX] \frac{1}{(1+\sqrt{x})^2} +\frac{1}{1+\sqrt{y})^2} \geq \frac{2}{x+y+2} [/TEX]

[TEX]\frac{1}{(1+\sqrt{x})^2} +\frac{1}{(1+\sqrt{y})^2} \geq \frac{8}{(2+\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}\geq \frac{2}{x+y+2}(Cauchy)[/TEX]

 

[0915549009]

Cho [TEX]a,b,c>0;abc=1[/TEX] .Chứng minh: [TEX]\sum \frac{a}{b} \geq \sum a[/TEX]

 

[0915549009]

[TEX]a,b,c \in \ (0;1). CM: \sqrt{abc}+ \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} < 1[/TEX]

 

[0915549009]

[TEX]\sum x^2=1. GTLN: \sum x^3- 3xyz [/TEX]

 

[phuongbac98]

Cho [TEX]a,b,c>0;abc=1[/TEX] .Chứng minh: [TEX]\sum \frac{a}{b} \geq \sum a[/TEX]

đặt [TEX]a=\frac{x}{y}...[/TEX]
BĐT[TEX]\Leftrightarrow \sum{\frac{xz}{y^2}\ge \sum{\frac{x}{y}[/TEX]

có[TEX]\frac{xz}{y^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{yz}{x^2}\ge 3\sqrt[3]{\frac{z^3}{x^3}}=3\frac{z}{x}[/TEX].....

 

[dandoh221]

[TEX]\sum x^2=1. GTLN: \sum x^3- 3xyz [/TEX]

và :

 

[vodichhocmai]

[TEX]a,b,c \in \ (0;1). CM: \sqrt{abc}+ \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} < 1[/TEX]

[TEX]\huge\red \left{\sqrt{xyz} <\sqrt[3]{xyz}\le \frac{x+y+z}{3} \\ \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} \le \frac{3-\(a+b+c\)}{3}[/TEX]

[TEX]\huge \blue Done!![/TEX]​

 

[legendismine]

Ai có thể giải bài này mà k dùng lượng giác k (có cũng post thử nhé)
Let [tex]a^2+b^2+c^2=1[/tex] prove that:
[tex]\sum_{cyc}\frac {a}{b^2+c^2}\ge \frac {3\sqrt{3}}{2}[/tex]

 

[vodichhocmai]

Ai có thể giải bài này mà k dùng lượng giác k (có cũng post thử nhé)
Let [tex]a^2+b^2+c^2=1[/tex] prove that:
[tex]\sum_{cyc}\frac {a}{b^2+c^2}\ge \frac {3\sqrt{3}}{2}[/tex]

[tex]2a^2\(1-a^2\)\(1-a^2\)\le \frac{8}{27}[/tex]

[TEX]\righ a\(1-a^2\) \le \frac{2}{3\sqrt{3}}[/TEX]

[TEX]\righ \frac {a^2}{a\(1-a^2\)}\ge \frac{3\sqrt{3}a^2}{2}[/TEX]

 

[legendismine]

[tex]2a^2\(1-a^2\)\(1-a^2\)\le \frac{8}{27}[/tex]

[TEX]\righ a\(1-a^2\) \le \frac{2}{3\sqrt{3}}[/TEX]

[TEX]\righ \frac {a^2}{a\(1-a^2\)}\ge \frac{3\sqrt{3}a^2}{2}[/TEX]

Nice solution!!!!!
Let a,b,c positive reals prove that:

 

[nhockthongay_girlkute]

Ai có thể giải bài này mà k dùng lượng giác k (có cũng post thử nhé)
Let [tex]a^2+b^2+c^2=1[/tex] prove that:
[tex]\sum_{cyc}\frac {a}{b^2+c^2}\ge \frac {3\sqrt{3}}{2}[/tex]

BDT
[TEX]<=> \sum \frac{a}{1-a^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2} (a^2+b^2+c^2) [/TEX]

ta cần CM

[TEX] \frac{a}{1-a^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 [/TEX]

[TEX]<=> 2a \geq 3\sqrt{3}a^2 -3\sqrt{3}a^4 [/TEX]
[TEX]<=> 3\sqrt{3}a^4+a+a \geq 3\sqrt{3}a^2 [/TEX]
(AM-GM)

tương tự với các biến còn lại => dpcm

 

[tuyn]

[TEX](1+\frac{1}{cosA})(1+\frac{1}{cosB})(1+\frac{1}{cosC}) \geq 27[/TEX]
nhân phá ngoặc
áp dụng BDT Cauchy và sử dụng BDT
[TEX]cosA.cosB.cosC \leq \frac{1}{8}[/TEX]