Toán [Thảo luận] Topic ôn tập thi tuyển sinh vào 10 chuyên

Thảo luận trong 'Đề thi vào lớp 10' bắt đầu bởi Ann Lee, 7 Tháng năm 2018.

Lượt xem: 9,210

  1. Ann Lee

    Ann Lee Cựu Mod Toán Thành viên

    Bài viết:
    1,782
    Điểm thành tích:
    424
    Nơi ở:
    Hưng Yên

    BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC và GTLN, GTNN
    Bài 1: Cho các số dương x;y;z thỏa mãn [tex]xy+yz+zx=3[/tex]
    Tìm GTNN của biểu thức sau $A=\frac{yz}{x^{3}+2}+\frac{zx}{y^{3}+2}+\frac{xy}{z^{3}+2}$
    Bài 2: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh rằng [tex]\frac{a^{4}}{b^{3}(c+2a)}+\frac{b^{4}}{c^{3}(a+2b)}+\frac{c^{4}}{a^{3}(b+2c)}\geq 1[/tex]
    Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $ab+bc+ca+abc\leq 4$. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$
    Bài 4: Cho a;b;c là các số thực dương. Chứng minh rằng [tex]\frac{a^{2}(a+2b)}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}(b+2c)}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}(c+2a)}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)[/tex]
     
    you only live once, hdiemht, lengoctutb2 others thích bài này.
  2. Ann Lee

    Ann Lee Cựu Mod Toán Thành viên

    Bài viết:
    1,782
    Điểm thành tích:
    424
    Nơi ở:
    Hưng Yên

    BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC và GTLN, GTNN
    Đăng bù bài của ngày hôm qua :D và bài cả ngày hôm nay luôn nha ^^
    Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức [tex]A=\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}[/tex] nếu a+b+c=1
    Bài 6: Cho [tex]x,y,z>0; x+y+z=1[/tex]. Tìm GTNN của biểu thức [tex]B=\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+yz+2z^{2}}+\sqrt{2z^{2}+zx+2x^{2}}[/tex]
    Bài 7: Cho x,y,z>0 thỏa mãn [tex]xy+yz+zx=671[/tex]. Chứng minh rằng [tex]C=\frac{x}{x^{2}-yz+2013}+\frac{y}{y^{2}-zx+2013}+\frac{z}{z^{2}-xy+2013}\geq \frac{1}{x+y+z} [/tex]
    Bài 8: Cho a,b,c là các số lớn hơn 1. Chứng minh [tex]D=\frac{a^{2}}{a-1}+\frac{2b^{2}}{b-1}+\frac{3c^{2}}{c-1}\geq 24[/tex]
    Bài 9: Cho x;y;z là các số thực dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng: [tex]E=\frac{x}{\sqrt{y+z-2}}+\frac{y}{\sqrt{z+x-2}}+\frac{z}{\sqrt{x+y-2}}[/tex]
    Bài 10: Cho a;b;c là các số dương. Chứng minh $\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2\left ( \sqrt{\frac{c}{a+b}}+ \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}\right )$
    Bài 11: Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn [tex]ab+bc+ca=abc[/tex], Chứng minh rằng:
    [tex]F=\frac{\sqrt{b^{2}+2a^{2}}}{ab}+\frac{\sqrt{c^{2}+2b^{2}}}{bc}+\frac{\sqrt{a^{2}+2c^{2}}}{ca}\geq \sqrt{3}[/tex]
    Bài 12: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng $G=\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1$
    ________________________________

    Bài tồn đọng của chuyên đề 4:
    Bài 1: Cho các số dương x;y;z thỏa mãn [tex]xy+yz+zx=3[/tex]
    Tìm GTNN của biểu thức sau $A=\frac{yz}{x^{3}+2}+\frac{zx}{y^{3}+2}+\frac{xy}{z^{3}+2}$

    Gợi ý: Sử dụng kĩ thuật AM-GM ngược dấu ( hay còn gọi là Cauchy ngược dấu)
    Bài 2: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh rằng [tex]\frac{a^{4}}{b^{3}(c+2a)}+\frac{b^{4}}{c^{3}(a+2b)}+\frac{c^{4}}{a^{3}(b+2c)}\geq 1[/tex]

    Gợi ý: Áp dụng BĐT AM-GM để VT của BĐT gọn hơn
    Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $ab+bc+ca+abc\leq 4$. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$

    Gợi ý: Sử dụng đến BĐT Schur bậc 3
    Bài 4: Cho a;b;c là các số thực dương. Chứng minh rằng [tex]\frac{a^{2}(a+2b)}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}(b+2c)}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}(c+2a)}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)[/tex]

    Gợi ý: Sử dụng phương pháp hệ số bất định (UCT)

     
  3. you only live once

    you only live once Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    107
    Điểm thành tích:
    69
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    thpt thường tín

    Đặt a-1 =x , b-1=y ,c-1=z
    pt [tex]\frac{(x+1)^{2}}{x}+\frac{2(y+1)^{2}}{y}+\frac{3(z+1)^{2}}{z}=x+2+\frac{1}{x}+2y+4+\frac{2}{y}+3z+6+\frac{3}{z}\geq 2.\sqrt{x.\frac{1}{x}}+2.\sqrt{2y.\frac{2}{y}}+2\sqrt{3y.\frac{3}{y}}+12=24[/tex]
    dau = xảy ra khi x=y=z=1 nên a=b=c=2
    ta có [tex]\frac{x}{\sqrt{y+z-2 }}= \frac{x}{\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}.\sqrt{y+z-2}}\geq \frac{x}{\frac{y+z}{2\sqrt{2}}}=\frac{2\sqrt{2}x}{y+z}[/tex]
    ttụ vt >=[tex]2\sqrt{2}(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})\geq 2\sqrt{2}.\frac{3}{2}=3\sqrt{2}(nesbit)[/tex]
    dau = sảy ra khi x=y=z=4
    Ta có [tex]\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(b+c)}}=\frac{a}{a+\sqrt{a^{2}+ab+bc+ac}}\leq \frac{a}{a+\sqrt{ab+2a\sqrt{bc}+ac}}=\frac{a}{a+\sqrt{(\sqrt{ab}+\sqrt{ac})}^{2}}=\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}[/tex]
    ttu vt<= [tex]\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1[/tex]
    dau = sảy ra khi a=b=c
     
    Đình Hải, Fighting_2k3_Ann Lee thích bài này.
  4. you only live once

    you only live once Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    107
    Điểm thành tích:
    69
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    thpt thường tín

    ta có [tex]\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}=\sqrt{2(x+y)^{2}-3xy} \geq \sqrt{2(x+y)^{2}-\frac{3(x+y)^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}(x+y)[/tex]
    ttu vt >=[tex]\frac{\sqrt{5}}{2}(2x+2y+2z)=\sqrt{5}(x+y+z)=\sqrt{5}[/tex]
    dau = sảy ra khi x=y=z=1/3
    áp dụng [tex]\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2(a+b)}[/tex]
    [tex]\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}})+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}})+\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}})[/tex]
    =[tex]\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{b}})+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{c}})+....[/tex]
    áp dung 1/x+1/y>=4/x+y
    [tex]vt\geq \frac{4\sqrt{a}}{\sqrt{2}(\sqrt{b}+\sqrt{c})}+....=\frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+....[/tex]
    [tex]\leq \frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{2(b+c)}}+....=2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+....)(dpcm)[/tex]
    dau = sảy ra khi a=b=c
    áp dung buni ta có
    [tex]b^{2}+a^{2}+a^{2}\geq \frac{(b+2a)^{2}}{3}\Rightarrow \sqrt{b^{2}+2a}\geq \frac{b+2a}{\sqrt{3}}[/tex]
    vt[tex]\geq \frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c})=\sqrt{3}[/tex]
    vì 1/a+1/b+1/c =1 (gt)
    dau = sảy ra a=b=c=3
     
    Ann Leehdiemht thích bài này.
  5. you only live once

    you only live once Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    107
    Điểm thành tích:
    69
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    thpt thường tín

    áp dung bunhi A<=[tex]\sqrt{3(4a+4b+4c+3)}=\sqrt{21}[/tex]
    dau = sảy ra khi a=b=c=1/3
    đặt [tex]\sqrt{4a+1}=x\Rightarrow x\geq 1[/tex] ,[tex]\sqrt{4b+1}=y\geq 1,\sqrt{4c+1}=z\geq 1[/tex]
    suy ra [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=7[/tex]
    A=x+y+z suy ra A^2 = [tex]x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)=7+2(xy+xz+yz)[/tex]
    do x,y,z >=1
    nên (x-1)(y-1)+(x-1)(z-1)+(z-1)(x-1)>=0
    suy ra xy+yz+xz+3>=2(x+y+z)
    syu ra A^2 >=7+4A-6 suy ra A>=[tex]2+\sqrt{5}[/tex]
    dau = sảy ra khi x=[tex]\sqrt{5},y=z=1[/tex]
    suy ra a=1, b=c=0
     
    Last edited by a moderator: 22 Tháng năm 2018
    hdiemhtAnn Lee thích bài này.
  6. Ann Lee

    Ann Lee Cựu Mod Toán Thành viên

    Bài viết:
    1,782
    Điểm thành tích:
    424
    Nơi ở:
    Hưng Yên

    BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC và GTLN, GTNN


    Bài 13: Cho 3 số thực dương thay đổi a;b;c thỏa mãn ab+bc+ca=3abc. Chứng minh [tex]P=5(a+b+c)-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\leq 9[/tex]
    Bài 14: Cho x;y;z là các số thực dương. chứng minh rằng [tex]2\sqrt{x+y+z}+\sqrt{3}\geq \sqrt{3}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z})[/tex]
    Bài 15: Với a,b,c >0. chứng minh rằng [tex]\frac{2a^{2}}{2b+c}+\frac{2b^{2}}{2a+c}+\frac{c^{2}}{4a+4b}\geq \frac{1}{4}(2a+2b+c)[/tex]
    Bài 16: Với a,b,c>0. Chứng minh rằng [tex]\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\geq 2(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt{c+3a}})[/tex]
    ________________________________

    Bài tồn đọng của chuyên đề 4:
    Bài 1: Cho các số dương x;y;z thỏa mãn [tex]xy+yz+zx=3[/tex]
    Tìm GTNN của biểu thức sau $A=\frac{yz}{x^{3}+2}+\frac{zx}{y^{3}+2}+\frac{xy}{z^{3}+2}$

    Gợi ý: Sử dụng kĩ thuật AM-GM ngược dấu ( hay còn gọi là Cauchy ngược dấu)
    Bài 2: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh rằng [tex]\frac{a^{4}}{b^{3}(c+2a)}+\frac{b^{4}}{c^{3}(a+2b)}+\frac{c^{4}}{a^{3}(b+2c)}\geq 1[/tex]

    Gợi ý: Áp dụng BĐT AM-GM để VT của BĐT gọn hơn
    Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $ab+bc+ca+abc\leq 4$. Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$

    Gợi ý: Sử dụng đến BĐT Schur bậc 3
    Bài 4: Cho a;b;c là các số thực dương. Chứng minh rằng [tex]\frac{a^{2}(a+2b)}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}(b+2c)}{(b+c)^{2}}+\frac{c^{2}(c+2a)}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3}{4}(a+b+c)[/tex]

    Gợi ý: Sử dụng phương pháp hệ số bất định (UCT)
    Bài 7: Cho x,y,z>0 thỏa mãn [tex]xy+yz+zx=671[/tex]. Chứng minh rằng [tex]C=\frac{x}{x^{2}-yz+2013}+\frac{y}{y^{2}-zx+2013}+\frac{z}{z^{2}-xy+2013}\geq \frac{1}{x+y+z} [/tex]

    Gợi ý: Sử dụng đến BĐT Svacxo
     
    Đình Hảihdiemht thích bài này.
  7. hdiemht

    hdiemht Cựu Mod Toán Thành viên

    Bài viết:
    1,810
    Điểm thành tích:
    481
    Nơi ở:
    Quảng Trị
    Trường học/Cơ quan:
    $Loading....$

    [tex]C=\sum \frac{x}{x^2-yz+2013}=\sum \frac{x^2}{x^3-xyz+2013x}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2013(x+y+z)}[/tex] (*)
    Cần chứng minh: [tex]x^3+y^3+z^3+2013(x+y+z)-3xyz=(x+y+z)^3[/tex]
    Thật vậy:
    [tex]x^3+y^3+z^3+2013(x+y+z)-3xyz=(x+y+z)^3[/tex] (1)
    [tex]\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz-3(xy+yz+xz)(x+y+z)=3(x+y)(y+z)(x+z)[/tex] (Vì [tex]xy+yz+xz=671[/tex] )
    Nhân khai triển xong chuyển vế sẽ có đáp án =0. Vậy (1) được chứng minh
    Thay (1) vào (*) ta được: [tex]C=\sum \frac{x}{x^2-yz+2013}=\sum \frac{x^2}{x^3-xyz+2013x}\geq \frac{(x+y+z)^2} {x^3+y^3+z^3-3xyz+2013(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^3}\doteq \frac{1}{x+y+z}[/tex]
    Dấu ''='' xảy ra khi: [tex]x=y=z=\sqrt{\frac{671}{3}}[/tex]
     
    Đình Hải, Ann Lee, lengoctutb2 others thích bài này.
  8. hdiemht

    hdiemht Cựu Mod Toán Thành viên

    Bài viết:
    1,810
    Điểm thành tích:
    481
    Nơi ở:
    Quảng Trị
    Trường học/Cơ quan:
    $Loading....$

    Ta có: [tex]3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=[\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}]^2\leq (\sum \frac{a^2}{b})^2=[tex](\sum \frac{a^2}{b\sqrt{b(2a+c)}}.\sqrt{2ab+bc})^2\leq VT.3(ab+bc+ac)\rightarrow VT\geq 1[/tex]
    Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c
    #dehaiphong[/tex]
     
    Last edited: 23 Tháng năm 2018
    Đình Hải, lengoctutb, Ann Lee1 other person thích bài này.
  9. lengoctutb

    lengoctutb Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    1,085
    Điểm thành tích:
    196

    Ta có $:$ $x^{2}-yz+2013=x^{2}+xy+xz+1342 > 0$$,$ tương tự $:$ $y^{2}-zx+2013 > 0$ và $z^{2}-xy+2013 > 0$
    $VT=\frac{x}{x^{2}-yz+2013}+\frac{y}{y^{2}-zx+2013}+\frac{z}{z^{2}-xy+2013}=\frac{x^{2}}{x(x^{2}-yz+2013)}+\frac{y^{2}}{y(y^{2}-zx+2013)}+\frac{z^{2}}{z(z^{2}-xy+2013)} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz+2013(x+y+z)}$
    Ta có $:$ $x^{3}+ y^{3}+ z^{3}-3xyz+2013(x+y+z)=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx) +2013(x+y+z)=(x+y+z)[(x+y+z)^{2}-3(xy+yz+zx)+2013]$
    $\Leftrightarrow x^{3}+ y^{3}+ z^{3}-3xyz+2013(x+y+z)= (x+y+z)[(x+y+z)^{2}-3.671+2013]=(x+y+z)^{3}$
    Khi đó $:$ $VT \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^{3}}=\frac{1}{x+y+z}=VP$ $($đpcm$)$
    Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=z & \\ xy+yz+zx=671 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{2013}}{3}$


    $P/s$ $:$ Dạo này mình hơi bận nên không đăng bài được $!$ Xin mọi người thông cảm $!$
     
    Last edited: 24 Tháng năm 2018
  10. lengoctutb

    lengoctutb Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    1,085
    Điểm thành tích:
    196

    $VT=\frac{2a^{2}}{2b+c}+\frac{2b^{2}}{2a+c}+\frac{c^{2}}{4a+4b}= \frac{4a^{2}}{4b+2c}+\frac{4b^{2}}{4a+2c}+\frac{c^{2}}{4a+4b} \geq \frac{(2a+2b+c)^{2}}{8a+8b+4c}=\frac{(2a+2b+c)^{2}}{4(2a+2b+c)}=\frac{1}{4}(2a+2b+c)=VP$ $($đpcm$)$
    Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{c}{2}$
     
    Ann Leehdiemht thích bài này.
  11. lengoctutb

    lengoctutb Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    1,085
    Điểm thành tích:
    196

    Xét $:$ $\frac{a^{2}(a+2b)}{(a+b)^{2}} \geq a-\frac{1}{4}b \Leftrightarrow a^{3}+2a^{2}b \geq (a^{2}+2ab+b^{2})(a-\frac{1}{4}b) \Leftrightarrow a^{3}+2a^{2}b \geq a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}b+2a^{2}b-\frac{1}{2}ab^{2}+ab^{2}-\frac{1}{4}b^{3}$
    $\Leftrightarrow \frac{1}{4}b^{3}+\frac{1}{4}a^{2}b-\frac{1}{2}ab^{2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}b(a^{2}-2ab+b^{2}) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4}b(a-b)^{2} \geq 0$ $($hiển nhiên đúng$)$
    Tương tự$,$ ta có $:$ $\frac{b^{2}(b+2c)}{(b+c)^{2}} \geq b-\frac{1}{4}c$ và $\frac{c^{2}(c+2a)}{(c+a)^{2}} \geq c-\frac{1}{4}a$
    Khi đó $:$ $\frac{a^{2}(a+2b)}{(a+b)^{2}}+ \frac{b^{2}(b+2c)}{(b+c)^{2}}+ \frac{c^{2}(c+2a)}{(c+a)^{2}} \geq a-\frac{1}{4}b+b-\frac{1}{4}c+ c-\frac{1}{4}a=\frac{3}{4}(a+b+c)$ $($đpcm$)$
    Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$
     
    you only live once, Ann Leehdiemht thích bài này.
  12. Ann Lee

    Ann Lee Cựu Mod Toán Thành viên

    Bài viết:
    1,782
    Điểm thành tích:
    424
    Nơi ở:
    Hưng Yên

    BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC và GTLN, GTNN
    Xin lỗi các bạn, vì mấy ngày qua mình khá bận nên không thể tiếp tục topic được.
    Mình xin giải quyết nốt các bài tồn đọng của chuyên đề 4:
    Bài 1: Cho các số dương x;y;z thỏa mãn [tex]xy+yz+zx=3[/tex]
    Tìm GTNN của biểu thức sau $A=\frac{yz}{x^{3}+2}+\frac{zx}{y^{3}+2}+\frac{xy}{z^{3}+2}$

    Có [tex]\frac{2yz}{x^{3}+2}=yz-\frac{x^{3}yz}{x^{3}+2}=yz-\frac{x^{3}yz}{x^{3}+1+1}\geq yz-\frac{x^{3}yz}{3\sqrt[3]{x^{3}}}=yz-\frac{x^{3}yz}{3x}=yz-\frac{x^{2}yz}{3}[/tex]
    $\Rightarrow \frac{yz}{x^{3}+2}\geq \frac{1}{2}(yz-\frac{x^{2}yz}{3})$
    Tương tự:....
    Suy ra $A\geq \frac{1}{2}(xy+yz+zx-\frac{x^{2}yz}{3}-\frac{y^{2}zx}{3}-\frac{z^{2}xy}{3})=\frac{1}{2}\left [ 3-\frac{xyz(x+y+z)}{3} \right ]\geq \frac{1}{2}\left [ 3-\frac{(xy+yz+zx)^{2}}{9} \right ]=\frac{1}{2}(3-\frac{3^{2}}{9})=1$
    Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$


    Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $ab+bc+ca+abc\leq 4$. Chứng minh rằng $B=a^{2}+b^{2}+c^{2}+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)$
    $4\geq ab+bc+ca+abc\geq 4\sqrt[4]{(abc)^{3}}\Rightarrow abc\leq 1$
    $\Rightarrow a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}$
    $\Rightarrow B\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\sqrt[3]{(abc)^{2}}$
    Đặt $\sqrt[3]{a^{2}}=x;\sqrt[3]{b^{2}}=y;\sqrt[3]{c^{2}}=z$
    Khi đó $B\geq x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$ (hệ quả của BĐT Schur bậc 3)
    Có $xy(x+y)=x^{2}y+xy^{2}\geq 2\sqrt{x^{2}yxy^{2}}=2\sqrt{(xy)^{3}}=2\sqrt{(ab)^{2}}=2ab$
    Tương tự:....
    Suy ra $B\geq 2(ab+bc+ca)$ (đpcm)
    Dấu "=" xảy ra $$\Leftrightarrow a=b=c=1$


    Bài 13: Cho 3 số thực dương thay đổi a;b;c thỏa mãn ab+bc+ca=3abc. Chứng minh [tex]P=5(a+b+c)-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\leq 9[/tex]

    Có: $ab+bc+ca=3abc\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$
    Có: $\frac{3}{a}+2a^{4}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+a^{4}+a^{4}\geq 5\sqrt[5]{\frac{1}{a}.\frac{1}{a}.\frac{1}{a}.a^{4}.a^{4}}=5a$
    Tương tự:....
    Cộng 3 BĐT trên ta được
    $3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq 5(a+b+c)\Rightarrow P=5(a+b+c)-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\leq 3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=9$

    $Dấu "=" xảy ra $$\Leftrightarrow a=b=c=1$

    Bài 14: Cho x;y;z là các số thực dương. chứng minh rằng [tex]2\sqrt{x+y+z}+\sqrt{3}\geq \sqrt{3}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z})[/tex]

    $\sqrt{x}+\sqrt{x}+1\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{x}.\sqrt{x}.1}=3\sqrt[3]{x}\Rightarrow 2\sqrt{x}+1\geq 3\sqrt[3]{x}$
    Tương tự:...
    Cộng 3 BĐT trên ta được
    $2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+3\geq 3(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z})$
    Mặt khác $(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}=x+y+z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{zx}\leq 3(x+y+z)\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{3(x+y+z)}$
    Kết hợp 2 BĐT trên ta được đpcm
    Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$


    Bài 16: Với a,b,c>0. Chứng minh rằng [tex]\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\geq 2(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3c}}+\frac{1}{\sqrt{c+3a}})[/tex]
    $\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{3}{\sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{9}{3\sqrt{b}}\geq \frac{(1+3)^{2}}{\sqrt{a}+3\sqrt{b}}=\frac{16}{\sqrt{a}+3\sqrt{b}}=\frac{4}{\frac{\sqrt{a}+3\sqrt{b}}{4}}\geq \frac{4}{\sqrt{\frac{a+3b}{4}}}=\frac{8}{\sqrt{a+3b}}$
    Cộng vế với vế các BĐT trên rồi chia cả hai vế cho 4 thu được đpcm
    $Dấu "=" xảy ra $$\Leftrightarrow a=b=c=1$
     
  13. Ann Lee

    Ann Lee Cựu Mod Toán Thành viên

    Bài viết:
    1,782
    Điểm thành tích:
    424
    Nơi ở:
    Hưng Yên

    CHUYÊN ĐỀ 5: TỔ HỢP
    Ở chuyên đề này mình sẽ không đưa ra bài tập ( vì mình quá gà về phần này :v ), thay vào đó mình sẽ up tài liệu của mình có liên quan đến tổ hợp. Hy vọng sẽ giúp đỡ được các bạn trong qua trình ôn thi :D
    Từ ngày mai sẽ chuyển qua luyện đề nhé.
     

    Các file đính kèm:

    hdiemht thích bài này.
  14. lengoctutb

    lengoctutb Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    1,085
    Điểm thành tích:
    196

    Nếu bạn nào siêng đọc và muốn đạt kết quả phần tổ hợp trong kì thi sắp tới$,$ mình cũng muốn gửi đến các bạn một quyển tổ hợp cũng rất hay $!$
     

    Các file đính kèm:

    • DTTH.pdf
      Kích thước:
      1.4 MB
      Đọc:
      86
    Ann Lee thích bài này.
  15. Ann Lee

    Ann Lee Cựu Mod Toán Thành viên

    Bài viết:
    1,782
    Điểm thành tích:
    424
    Nơi ở:
    Hưng Yên

    Đề 1:
    Bài 1
    :
    1, Giải phương trình [tex]2x^{2}-4x-9+\sqrt{5x+6}+\sqrt{7x+11}=0[/tex]
    2, Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} x^{4}+2x^{3}y+x^{2}y^{2}=2x+9\\x^{2}+2xy=6x+6 \end{matrix}\right.[/tex]

    Bài 2:
    1,
    Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trình [tex]x^{2}(y-5)-xy=x-y+1[/tex]
    2, Xét dãy số [tex](a_{n})[/tex], [tex](n=1;2;3;...)[/tex] được xác định bởi [tex]a_{1}=a;a_{2}=3;a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+1[/tex] với mọi số nguyên dương n. Chứng minh rằng sô [tex]A=4a_{n}a_{n+2}+1[/tex] là số chính phương

    Bài 3: Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh rằng [tex]\frac{5b^{3}-a^{3}}{ab+3b^{2}}+\frac{5c^{3}-b^{3}}{bc+3c^{2}}+\frac{5a^{3}-c^{3}}{ca+3a^{2}}\leq a+b+c[/tex]

    Bài 4: Cho hình vuông ABCD, M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng với B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng với D) sao cho: [tex]\widehat{MAN}=\widehat{MAB}+\widehat{NAD}[/tex]
    1. BD cắt AN và AM tương ứng tại P và Q. Chứng minh rằng năm điểm P,Q,M,C,N cùng nằm trên một đường tròn.
    2. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M và N thay đổi.
    3. Ký hiệu diện tích của tam giác APQ là [tex]S_{1}[/tex] là diện tích của tứ giác PQMN là [tex]S_{2}[/tex] . Chứng minh rằng tỉ số [tex]\frac{S_{1}}{S_{2}}[/tex] không đổi khi M và N thay đổi.

    Bài 5: Có 9 học sinh vừa lớp A vừa lớp B sắp thành một hàng dọc, đứng cách đều. Chứng minh rằng có ít nhất 1 học sinh đứng cách hai em cùng lớp với mình một khoảng cách như nhau

    P/s: Có vẻ như mọi người ít "thảo luận" ở topic này nhỉ, kiểu "thảo luận" những vướng mắc khi làm bài tập ý :v. Mạnh dạn lên nào các bạn ^^
     
  16. lengoctutb

    lengoctutb Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    1,085
    Điểm thành tích:
    196

    Xét $\frac{5b^{3}-a^{3}}{ab+3b^{2}} \leq 2b-a \Leftrightarrow 5b^{3}-a^{3} \leq (2b-a)(ab+3b^{2}) \Leftrightarrow 5b^{3}-a^{3} \leq 2ab^{2}+6b^{3}-a^{2}b-3ab^{2}$
    $\Leftrightarrow a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3} \geq 0 \Leftrightarrow a^{3}+a^{2}b-2a^{2}b-2ab^{2}+ab^{2}+b^{3} \geq 0$
    $\Leftrightarrow a^{2}(a+b)-2ab(a+b)+b^{2}(a+b) \geq 0 \Leftrightarrow (a^{2}-2ab+b^{2})(a+b) \geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b) \geq 0$ $($đúng$)$
    Tương tự ta có $:$ $\frac{5c^{3}-b^{3}}{bc+3c^{2}} \leq 2c-b$ và $\frac{5c^{3}-b^{3}}{bc+3c^{2}} \leq 2a-c$$.$ Khi đó $:$
    $\frac{5b^{3}-a^{3}}{ab+3b^{2}}+\frac{5c^{3}-b^{3}}{bc+3c^{2}}+\frac{5a^{3}-c^{3}}{ca+3a^{2}} \leq 2b-a+2c-b+2a-c=a+b+c$ $($đpcm$)$
    Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$
     
    Ann Lee thích bài này.
  17. you only live once

    you only live once Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    107
    Điểm thành tích:
    69
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    thpt thường tín

    nhưng mà a ơi cho e hỏi làm sao để bt bdtd phụ ấy ak
     
    Ann Lee thích bài này.
  18. hdiemht

    hdiemht Cựu Mod Toán Thành viên

    Bài viết:
    1,810
    Điểm thành tích:
    481
    Nơi ở:
    Quảng Trị
    Trường học/Cơ quan:
    $Loading....$

    [​IMG]
    Bài1:
    1. [tex]2x^2-4x-9+\sqrt{5x+6}+\sqrt{7x+11}=0[/tex] ĐK:....
    [tex]\Leftrightarrow 2x(x-2)+\frac{5x+6-16}{\sqrt{5x+6}+4}+\frac{7x-14}{\sqrt{7x+11}+5}=0[/tex]
    [tex]\Leftrightarrow (x-2)(2x+\frac{5}{\sqrt{5x+6}+4}+\frac{7}{\sqrt{7x+11}+5})=0[/tex]
    Suy ra: x-2=0 suy ra x=2 ;và (...)=0
    Ta có: [tex]2x+\frac{5}{\sqrt{5x+6}+4}+\frac{7}{\sqrt{7x+11}+5}=0[/tex] (1)
    Xét [tex]x>0\Rightarrow (1)>0\rightarrow VN[/tex]
    Xét [tex]x=0\Rightarrow (1)>0\rightarrow VN;x<0\rightarrow VN[/tex]
    Vậy pt có nghiệm x=2
    2. Hệ [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9 & & \\ y=\frac{6x+6-x^2}{2x} & & \end{matrix}\right.(x=0 ktm) \Rightarrow x^4+12x^3+48x^2+64x=0\Rightarrow x.(x+4)^3=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=0(ktm) & & \\ x+4=0 & & \end{bmatrix}\Rightarrow x=-4[/tex]
    [tex]\Rightarrow y=\frac{17}{4}[/tex]
    #b2nguồn....
    [​IMG] [​IMG]
    [​IMG]
     
    Last edited: 27 Tháng năm 2018
    Ann Lee thích bài này.
  19. Thánh Lầy Lội

    Thánh Lầy Lội Banned Banned

    Bài viết:
    168
    Điểm thành tích:
    84
    Nơi ở:
    Bình Định

    Cái này đã có bài tổng quát
     
    Ann LeeCoco99 thích bài này.
  20. hdiemht

    hdiemht Cựu Mod Toán Thành viên

    Bài viết:
    1,810
    Điểm thành tích:
    481
    Nơi ở:
    Quảng Trị
    Trường học/Cơ quan:
    $Loading....$

    Bài 5:
    file:///D:/My%20Documents/My%20Pictures/55555555.bmp
    nhác đánh ra...
    #nguồn....
    [​IMG]
    [​IMG]
     
    Ann Lee thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->