[Toán 10] Bất đẳng thức

[dandoh221]

[TEX]\forall a,b,c >0[/TEX]

[TEX]\frac{(a+b+c)^3}{abc} + \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2} \geq 28[/TEX]

 

[legendismine]

[TEX]\forall a,b,c >0[/TEX]

[TEX]\frac{(a+b+c)^3}{abc} + \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2} \geq 28[/TEX]

Tớ làm đại rồi đi học thôi k bik đúng hay sai nhé
Ta nhân 2 vào hai vế và để ý rằng:
[tex]\frac {2ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac {(a+b+c)^2}{(a^2+b^2+c^2)}-1 \ge \frac {27(ab+bc+ca)^2}{(a+b+c)^4}\ge \frac {81abc}{(a+b+c)^3}-1[/tex]
Điểm rơi

 

[legendismine]

Không đúng em ơi [TEX]\ \ [/TEX]

Đây là lời giải của anh Thái cực hay có sự phối hợp vs các bdt wen thuộc tạo nên bài toán k thể tốt hơn http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=52&t=370175

 

[williamdunbar]

[TEX]\forall a,b,c >0[/TEX]

[TEX]\frac{(a+b+c)^3}{abc} + \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2} \geq 28[/TEX]

Mình còn cách khác không biết đúng hay sai
[tex]\frac{(a+b+c)^3}{abc} + \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{abc}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2} \geq28 [/tex]
\Leftrightarrow [tex] \frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}+ \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\geq4 [/tex]
\Leftrightarrow[tex] \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\geq4 [/tex]
Đúng vì [tex] \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}\geq2 [/tex] và [tex] \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\geq2 [/tex]

 

[letrang3003]

and

. Chứng minh :

 

[legendismine]

Mình còn cách khác không biết đúng hay sai
\Leftrightarrow [tex] \frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}+ \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\geq4 [/tex]
\Leftrightarrow[tex] \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\geq4 [/tex]

[tex]\frac {a^3+b^3+c^3}{abc}=3+\frac {(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{abc}\ge 3+\frac {9(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{ab+bc+ca}=-6+\frac {9(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}[/tex]
Và đến đây Am-Gm và điểm rơi các bạn có thể tham khảo thêm pp này tại MSC vì tớ nhớ ở đấy có một bài tương tự

 

[vodichhocmai]

Giải 1 hàng

Cho các số thực không âm [TEX]\huge\blue a,b,c[/TEX] thỏa mãn [TEX]\huge\blue abc=1[/TEX]. chứng minh rằng khi đó ta có.

[TEX]\huge\blue ab^5+bc^5+ca^5\ge a^2b+b^2c+c^2a[/TEX]

 

[vuanoidoi]

Mình còn cách khác không biết đúng hay sai
[tex]\frac{(a+b+c)^3}{abc} + \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{abc}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2} \geq28 [/tex]
\Leftrightarrow [tex] \frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}+ \frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\geq4 [/tex]
\Leftrightarrow[tex] \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\geq4 [/tex]
Đúng vì [tex] \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}\geq2 [/tex] và [tex] \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\geq2 [/tex]

Ý tưởng thì hay nhưng trình bày thế này đi thi không được điểm đâu :-SS
Bạn xem lại mấy cái dấu tương đương.....

 

[vuanoidoi]

and

. Chứng minh :

Giả sử b nằm giữa a và c ta có:
[TEX]a^2b+b^2c+c^2a+abc \le 2abc+a^2b+bc^2=b(a+c)^2 \le 4[/TEX]

 

[duynhan1]

Cho các số thực không âm [TEX]\huge\blue a,b,c[/TEX] thỏa mãn [TEX]\huge\blue abc=1[/TEX]. chứng minh rằng khi đó ta có.

[TEX]\huge\blue ab^5+bc^5+ca^5 \ge a^2b+b^2c+c^2a[/TEX]

[TEX]\huge ab^5+b^2c+ bc^5+c^2a +ca^5+ a^2b\ge 2 \sum a^3 \ge 2\sum a^2b [/TEX]

 

[letrang3003]

Chứng minh :

 

[letrang3003]

Giải 1 hàng

 

[williamdunbar]

Cho các số không âm a,b,c, không có 2 số nào đồng thời bằng 0. CMR:
[tex] \frac{ab}{a^2+4b^2}+ \frac{bc}{b^2+4c^2}+ \frac{ca}{c^2+4a^2} \leq \frac{3}{5} [/tex]

 

[bigbang195]

Cho a,b,c,d>0.C/m:
[tex]\sqrt{\frac{{ab+ac+ad+bc+bd+cd}}{6}}\ge\sqrt[3]{{\frac{{abc+bcd+cda+dab}}{4}}}[/tex]

Ai có thể giúp mình bài này bằng cách sơ cấp .

Thanks

 

[bigbang195]

Cho các số không âm a,b,c, không có 2 số nào đồng thời bằng 0. CMR:
[tex] \frac{ab}{a^2+4b^2}+ \frac{bc}{b^2+4c^2}+ \frac{ca}{c^2+4a^2} \leq \frac{3}{5} [/tex]

chắc phải đặt ra bài này :

tìm tất cả các số k sao cho với a,b,c không âm và

thì :

 

[vodichhocmai]

Cho a,b,c,d>0.C/m:
[tex]\sqrt{\frac{{ab+ac+ad+bc+bd+cd}}{6}}\ge\sqrt[3]{{\frac{{abc+bcd+cda+dab}}{4}}}[/tex]

Chúng ta có thể giả sử theo [TEX]Newton[/TEX] thì :

[TEX]\left{ab+ac+ad+bc+bd+cd=2\(xy+yz+zx\)\\ abc+bcd+cda+dab=4xyz[/TEX]

[TEX](BDT)\Leftrightarrow \sqrt{\frac{xy+yz+zx}{3}}\ge \sqrt[3]{xyz}[/TEX]

Mà nó là đúng sự thật theo [TEX]AM-GM[/TEX]

 

[bigbang195]

Chúng ta có thể giả sử theo [TEX]Newton[/TEX] thì :

[TEX]\left{ab+ac+ad+bc+bd+cd=2\(xy+yz+zx\)\\ abc+bcd+cda+dab=4xyz[/TEX]

[TEX](BDT)\Leftrightarrow \sqrt{\frac{xy+yz+zx}{3}}\ge \sqrt[3]{xyz}[/TEX]

Mà nó là đúng sự thật theo [TEX]AM-GM[/TEX]

Cái này có cao cấp quá ko ạ :khi (105)::khi (105): Theo Roll chứ ạ

 

[williamdunbar]

Một bài nữa
Cho các số không âm a,b,c, không có 2 số nào đông thời bằng 0.CMR:
[tex] \sum\frac{(a-b)(3a-b)}{3a^2+2ab+3b^2} \geq 0 [/tex]

 

[bigbang195]

Một bài nữa
Cho các số không âm a,b,c, không có 2 số nào đông thời bằng 0.CMR:
[tex] \sum\frac{(a-b)(3a-b)}{3a^2+2ab+3b^2} \geq 0 [/tex]

mà :

nên ta cần chứng minh :

Theo AM-GM:

ta chỉ cần chứng minh :

Hiên nhiên :

Nên ta đi chứng minh :

Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng vậy ta có điều phải chứng minh, dấu bằng xảy ra khi

hoặc

và các hoán vị.​

 

[bigbang195]

x,y,z \ge 0