[Toán 10] Bất đẳng thức

[bigbang195]

cho a,b,c >0

ab+bc+ac =2abc

CM
[TEX] \sum \frac{1}{a(2a-1)^2} \geq \frac{1}{2}[/TEX]

Vế trái thành :

 

[bigbang195]

a,b,c >0 C/m:
[TEX]\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} \geq 1[/TEX]

Dùng Bunhia thì :

do đó :

mặt khác ta có 1 bất đẳng thức khá vui vẻ :

( tự chứng minh )

vậy ta đã có :

 

[bigbang195]

a,b,c >0

[TEX] \frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3} \leq \sqrt[3]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}} [/TEX]

một bài mạnh hơn

[TEX] a+\sqrt[3]{ab.\frac{a+b}{2}} +\sqrt[3]{abc} \leq 3 \sqrt[3]{a.(\frac{a+b}{2}).( \frac{a+b+c}{3})}[/TEX]

ADD THEM !

 

[quyenuy0241]

a,b,c >0 C/m:
[TEX]\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} \geq 1[/TEX]

Mạnh hơn chút ít!

[TEX]\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+3bc}} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

 

[bigbang195]

Cho

thỏa mãn

Chứng minh rằng :

Đề thi chọn đội tuyển trường THPT ĐAN PHƯỢNG.

Nghĩ mãi không ra :M047:

 

[lamtrang0708]

Cho a,b,c>0 có tổng bằng 3. Tìm max
a^2b+b^2c+c^2+2(ab^2+bc^2+ca^2)

 

[vnzoomvodoi]

Cho a,b,c>0 có tổng bằng 3. Tìm max
[tex]a^2b+b^2c+c^2+2(ab^2+bc^2+ca^2)[/tex]

 

[bigbang195]

thỏa mãn

. Chứng minh :

 

[anhdung12]

Cho các số thực ko âm a, b, c. CM:
[TEX](a^2+b+ \frac{3}{4})(b^2+a+ \frac{3}{4})\geq(2a+\frac{1}{2})(2b+\frac{1}{2})[/TEX]

 

[0915549009]

kĩ hơn đc k ....................................................................

[TEX]\sum \frac{a+2b}{a+2b+3}=\sum \frac{(a+2b)^2}{(a+2b+3)(a+2b)} = \sum \frac{(a+2b)^2}{a^2+4ab+4b^2+3a+6b} \geq \frac{9(\sum a)^2}{5\sum a^2 + 4\sum ab + 9\sum a} (Schwarz)[/TEX]
Sao bài em là [TEX]4\sum ab[/TEX] còn bài anh lại là [TEX]6\sum ab[/TEX] nhể?

 

[duynhan1]

Cho các số thực ko âm a, b, c. CM:
[TEX](a^2+b+ \frac{3}{4})(b^2+a+ \frac{3}{4})\geq(2a+\frac{1}{2})(2b+\frac{1}{2})[/TEX]

[TEX]a^2 + \frac14 \ge a [/TEX]

Cần chứng minh:

[TEX](a+b+\frac12)^2 \ge (2a+\frac{1}{2})(2b+\frac{1}{2}) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a+b)^2 +(a+b) + \frac14 \ge 4ab + (a+b) + \frac14[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a-b)^2 \ge 0[/TEX]

 

[0915549009]

[TEX]a,b,c>0; \sum a=3. Min: \sum \sqrt{a+3}[/TEX] ))

 

[legendismine]

Cho

thỏa mãn

Chứng minh rằng :

Đề thi chọn đội tuyển trường THPT ĐAN PHƯỢNG.

Nghĩ mãi không ra :M047:

Bình phương 2 vế ta được:
[TEX]\frac{{2(1-ab)}}{1+ab+a+b}+ 2 \sqrt{\frac{1+ab-a-b}{1+ab+a+b}}[/TEX][TEX] \le \frac{2}{1+a+b}+2\sqrt{\frac{1-(a+b)}{1+a+b}}[/TEX].
Đặt u=ab ; v=a+b
[tex]\Rightarrow \sqrt{\frac{1+u-v}{1+u+v}}-\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}\leq \frac{u(2+v)}{(1+v)(1+v+u)}[/tex]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1+u-v}{1+u+v}-\frac{1-v}{1+v}\leq\frac{u(2+v)}{(1+v)(1+v+u)}(\sqrt{\frac{1+u-v}{1+u+v}}+\sqrt{\frac{1-v}{1+v}})[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{2uv}{(1+u+v)(1+v)}\leq\frac{u(2+v)}{(1+v)(1+v+u)}(\sqrt{\frac{1+u-v}{1+u+v}}+\sqrt{\frac{1-v}{1+v}})[/TEX]
Nếu u=ab=0 thi` BĐT đúng.
Nếu u>0, BĐT tương đương với [TEX]\Leftrightarrow \frac{2v}{2+v}\leq\sqrt{\frac{1+u-v}{1+u+v}}+\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}[/TEX]
Ta có:
[TEX]\sqrt{\frac{1+u-v}{1+u+v}}+\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}> 2\sqrt{\frac{1-v}{1+v}}=2\sqrt{-1+\frac{2}{1+v}}\geq 2\sqrt{-1+\frac{2}{1+\frac{4}{5}}}=\frac{2}{3}[/TEX]
Ngoài ra: [TEX]\frac{2v}{2+v}=\frac{2}{\frac{2}{v}+1}\leq\frac{2}{3}[/TEX] (do [TEX]0<v=a+b\leq\frac{4}{5}<1[/TEX]).
Từ đó ta có đpcm. =p~

.....................................................................

 

[vodichhocmai]

thỏa mãn

. Chứng minh :

[TEX]\huge\blue \frac{\sum_{cyc}\(a+b\)\(a+c\)}{\prod_{cyc} \(a+b\)}\ge \frac{5}{2} \Leftrightarrow \frac{\sum_{cyc}(a^2+1\)}{a+b+c-abc}\ge \frac{5}{2} [/TEX]

[TEX]\huge\blue \Leftrightarrow 2\[\(a+b+c\)^2+1\]-5\(a+b+c\)+5abc\ge 0 [/TEX]

[TEX]\huge\blue \Leftrightarrow 2\(a+b+c-2\)^2+3\(a+b+c\)+5abc-6\ge 0[/TEX]

giả sử [TEX]\huge\blue a=max\{a,b,c\}[/TEX] lúc đó ta có :

[TEX]\huge\blue \Leftrightarrow 2\(a+b+c-2\)^2+\frac{3\(b+c-1\)^2+bc\(2-5bc\)}{b+c}\ge 0[/TEX]

Mà nó thì luốn đúng do đó ta chứng minh xong

Mạnh hơn chút ít!
[TEX]\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+3bc}} \geq \frac{3}{2}[/TEX]

Đề sai em ơi , anh giải không ra [tex]a=4,\; b=c=1[/tex]

Cho [TEX]a,b,c >0[/TEX] và [TEX]k\geq 8[/TEX]. Chứng minh rằng

[TEX]A:=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+kbc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+kac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+kab}}\geq\frac{3}{\sqrt{1+k}}[/TEX]​

[TEX]k=8[/TEX] chính là đề IMO 42

[TEX]A^2\sum_{cyc} a(a^2+kbc)\ge (a+b+c)^3[/TEX]

Do đó chúng ta cần chứng minh.

[TEX](a+b+c)^3\ge \frac{9}{k+1} (a^3+b^3+c^3+3kabc) [/TEX]

[TEX]\leftrightarrow (k+1)[\sum_{cyc}a^3+\sum_{cyc}3ab(a+b)+6abc]\ge 9(\sum_{cyc}a^3+3kabc)[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow (x+9) [\sum_{cyc}a^3+\sum_{cyc}3ab(a+b)+6abc]\ge 9\sum_{cyc}a^3+216abc+27xabc [/TEX] [TEX]x\ge 0[/TEX]

[TEX]\leftrightarrow x[\sum_{cyc}a^3+\sum_{cyc}3ab(a+b)-27abc]+9 [\sum_{cyc}3ab(a+b)+6abc-24abc]\ge 0[/TEX]

[TEX]a,b,c\ge 0; \sum a=3. Min: \sum \sqrt{a+3}[/TEX] ))

Chúng ta luôn có rằng 1 điều thật tửng là :

[TEX]\huge\red \frac{\(\sqrt{6}-\sqrt{3}\)\(a+b+c\)+9\sqrt{3}}{3}\le \sum_{cyc}^{a,b,c\ge 0\ \ a+b+c=3} \sqrt{a+3}\le \sqrt{3}\sqrt{a+b+c+9} [/TEX]
:khi (163)::khi (163)::khi (163)::khi (163)::khi (163)::khi (163)::khi (163)::khi (163)::khi (163):

 

[legendismine]

TÌm min bik a,b,c>0 a+b+c=1
[tex]\frac {1}{1-2(ab+bc+ca)}+\frac {1}{abc}[/tex]

 

[bigbang195]

Let

such that

.Find the min of :

 

[nhockthongay_girlkute]

a,b,c >0
[TEX]abc \geq ab+bc+ac [/TEX]

CM
[TEX] (abc)^2 \geq 81 ( x\sqrt[3]{\frac{y}{z}} +y\sqrt[3]{\frac{z}{x}}+z\sqrt[3]{\frac{x}{y}})[/TEX]

 

[dandoh221]

Let

such that

.Find the min of :

mạnh hơn tớ mới chỉ giải đến 9abc chứ 81 thì ko đơn giản đc như thế :

Dùng trực tiếp AM-GM và để ý rằng :

 

[legendismine]

TÌm min bik a,b,c>0 a+b+c=1
[tex]\frac {1}{1-2(ab+bc+ca)}+\frac {1}{abc}[/tex]

Let

such that

.Find the min of :

[tex]\frac {81}{81(a^2+b^2+c^2)}+\sum_{cyc}\frac {2}{162ab}\ge \frac{(9+3\sqrt {2})^2}{81}[/tex] tự xử vậy

 

[williamdunbar]

Lâu quá mới lên diễn đàn
Cho a,b,c>0. CMR:
[TEX]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-b)^2}{a+b+c}[/TEX]