[Toán 10] Bất đẳng thức

[dandoh221]

Chứng minh

n = 1 đúng
giả sử đúng với n = k

Ta có với n = k+1
cần chứng minh

Look at the end point

 

[0915549009]

[TEX]x,y,z>0; \sum x=\sqrt{2}[/TEX]
[TEX]Min: \sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}. \sum \frac{\sqrt{x+y}}{z} [/TEX]

 

[tell_me_goobye]

[TEX]x,y,z>0; \sum x=\sqrt{2}[/TEX]
[TEX]Min: \sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}. \sum \frac{\sqrt{x+y}}{z} [/TEX]

áp dụng holder ta sẽ CM BDT [TEX]\geq 4(x+y+z)[/TEX]

[TEX]( \sum \frac{\sqrt{y+z}}{x} )^2(\sum x(y+z))(\sum x(y+z)^2) \geq (\sum (y+z))^4 =16(\sum x)^4 [/TEX]
cần CM

[TEX](\sum x)^2(x+y)(y+z)(x+z) \geq 2 (\sum xy)(\sum x(y+z)^2) [/TEX]

có
[TEX](\sum x)^2 \geq 3(\sum xy) [/TEX]
tiếp tục

[TEX]3(x+y)(y+z)(x+z) \geq 2 (\sum x(y+z)^2) [/TEX]
[TEX] <=> \sum xy(x+y) \geq 6xyz [/TEX]
(đúng theo AM GM)
hoàn tất
từ đó lắp gt vào tìm dc min

 

[bigbang195]

Theo AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:

 

[nhockthongay_girlkute]

1) a,b,c >0
[TEX] a+b+c =3 [/TEX]
tìm min

[TEX] P = \sum \frac{a^2}{a+2b^3}[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

cho x,y,z >0
[TEX]x^2+y^2+z^2=1 [/TEX]

CM
[TEX] \sqrt{2} \geq \sum \frac{x}{1+yz} \geq 1[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

a,b,c >0

CM
[TEX] \sum \frac{(a-b-c)^2}{2a^2+(b+c)^2} \geq \frac{1}{2}[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

a,b,c >0

[TEX] \frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}{3} \leq \sqrt[3]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}} [/TEX]

một bài mạnh hơn

[TEX] a+\sqrt[3]{ab.\frac{a+b}{2}} +\sqrt[3]{abc} \leq 3 \sqrt[3]{a.(\frac{a+b}{2}).( \frac{a+b+c}{3})}[/TEX]

 

[legendismine]

a,b,c >0

CM
[TEX] \sum \frac{(a-b-c)^2}{2a^2+(b+c)^2} \geq \frac{1}{2}[/TEX]

$$(b+c)^2\le 2(b^2+c^2)\Leftrightarrow\sum_{cyc}\frac {(a-b-c)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge 1$$...........
$$\frac {(a-b-c)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge \frac {1}{3}!!!!!!!!$$

 

[legendismine]

1) a,b,c >0
[TEX] a+b+c =3 [/TEX]
tìm min

[TEX] P = \sum \frac{a^2}{a+2b^3}[/TEX]

Áp dụng Am-Gm ngc thu đc Min=1....................
Theo yêu cầu "đại ca bdt"
$$\sum_{cyc}a-\frac {2ab^3}{a+2b^3}\ge a-\frac {2\sqrt[3]{a}b}{3}\ge 1$$

BB:Nếu làm thì làm rõ nhá cậu

 

[bigbang195]

Cho

thỏa mãn

. Chứng minh rằng :

 

[bigbang195]

cho x,y,z >0
[TEX]x^2+y^2+z^2=1 [/TEX]

CM
[TEX] \sqrt{2} \geq \sum \frac{x}{1+yz} \geq 1[/TEX]

Đây là của 1 người bạn đưa cho mình :

 

[nhockthongay_girlkute]

cho a,b,c không âm

CM

[TEX] \sum \frac{bc}{\sqrt{(a^2+ab+b^2)(a^2+ac+c^2)}} \geq 1[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

cho x,y,z >0 x+y+z=1

CM
[TEX] \sum \frac{1}{yz+x+\frac{1}{x}} \leq \frac{27}{31} [/TEX]

( SERBIAN NATIONAL OLYMPIAD 2008 )

 

[nhockthongay_girlkute]

CHO a,b,c >0

CM

[TEX] \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac} +\frac{3}{2} . \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)-abc}{(ab^2+bc^2+ca^2)-abc} \geq \frac{5}{2}[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

cho a,b,c không âm
a+b+c=3
CM

[TEX] \sum \frac{a^2}{b+3c^3} \geq \frac{3}{4}[/TEX]

Đề sai với

 

[nhockthongay_girlkute]

cho a,b,c >0
a+b+c=1

CM

[TEX] (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) \geq 8(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)[/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

cho x,y,z >0 xyz =1

CM
[TEX] \sum \frac{x^9+y^9}{x^6+x^3y^3+y^6} \geq 2 [/TEX]

( ROMANIA 1997)

 

[quyenuy0241]

cho x,y,z >0 xyz =1

CM
[TEX] \sum \frac{x^9+y^9}{x^6+x^3y^3+y^6} \geq 2 [/TEX]

( ROMANIA 1997)

$$\frac{x^9+y^9}{x^6+x^3y^3+y^6}= (x^3+y^3). \frac{x^6-x^3y^3+y^3}{x^6+x^3y^3+y^6} \ge \frac{1}{3}(x^3+y^3)$$

 

[nhockthongay_girlkute]

một bài 4 biến

cho a,b,c,d không âm

Cm
[TEX] \sum \frac{ab}{a+b} \leq \sqrt{(a+c)(b+d)}[/TEX]