Toán [Thảo luận] Topic ôn tập thi tuyển sinh vào 10 chuyên

Xin chào các bạn ^^
Đây sẽ là topic để:
+ Các bạn thảo luận về bài tập mà topic lý thuyết đã cung cấp.
+ Các bạn đăng những thắc mắc, khó hiểu trong topic lý thuyết.
+ Các bạn đăng một số bài tập có liên quan đến chuyên đề mà topic lý thuyết đang thảo luận.
Nội quy của topic:

1. Cấm spam dưới mọi hình thức.
2. Khuyến khích các bạn gõ các công thức toán học bằng LATEX (Nếu bạn nào không biết thì có thể tham khảo tại đây: https://diendan.hocmai.vn/threads/boxed-latex-huong-dan-go-ct-toan-hoc.243153/)
3. Đây là topic của môn Toán vì vậy các câu hỏi hay các câu trả lời về các môn học khác sẽ không được chấp nhận
4. Có thể chia nhỏ bài viết ( khuyến khích gộp lại)
5. Chỉ được đăng bài theo chuyên đề mà topic đang thảo luận. Nếu vị phạm thì bị xóa bài.

Mong các bạn tuân thủ nội quy của topic và nội quy chung của diễn đàn.
Cám ơn các bạn đã theo dõi. Ủng hộ topic nhé !

Xem thêm : [Lý thuyết]

 

BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH​

Bài 1: Giải phương trình sau:
[tex]x\sqrt{2x+3}+3(\sqrt{x+5}+1)=3x+\sqrt{2x^{2}+13x+15}+\sqrt{2x+3}[/tex]
Bài 2: Giải phương trình sau:
[tex]\sqrt[3]{x^{3}+5x^{2}}-1=\sqrt{\frac{5x^{2}-2}{6}}[/tex]
Bài 3: Giải hệ phương trình:
[tex]\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2}(x-y+3)=\sqrt{y}\\x^{2}+(x+3)(2x-y+5)=x+16 \end{matrix}\right.[/tex]
Bài 4: Giải hệ phương trình:
[tex]\left\{\begin{matrix} x^{3}+x^{2}y=3x^{2}+5xy+y^{2}+4x+y\\ 3\sqrt{x} -\sqrt{y+1}=x+1 \end{matrix}\right.[/tex]
Xem thêm : [Lý thuyết]

 

Mở đầu ~~

$\begin{aligned}[t] & x\sqrt{2x+3} + 3(\sqrt{x+5} + 1) = 3 + \sqrt{2x^2+13x+15} + \sqrt{2x+3} \quad ĐK: x \geqslant -5 \\
\iff& (x-1)\sqrt{2x+3} + 3(\sqrt{x+5} + 1-x) - \sqrt{(x+5)(2x+3)} = 0 \\
\iff& \sqrt{2x+3}(x-1-\sqrt{x+5}) + 3(\sqrt{x+5} + 1-x) = 0 \\
\iff& (\sqrt{2x+3} - 3)(x-1-\sqrt{x+5}) = 0 \end{aligned}$

 

$(1) \begin{aligned}[t] \iff& (\sqrt{x+2} - \sqrt{y})(x+2+\sqrt{(x+2)y} + 1) = 0 \quad \text{ĐK...} \\
\iff& \left[ \begin{aligned} &\sqrt{x+2} = \sqrt{y} \\ &x+2+\sqrt{(x+2)y} + 1 = 0 \end{aligned} \right. \\
\iff& \left[ \begin{aligned} &x+2=y \quad (2) \\ &\sqrt{x+2}(1+\sqrt{y}) = -1 \quad (3) \end{aligned} \right. \end{aligned}$
$(3)$ vô lý
Từ $(2)$ thay vào pt

 

Bài 1:[tex]x\sqrt{2x+3}+3(\sqrt{x+5}+1)=3x+\sqrt{2x^{2}+13x+15}+\sqrt{2x+3}[/tex] (1)
ĐK: [tex]x\geq -\frac{3}{2}[/tex]
Đặt [tex]\sqrt{2x+3}=a\geq 0; \sqrt{x+5}=b\geq 0\Rightarrow x=b^{2}-5[/tex]
Ta có phương trình:
[tex]a(b^{2}-5)+3(b+1)-3(b^{2}-5)-ab-a=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow ab^{2}-5a+3b+3-3b^{2}+15-ab-a=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (ab^{2}+3b^{2})+(18-6a)+(3b-ab)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow b^{2}(a-3)-6(a-3)-b(a-3)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (b^{2}-b-6)(a-3)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (b-3)(b+2)(a-3)=0[/tex]
Với b=3 [tex]\Rightarrow \sqrt{x+5}=3\Leftrightarrow x+5=9\Rightarrow x=4[/tex]
Với b=-2 (KTM)
Với a=3 [tex]\Rightarrow \sqrt{2x+3}=3\Leftrightarrow 2x+3=9\Rightarrow x=3[/tex] (TM)
Sở trường: đặt ẩn phụ

 

Bài 4:
[tex]\left\{\begin{matrix} x^{3}+x^{2}y=3x^{2}+5xy+y^{2}+4x+y(1)\\ 3\sqrt{x} -\sqrt{y+1}=x+1 (2)\end{matrix}\right.[/tex]
ĐKXĐ: [tex]x\geq 0;y\geq -1[/tex]
Từ (1) $\Leftrightarrow 3x^{2}+5xy+y^{2}+4x+y-x^{3}-x^{2}y=0$
$\Leftrightarrow (x+y+1)(y-x^{2}+4x)=0$
Th1: $x+y+1=0$
Từ (2) [tex]\Rightarrow 3\sqrt{x}=\sqrt{y+1}+x+1\geq 1\Rightarrow x>0\Rightarrow x+y+1>0[/tex]
Th2: [tex]y-x^{2}+4x=0\Rightarrow y=x^{2}-4x[/tex]
Thay $y=x^{2}-4x$ vào (2) ta được: [tex]3\sqrt{x}-\sqrt{x^{2}-4x+1}=x+1(3)[/tex]
Vì x=0 không là nghiệm của (3) nên chia cả hai vế của (3) cho [tex]\sqrt{x}\neq 0[/tex] ta được:
[tex]3-\sqrt{x-4+\frac{1}{x}}=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}[/tex] (4)
Đặt [tex]\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=a(a\geq 2)\Rightarrow x+\frac{1}{x}=a^{2}-2[/tex]
[tex](4)\Leftrightarrow 3-\sqrt{a^{2}-6}=a\Leftrightarrow 3-a=\sqrt{a^{2}-6}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\leq 3\\ \\ (3-a)^{2}=a^{2}-6 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\leq 3\\ 6a=15 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\leq 3\\ a=\frac{5}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=\frac{5}{2}[/tex]
Trở lại cách đặt [tex]\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow ...[/tex]

 

BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( tiếp)​

Bài 5: Giải phương trình sau [tex]\frac{1}{\sqrt{2x^{2}+x+1}}+\sqrt{3x+1}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+x+2}}+\sqrt{4x}[/tex]
Bài 6: Giải phương trình sau [tex]\sqrt{3x^{2}-6x-6}=3\sqrt{(2-x)^{5}}+(7x-9)\sqrt{2-x}[/tex]
Bài 7: Giải phương trình sau [tex]\sqrt{x^{2}+15}=3\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+8}-2[/tex]
Bài 8: Giải phương trình sau [tex]4x^{2}=(3x-2)(\sqrt{2x+1}-1)^{2}[/tex]
Bài 9: Giải phương trình sau [tex]\sqrt{x+1}+2(x+1)=x-1+\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x^{2}}[/tex]
Bài 10: Giải phương trình sau [tex]\frac{x^{2}+\sqrt{3}}{x+\sqrt{x^{2}+\sqrt{3}}}+\frac{x^{2}-\sqrt{3}}{x-\sqrt{x^{2}-\sqrt{3}}}=x[/tex]
Bài 11: Giải phương trình sau [tex]\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{(x-1)(x+3)}=4-2x[/tex]
Bài 12: Giải phương trình sau [tex](3x^{2}-6x)(\sqrt{2x-1}+1)=2x^{3}-5x^{2}+4x-4[/tex]
Xem thêm : [Lý thuyết]
P/s: Cảm ơn bạn @A.Einstein1301 đã đóng góp bài 9,10,11,12 cho topic này <3

 

Đk...
$<=> -\sqrt{x+1}-2(x+1)=1-x-3\sqrt{(1-x)(1+x)}$
Đặt$ \sqrt{x+1}=a$
$\sqrt{1-x}=b$
$=> -a-2a^2=b^2-3ab$
....
#Ann: Xin lỗi m, t gõ sai đề bài bài 9 :v May mà có bạn nhắc là gõ sai -.-

 

Bài 10:

Bài 12:
M xem dùm t với...t mơi nghĩ hướng vậy nhưng cái sau...
P/s: @Ann Lee xóa cái bài post trên t với, tự nhiên nó ra như vậy. THANKS..
@Ann Lee : T ko được phép xóa bài viết của thành viên. Về cái hướng của m thì phương trình bậc 4 đó tách được thành $(x^{2}-8x+4)(4x^{2}-2x+1)=0$
Từ đây thì ok rồi nhé

 

BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( tiếp)
Bài 13: Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} 2x+2y+xy=5\\ 27(x+y)+y^{3}+7=26x^{3}+27x^{2}+9x \end{matrix}\right.[/tex]
Bài 14: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y+xy=1\\ \sqrt{4xy-1}+\sqrt{2-4x^{2}y^{2}}=2 \end{matrix}\right.$
Bài 15: Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x^{2}+3x-y}=\sqrt{y^{2}+4x}+x+1\\4\sqrt{2x+1}+x+2=2y \end{matrix}\right.[/tex]
Bài 16: Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} xy(x+y)=2\\x^{3}+y^{3}+6=8x^{2}y^{2} \end{matrix}\right.[/tex]
Xem thêm : [Lý thuyết]
Mỗi ngày 3 phương trình (Hệ phương trình)
______________________________________________________________________________________________________________________
Bài tồn đọng
Bài 2: Giải phương trình sau:[tex]\sqrt[3]{x^{3}+5x^{2}}-1=\sqrt{\frac{5x^{2}-2}{6}}[/tex]
Bài 5: Giải phương trình sau [tex]\frac{1}{\sqrt{2x^{2}+x+1}}+\sqrt{3x+1}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+x+2}}+\sqrt{4x}[/tex]
Bài 6: Giải phương trình sau [tex]\sqrt{3x^{2}-6x-6}=3\sqrt{(2-x)^{5}}+(7x-9)\sqrt{2-x}[/tex]
Bài 7: Giải phương trình sau [tex]\sqrt{x^{2}+15}=3\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt{x^{2}+8}-2[/tex]
Bài 8: Giải phương trình sau [tex]4x^{2}=(3x-2)(\sqrt{2x+1}-1)^{2}[/tex]
Bài 9: Giải phương trình sau [tex]\sqrt{x+1}+2(x+1)=x-1+\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x^{2}}[/tex]
Bài 11: Giải phương trình sau [tex]\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{(x-1)(x+3)}=4-2x[/tex]

 

Bài 5+7

@Ann Lee : Ở bài 5, liên hợp như vậy khá ổn, nhưng hơi cồng kềnh ^^ Thử nghĩ đến hướng chứng minh pt đó chỉ có nghiệm duy nhất là x=1 nha.
Ở bài 7: Hướng đúng rồi. Thử nghĩ cách chứng minh phương trình còn lại vô nghiệm đi nào

 

Bài 11+16:

P/s: Mong BQT đừng cộng điểm nhắc nhở vì mình chia nhỏ bài viết vì tải ảnh lên 2cái nó teo máy nên phải làm vậy..Thanks

 

Bài 8

 

BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( tiếp)
Bài 17: Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}+x=2xy+3\\ x+xy=4 \end{matrix}\right.[/tex]
Bài 18: Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} 2(x-1)y^{2}+x+y=4\\ (y-3)x^{2}+y=x+2 \end{matrix}\right.[/tex]
Bài 19: Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+4x+y^{3}+3=0\\ x^{2}y^{3} +y=2x \end{matrix}\right.[/tex]
Bài 20: Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} 4\sqrt{x+1}-xy\sqrt{y^{2}+4}=0\\ \sqrt{x^{2}-xy^{2}+1}+3\sqrt{x-1}=xy^{2} \end{matrix}\right.[/tex]
Xem thêm : [Lý thuyết]
Mỗi ngày 3 phương trình (Hệ phương trình)
______________________________________________________________________________________________________________________
Bài tồn đọng
Bài 13: Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} 2x+2y+xy=5\\ 27(x+y)+y^{3}+7=26x^{3}+27x^{2}+9x \end{matrix}\right.[/tex]
Bài 14: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y+xy=1\\ \sqrt{4xy-1}+\sqrt{2-4x^{2}y^{2}}=2 \end{matrix}\right.$
Bài 15: Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x^{2}+3x-y}=\sqrt{y^{2}+4x}+x+1\\4\sqrt{2x+1}+x+2=2y \end{matrix}\right.[/tex]
Bài 2: Giải phương trình sau:[tex]\sqrt[3]{x^{3}+5x^{2}}-1=\sqrt{\frac{5x^{2}-2}{6}}[/tex]
Bài 6: Giải phương trình sau [tex]\sqrt{3x^{2}-6x-6}=3\sqrt{(2-x)^{5}}+(7x-9)\sqrt{2-x}[/tex]
Bài 9: Giải phương trình sau [tex]\sqrt{x+1}+2(x+1)=x-1+\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x^{2}}[/tex]

 

[tex]\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}+x=2xy+3(1)\\ x+xy=4 (2)\end{matrix}\right.[/tex]
Xét pt (1) [tex]\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+x+1=2xy+4(*)[/tex]
Thay (2) vào (*) được
$x^{3}+y^{3}+x+1=2xy+x+xy$
$\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}+1-3xy.1=0$
$\Leftrightarrow (x+y+1)(x^{2}+y^{2}+1-xy-x-y)=0$
+) TH1: [tex]x+y+1=0\Leftrightarrow y=-1-x[/tex]
Thay vào (2) được [tex]x+x(-1-x)=4\Leftrightarrow -x^{2}=4[/tex]( vô lý)
+) TH2: $x^{2}+y^{2}+1-xy-x-y=0$
$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+1=xy+x+y$
Áp dụng BĐT phụ [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \left | ab \right |+\left | bc \right |+\left | ca \right |\geq ab+bc+ca[/tex] ta được
[tex]x^{2}+y^{2}+1\geq \left | xy \right |+\left | x \right |+\left | y \right |\geq xy+x+y[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1
Thay x=y=1 vào pt (2) được [tex]1+1.1=2\neq 4[/tex]
=> x=y=1 ko là nghiệm của hệ đã cho
Vậy hpt đã cho vô nghiệm

ĐKXĐ:...
Đặt [tex]\sqrt[3]{x^{3}+5x^{2}}=a; \sqrt{\frac{5x^{2}-2}{6}}=b(b\geq 0)[/tex]
Khi đó, ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} a-1=b\\ a^{3}-x^{3}=5x^{2} \\ 6b^{2}+2=5x^{2} \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=b\\ a^{3}-x^{3}=6b^{2}+2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=b\\ a^{3}-6(a-1)^{2}-2=x^{3} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=b\\ (a-2)^{3}=x^{3} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=b\\ a-2=x \end{matrix}\right.[/tex]
Xét a-2=x [tex]\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^{3}+5x^{2}}-2=x\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^{3}+5x^{2}}=x+2\Leftrightarrow x^{3}+5x^{2}=(x+2)^{3}\Leftrightarrow x^{2}+12x+8=0\Leftrightarrow (x+6)^{2}=28\Leftrightarrow[/tex]...

 

[tex]
Đk : $x\geq1$
Từ (1)=> $y>0$
Xét $y\geq \sqrt{2}$
$4\sqrt{x+1}=xy\sqrt{y^2+4}\geq 2x\sqrt{3}$
$=>x\leq2$
$3\sqrt{x-1}=xy^2-\sqrt{x^{2}-xy^{2}+1}\geq 2x-\sqrt{(x-1)^2}=x+1 $
$=>2\leq x\leq 5$
=> $x=2 <=> y= \sqrt{2}$
Tương tự xét tiếp TH.....[/tex]

 

BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 2: SỐ HỌC ( Phương trình nghiệm nguyên)
Bài 1: Chứng minh rằng phương trình [tex]x^{3}+y^{3}=(x+y)^{2}+(xy)^{2}[/tex] không có nghiệm nguyên dương
Bài 2: Một tam giác có số đo 3 cạnh là các số nguyên x,y,z thỏa mãn [tex]2x^{2}+3y^{2}+2z^{2}-4xy+2zx-20=0[/tex]. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên [tex]x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=8(x^{2}+xy+y^{2}+1)[/tex]
Bài 4: Chứng minh rằng không tồn tại bộ 3 số nguyên (x;y;z) thỏa mãn đẳng thức [tex]x^{4}+y^{4}=7z^{4}+5[/tex]
Xem thêm : [Lý thuyết]
___________________________________________________
Bài tồn đọng của chuyên đề 1:
Bài 18: Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} 2(x-1)y^{2}+x+y=4\\ (y-3)x^{2}+y=x+2 \end{matrix}\right.[/tex]
Bài 19: Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+4x+y^{3}+3=0\\ x^{2}y^{3} +y=2x \end{matrix}\right.[/tex]
Bài 13: Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} 2x+2y+xy=5\\ 27(x+y)+y^{3}+7=26x^{3}+27x^{2}+9x \end{matrix}\right.[/tex]
Bài 14: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y+xy=1\\ \sqrt{4xy-1}+\sqrt{2-4x^{2}y^{2}}=2 \end{matrix}\right.$
Bài 15: Giải hệ phương trình [tex]\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x^{2}+3x-y}=\sqrt{y^{2}+4x}+x+1\\4\sqrt{2x+1}+x+2=2y \end{matrix}\right.[/tex]
Bài 6: Giải phương trình sau [tex]\sqrt{3x^{2}-6x-6}=3\sqrt{(2-x)^{5}}+(7x-9)\sqrt{2-x}[/tex]
Bài 9: Giải phương trình sau [tex]\sqrt{x+1}+2(x+1)=x-1+\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x^{2}}[/tex]





[/QUOTE]

 

[tex]\left\{\begin{matrix} 2x+2y+xy=5 (1) \\ 27(x+y)+y^{3}+7=26x^{3}+27x^{2}+9x (2) \end{matrix}\right.[/tex]
[tex](1)\Leftrightarrow (x+2)(y+2)=9[/tex]
Thay vào (2) ta được
$3.(x+2)(y+2)(x+y)+y^{3}+7=26x^{3}+27x^{2}+9x$
$\Leftrightarrow x^{3}+3.(x+2)(y+2)(x+y)+y^{3}+8=27x^{3}+27x^{2}+9x+1 $
$\Leftrightarrow (x+y+2)^{3}=(3x+1)^{3}$
$\Leftrightarrow (x+y+2-3x-1)[(x+y+2)^{2}-(x+y+2)(3x+1)+(3x+1)^{2}]=0$
$\Leftrightarrow y-2x+1=0$
$\Leftrightarrow y=2x-1$
Thay vào (1)....

 

$x^{4}+y^{4}=7x^{4}+5$ $(1)$
$\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+z^{4} =8z^{4}+5$ $\Rightarrow$ Cả ba số đều lẻ hoặc một trong ba số là số lẻ $($do $8z^{4}+5$ là số lẻ$)$
$TH1$ $:$ Cả ba số đều lẻ $\Rightarrow$ $x^{4}+y^{4}+z^{4}$ chia $8$ dư $3$ $\Rightarrow$ Loại do mâu thuẫn với $8z^{4}+5$ chia $8$ dư $5$
$TH2$ $:$ Một trong ba số là số lẻ $\Rightarrow$ $x^{4}+y^{4}+z^{4}$ chia $8$ dư $1$ $\Rightarrow$ Loại do mâu thuẫn với $8z^{4}+5$ chia $8$ dư $5$
Vậy phương trình $(1)$ không tồn tại nghiệm nguyên $($đpcm$)$