Toán [Thảo luận] Topic ôn tập thi tuyển sinh vào 10 chuyên

[lengoctutb]

cho mình hỏi điệu kiện của hệ phương trình này là gì vậy? $$\frac{2}{\left | x-2 \right |}+\frac{1}{y}=2$$ và $$\frac{6}{\left | x-2 \right |}-\frac{2}{y}=1$$

Bạn có thể giải thích cho mình được không? huhuhu mình làm sai rồi

$(I) \left\{\begin{matrix} \frac{2}{|x-2|}+\frac{1}{y}=2 & \\ \frac{6}{|x-2|}-\frac{2}{y}=1 & \end{matrix}\right.$
Điều kiện xác định $:$ $\left\{\begin{matrix} |x-2| \neq 0 & \\ y \neq 0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \neq 2 & \\ y \neq 0 & \end{matrix}\right.$
Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{|x-2|} & \\ b=\frac{1}{y} & \end{matrix}\right.$$.$Khi đó$,$hệ phương trình$(I)$trở thành$:$
$\left\{\begin{matrix} 2a+b=2 & \\ 6a-2b=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=2-2a & \\ 6a-2(2-2a)=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=2-2a & \\ 6a-4+4a=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=2-2a & \\ 10a=5 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=2-2.\frac{1}{2}=2-1=1 & \\ a=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{|x-2|}= \frac{1}{2} & \\ \frac{1}{y}=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} |x-2|= 2 & (\text{nhận}) \\ y=1 & (\text{nhận}) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x-2= 2 & \\ x-2=-2 & \end{matrix}\right. & \\ y=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x= 4 & \\ x=0 & \end{matrix}\right. & \\ y=1 & \end{matrix}\right.$
Vậy hệ phương trình $(I)$ có tập nghiệm $S=\{(4;1);(0;1)\}$

$P/s$ $:$ Lần sau bạn nhớ đăng ở topic khác nhé chứ như vậy sẽ làm loãng topic này $!$

 

[Nguyenngocthuyduong]

$(I) \left\{\begin{matrix} \frac{2}{|x-2|}+\frac{1}{y}=2 & \\ \frac{6}{|x-2|}-\frac{2}{y}=1 & \end{matrix}\right.$
Điều kiện xác định $:$ $\left\{\begin{matrix} |x-2| \neq 0 & \\ y \neq 0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \neq 2 & \\ y \neq 0 & \end{matrix}\right.$
Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{|x-2|} & \\ b=\frac{1}{y} & \end{matrix}\right.$$.$Khi đó$,$hệ phương trình$(I)$trở thành$:$
$\left\{\begin{matrix} 2a+b=2 & \\ 6a-2b=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=2-2a & \\ 6a-2(2-2a)=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=2-2a & \\ 6a-4+4a=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=2-2a & \\ 10a=5 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=2-2.\frac{1}{2}=2-1=1 & \\ a=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{|x-2|}= \frac{1}{2} & \\ \frac{1}{y}=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} |x-2|= 2 & (\text{nhận}) \\ y=1 & (\text{nhận}) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x-2= 2 & \\ x-2=-2 & \end{matrix}\right. & \\ y=1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x= 4 & \\ x=0 & \end{matrix}\right. & \\ y=1 & \end{matrix}\right.$
Vậy hệ phương trình $(I)$ có tập nghiệm $S=\{(4;1);(0;1)\}$

$P/s$ $:$ Lần sau bạn nhớ đăng ở topic khác nhé chứ như vậy sẽ làm loãng topic này $!$

bạn ơi, cho mình hỏi nốt câu cuối, nếu sai điều kiện của giải hệ sẽ chỉ mất 0,25 đ thôi đúng không? bạn là niềm hi vọng cuối cùng của mình đó!

 

[lengoctutb]

bạn ơi, cho mình hỏi nốt câu cuối, nếu sai điều kiện của giải hệ sẽ chỉ mất 0,25 đ thôi đúng không? bạn là niềm hi vọng cuối cùng của mình đó!

Ừ chắc vậy mà ít giáo viên để ý kĩ đến ĐKXĐ đâu chủ yếu là bạn nhận loại đúng thôi $!$ Mà có thể bạn không cần tìm ĐKXĐ sau khi tìm ra kết quả rồi bạn thử lại nếu đúng thì nhận sai thì loại $!$

 

[linhntmk123]

cho mình hỏi bài cực trị này với

$$Cho x\geq y\geq z và x+y+z=3$$
tìm GTNN của biểu thức $$M=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+ 3y$$
Thanks

 

[mỳ gói]

cho mình hỏi bài cực trị này với

$$Cho x\geq y\geq z và x+y+z=3$$
tìm GTNN của biểu thức $$M=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+ 3y$$
Thanks

Bài này đã được làm rồi.
'................
Giải thích dùm mình đoạn @Ann Lee .

 

[Ann Lee]

Bài này đã được làm rồi.
'................
Giải thích dùm mình đoạn @Ann Lee .

Xin lỗi bạn, do lúc gõ không cẩn thận nên mình đã gõ nhầm "2" thành "1"
Cách làm đúng là phải như này
Bạn còn thắc mắc chỗ nào nữa không nhỉ ^^

 

[mỳ gói]

Xin lỗi bạn, do lúc gõ không cẩn thận nên mình đã gõ nhầm "2" thành "1"
Cách làm đúng là phải như này
View attachment 56856
Bạn còn thắc mắc chỗ nào nữa không nhỉ ^^

Chỗ đặt .
Căn....4y...
Hay là 4x

#Ann Lee: Để mình sửa lại chỗ đấy. Cảm ơn đã nhắc.

 

[hdiemht]

Xin lỗi bạn, do lúc gõ không cẩn thận nên mình đã gõ nhầm "2" thành "1"
Cách làm đúng là phải như này
View attachment 56856
Bạn còn thắc mắc chỗ nào nữa không nhỉ ^^

Hình như đúng phải chứ nhỉ @Ann Lee là:
Đặt: $$\sqrt{4x+5}=2y-3(y\geq \frac{3}{2})$$
Khi đó ta có: $$\left\{\begin{matrix} (2y-3)^2=4x+5 & & \\ (2x-3)^2=4y+5& & \end{matrix}\right.$$

#Ann Lee: Oke, để t sửa lại, hoa hết cả mắt rồi @@

 

[mỳ gói]

Xin lỗi bạn, do lúc gõ không cẩn thận nên mình đã gõ nhầm "2" thành "1"
Cách làm đúng là phải như này
Bạn còn thắc mắc chỗ nào nữa không nhỉ ^^

Còn nữa Ann ơi

Xin lỗi bạn, do lúc gõ không cẩn thận nên mình đã gõ nhầm "2" thành "1"
Cách làm đúng là phải như này
Bạn còn thắc mắc chỗ nào nữa không nhỉ ^^

Ann ơi
Chỗ này có gì đó....

#Ann Lee: Oa, gõ nhầm nhiều chỗ quá, chứ tác đánh chữ tộ @@. Để mình sửa lại, cảm ơn vì đã nhắc.

 

[hdiemht]

Còn nữa Ann ơi

Ann ơi
Chỗ này có gì đó....

Chắc cậu ấy nhầm chổ: Đặt y=3t đó @mỳ gói

 

[Ann Lee]

View attachment 56639

$1.$ Ta có $:$ $\widehat{MAN}+\widehat{MAB}+\widehat{NAD}=90^{\circ} \Leftrightarrow \widehat{MAN}+ \widehat{MAN} =90^{\circ} \Leftrightarrow 2\widehat{MAN}=90^{\circ} \Leftrightarrow \widehat{MAN}=45^{\circ}$
Mà $\widehat{DBC}=45^{\circ} \Rightarrow \widehat{MAN}= \widehat{DBC} \Rightarrow$ Tứ giác $APMB$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{PMA}= \widehat{PBA} =45^{\circ}$
Chứng minh tương tự $:$ $\widehat{QNA} =45^{\circ} \Rightarrow \widehat{QNA}=\widehat{PMA} \Rightarrow$ Tứ giác $MNPQ$ nội tiếp $(1)$
Tứ giác $APMB$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MPN}= \widehat{MBA} =90^{\circ} \Rightarrow \widehat{MPN}+ \widehat{MCN}=90^{\circ}+ 90^{\circ}= 180^{\circ} \Rightarrow$ Tứ giác $MPNC$ nội tiếp $(2)$
$(1)(2) \Rightarrow$ đpcm

$2.$ $\widehat{MPN} =90^{\circ}$ $($cmt$)$ $\Rightarrow MP \perp AN$ tại $P$$.$Chứng minh tương tự$:$$NQ \perp AM$tại$Q$
Gọi $H$ là giao điểm của $NQ$ và $MP \Rightarrow H$ là trực tâm của $\Delta AMN$
$\Rightarrow AH \perp MN$ tại $F$ $($$F$ là giao điểm của $AH$ với $MN$$)$$\Rightarrow MN$tiếp xúc với$(A;AF)$$(3)$
Ta có $:$ $\widehat{AMB}= \widehat{APB}$ $($Tứ giác $PABM$ nội tiếp$)$ và $\widehat{APQ}= \widehat{AMN}$ $($Tứ giác $MNPQ$ nội tiếp$)$ $\Rightarrow \widehat{AMB}= \widehat{AMF}$
$\Rightarrow AM$ là phân giác của $\widehat{BMF} \Rightarrow A$ cách đều $MB,MF \Rightarrow AF=AB$ $(4)$
$(3)(4) \Rightarrow MN$ tiếp xúc với $(A;AB)$ $($cố định do hình vuông $ABCD$ cố định$)$ $($đpcm$)$

$3.$ $\Delta APM$ có $\widehat{PMA} =45^{\circ}$ $($cmt$)$ và $\widehat{PAM}=45^{\circ}$ $($cmt$)$
$\Rightarrow \Delta APM$ vuông cân tại $P \Rightarrow PA=PM$$.$Chứng minh tương tự$:$$QA=QN$
$\widehat{PHN}= \widehat{QAN}$ $($cùng phụ $\widehat{ANQ}$$)$$\Rightarrow sinPHN=sinQAN$
Do $\widehat{PHN}$ kề bù với $\widehat{PHQ}$ nên $sinPHN=sinPHQ$
$S_{PQN}=S_{PHQ}+S_{PHN}=\frac{1}{2}HP.HQ.sinPHQ+ \frac{1}{2}HP.HN.sinPHN= \frac{1}{2}HP.HQ.sinPHN+ \frac{1}{2}HP.HN. sinPHN$
$S_{PQN} = \frac{1}{2}HP.sinPHN.(HN+HQ)= \frac{1}{2}HP.QN.sinPHN$
Tương tự$,$ ta có $:$ $S_{MQN} = \frac{1}{2}HM.QN.sinQHM$$.$Khi đó$:$
$S_{2}=S_{MNPQ}= S_{PQN}+ S_{MQN}=\frac{1}{2}HP.QN.sinPHN+\frac{1}{2}HM.QN.sinQHM= \frac{1}{2}QN.sinPHN.(HP+HM)$
$S_{2} = \frac{1}{2}QN.NQ.sinPHN$ $($$\widehat{PHN}= \widehat{QHM}$$)$
Mà $sinPHN=sinQAN$ $($cmt$)$ nên $S_{2} =\frac{1}{2}QN.NQ.sinQAN$
$S_{1}=\frac{1}{2}AQ.AP.sinMAN= \frac{1}{2}QN.PM.sinMAN$ $($$QA=QN,PA=PM$$)$
Khi đó $:$ $\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\frac{1}{2}QN.PM.sinMAN}{\frac{1}{2}QN.NQ.sinQAN}=1$ $($không đổi$)$ $($đpcm$)$

Cảm ơn vì ý tưởng cho câu 3 hình ^^

Cách khác ( cho em mượn hình nhé )

Dễ dàng chứng minh được 2 $$\Delta AQN;\Delta APM$$ lần lượt vuông cân tại Q và P
$$\Rightarrow \frac{AQ}{AN}=\frac{AP}{AM}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
Ta có: $S_{APQ}=\frac{1}{2}.AP.AQ.\sin \widehat{PAQ};S_{AMN}=\frac{1}{2}.AM.AN.\sin \widehat{PAQ}$
$\Rightarrow \frac{S_{APQ}}{S_{AMN}}=\frac{AP.AQ}{AM.AN}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow S_{APQ}=\frac{1}{2}S_{AMN}$
Mà $$S_{AMN}=S_{APQ}+S_{MNPQ}\Rightarrow S_{APQ}=S_{MNPQ}\Rightarrow \frac{S_{1}}{S_{2}}=1$$ không đổi (đpcm)

Bài1:
1. $$2x^2-4x-9+\sqrt{5x+6}+\sqrt{7x+11}=0$$ ĐK:....
$$\Leftrightarrow 2x(x-2)+\frac{5x+6-16}{\sqrt{5x+6}+4}+\frac{7x-14}{\sqrt{7x+11}+5}=0$$
$$\Leftrightarrow (x-2)(2x+\frac{5}{\sqrt{5x+6}+4}+\frac{7}{\sqrt{7x+11}+5})=0$$
Suy ra: x-2=0 suy ra x=2 ;và (...)=0
Ta có: $$2x+\frac{5}{\sqrt{5x+6}+4}+\frac{7}{\sqrt{7x+11}+5}=0$$ (1)
Xét $$x>0\Rightarrow (1)>0\rightarrow VN$$
Xét $$x=0\Rightarrow (1)>0\rightarrow VN;x<0\rightarrow VN$$
Vậy pt có nghiệm x=2

Chữa lại bài 1 nhé
ĐKXĐ: $$x\geq \frac{-6}{5}$$
Phương trình đã cho $\Leftrightarrow 2(x^{2}-x-2)+\sqrt{5x+6}-(x+2)+\sqrt{7x+11}-(x+3)=0$
$\Leftrightarrow 2(x^{2}-x-2)+\frac{2+x-x^{2}}{\sqrt{5x+6}+(x+2)}+\frac{2+x-x^{2}}{\sqrt{7x+11}+(x+3)}=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}-x-2)(2- \frac{1}{\sqrt{5x+6}+x+2}-\frac{1}{\sqrt{7x+11}+(x+3)})=0$
Vì $$\frac{1}{\sqrt{5x+6}+x+2}\leq \frac{5}{4};\frac{1}{\sqrt{7x+11}+x+3}< \frac{5}{9}\Rightarrow 2-\frac{1}{\sqrt{5x+6}+x+2}-\frac{1}{\sqrt{7x+11}+x+3}>0\Rightarrow x^{2}-x+2=0\Leftrightarrow (x+1)(x-2)=0\Leftrightarrow x=-1(t/m)$$ hoặc x=2(t/m)
Vậy....

2, Xét dãy số $$(a_{n})$$, $$(n=1;2;3;...)$$ được xác định bởi $$a_{1}=a;a_{2}=3;a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+1$$ với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng sô $$A=4a_{n}a_{n+2}+1$$ là số chính phương

Ta chứng minh quy nạp rằng
$$A=(2a_{n+1}-1)^{2}$$ (1)
Với n=1 ta có $$A=4a_{1}a_{3}+1=4.1(2.3-1+1)+1=25=(2a_{2}-1)^{2}$$
Giả sử (1) đúng với n=k, tức là ta có: $$A_{k}=4a_{k}a_{k+2}+1=(2a_{k+1}-1)^{2}$$
Xét $A_{k+1}=4a_{k+1}a_{k+3}+1$
$=4a_{k+1}(2a_{k+2}-a_{k+1}+1)+1$
$=8a_{k+1}a_{k+2}-4a^{2}_{k+1}+4a_{k+1}+1$
$=4a_{k+2}(a_{k+2}+a_{k}-1)-4a^{2}_{k+1}+4a_{k+1}+1$
$=4a^{2}_{k+2}-4a_{k+2}+4a_{k}a_{k+2}-(2a_{k+1}-1)^{2}+2$
$=4a^{2}_{k+2}-4a_{k+2}+1$
$=(2a_{k+2}-1)^{2}$
Nghĩa là (1) đúng với k+1. Suy ra (2) đúng với mọi n
Vậy A là số chính phương

 

[Ann Lee]

Đề 2:
Bài 1:
1, Giải phương trình $$\sqrt{x^{2}+2x}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x^{2}+4x+1}$$
2, Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix} x^{2}+3y=9\\ y^{4}+4(2x-3)y^{2}-48y-48x+155=0 \end{matrix}\right.$$

Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho $$\frac{x^{3}+x}{xy-1}$$ là số nguyên dương

Bài 3:
1, Tìm GTLN của biểu thức $$A=13\sqrt{x^{2}-x^{4}}+9\sqrt{x^{2}+x^{4}}$$ với $$0\leq x\leq 1$$
2, Cho 3 số dương tùy ý không lớn hơn 1. Chứng minh rằng $$\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$$

Bài 4: Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự ấy. Gọi (O) là một đường tròn bất kì luôn đi qua B và C. Kẻ từ A các tiếp tuyến AE và AF đến đường tròn (O).(E và F là các tiếp điểm). I là trung điểm của BC, N là trung điểm của EF.
1. Chứng minh rằng: E và F nằm trên một đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
2. Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại E'. Chứng minh rằng EE' song song với AB.
3. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi.

Bài 5: Có 6 thành phố, trong đó cứ 3 thành phố bất kỳ thì có ít nhất 2 thành phố liên lạc được với nhau. Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được với nhau.

 

[linhntmk123]

đề sư phạm nè mấy bn

 

[Trang Ran Mori]

Câu 3 ý b làm ntn vậy?

 

[hdiemht]

Đề 2:

Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho $$\frac{x^{3}+x}{xy-1}$$ là số nguyên dương

$$\frac{x^{3}+x}{xy-1}=\frac{x(x^2+1)}{xy-1}$$
Gọi $$UCLN(x,xy-1)=d\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\vdots d & & \\ xy-1\vdots d & & \end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1\Rightarrow UCLN(x;xy-1)=1$$
Suy ra: $$\frac{x^2+1}{xy-1}\in \mathbb{Z}^+\Leftrightarrow x^2+1\vdots xy-1\Leftrightarrow x^2+1+xy-1\vdots xy-1\Leftrightarrow x^2+xy\vdots xy-1$$
$$\Leftrightarrow x(x+y)\vdots xy-1\Rightarrow x+y\vdots xy-1\Rightarrow x+y=z(xy-1)(z\in \mathbb{Z}^+)\Leftrightarrow x+y+z=xyz$$
Đến đây trở thành bài toán quen thuộc:
Vì vai trò x,y,z ngang nhau. Ta giả sử: $$0\leq x\leq y\leq z\Rightarrow x+y+z\leq 3z\Leftrightarrow xyz\leqslant 3z\Rightarrow 0\leq xy\leq 3\Rightarrow \begin{bmatrix} xy=1\Rightarrow x=y=1\Rightarrow 2+z=z(False) & & \\ xy=2\Rightarrow x=1;y=2\Rightarrow z=3(True) & & \\ xy=3\Rightarrow x=1;y=3\Rightarrow z=2(True) & & \end{bmatrix}$$
Vậy các cặp số (x;y) cần tìm là (3;2);(3;1);(2;1);(2;3);(1;2);(1;3)

Đề 2:

Bài 5: Có 6 thành phố, trong đó cứ 3 thành phố bất kỳ thì có ít nhất 2 thành phố liên lạc được với nhau. Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được với nhau.

#Bacninh

 

[Ann Lee]

Câu 3 ý b làm ntn vậy?

Câu 3 ý b: Giải phương trình $$5x^{4}-2x^{2}-3x^{2}\sqrt{x^{2}+2}=4$$ (*)
ĐKXĐ: mọi x thuộc R
Ta có: $$5x^{4}-3x^{2}\sqrt{x^{2}+2}-2(x^{2}+2)=0\Leftrightarrow (5x^{2}+2\sqrt{x^{2}+2})(x^{2}-\sqrt{x^{2}+2})=0$$
+) Th1: $$5x^{2}+2\sqrt{x^{2}+2}=0$$ (1)
Vì $$5x^{2}\geq 0;2\sqrt{x^{2}+2}\geq 2\sqrt{2}\Rightarrow 5x^{2}+2\sqrt{x^{2}+2}\geq 2\sqrt{2}>0$$ nên (1) vô nghiệm
+) Th2: $$x^{2}-\sqrt{x^{2}+2}=0\Leftrightarrow x^{2}=\sqrt{x^{2}+2}\Leftrightarrow x^{4}=x^{2}+2\Leftrightarrow (x^{2}-2)(x^{2}+1)=0\Leftrightarrow x^{2}-2=0\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}(t/m)$$
Vậy...

 

[bat dangthuc]

câu hình lm sao vậy