Toán [Thảo Luận] Topic luyện thi Violympic

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Tớ viết nhầm sr mn
Đề đúng của nó là ntn
Bài toán 95:
Cho các số a,b,c,d thỏa mãn
[tex]\left\{\begin{matrix} a+b+c+d=7 & & \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=13& & \end{matrix}\right.[/tex]
Trung bình cộng các GTLN và GTNN là?
Giải
Giả sử a,b,c có vai trò như nhau và = 2 còn d =1
Suy ra ta có được trung bình cộng của GTLN và GTNN của biểu thức có dạng
[tex]\frac{a+b+c+d}{4}=\frac{7}{4}[/tex]
Vậy trung bình cộng các GTLN và GTNN là [tex]\frac{7}{4}[/tex]
Không biết có đúng không nếu sai mn góp ý cho tớ với nhá!

[tex]a^2=13-(b^2+b^2+d^2)\leq 13-\frac{(b+c+d)^2}{3}=13-\frac{(7-a)^2}{3} \\\Rightarrow a^2 \leq 13-\frac{(7-a)^2}{3}[/tex]
Tới đây bạn chuyển vế vế qua đưa về bpt bậc 2 rồi giải là ra nhé.Kiểu giả sử như bạn không chặt

 

[Viet Hung 99]

Nhắc nhở:
- Yêu cầu các bạn phải đăng bài theo đúng thứ tự
- Nghiêm cấm đăng bài bằng hình ảnh , chỉ được đăng bài bằng cách gõ $\LaTeX$
- Không spam , đăng bài viết không liên quan đến Topic

 

[Khánh Linh.]

Bài toán 103: Cho phương trình:

(

là tham số). Tập hợp các giá trị của

để phương trình có hai nghiệm

thỏa mãn

là {}.
(Nhập các phần tử theo giá trị tăng dần; ngăn cách nhau bởi dấu ";")
Bài toán 104:Tập hợp các giá trị nguyên của

để biểu thức

có giá trị hữu tỉ là .
(Nhập các phần tử theo giá trị tăng dần; ngăn cách nhau bởi dấu ";")

Ta có: A= [tex]a^{2} +a+3=\frac{4a^{2}+4a+12}{4}=\frac{4a^{2}+4a+1+11}{4}=\frac{(2a+1)^{2}+11}{4}[/tex]
$B= \sqrt{A}= \frac{1}{2}.\sqrt{(2a+1)^{2}+11}$

Để B có giá trị hữu tỉ,ta đặt: [tex](2a+1)^{2}+11= k^{2} \Rightarrow k^{2}-(2a+1)^{2}=11[/tex]

[tex]\Rightarrow \left | 2a+1 \right |=5\Rightarrow a=2[/tex] hoặc $a=-3$

 

[huonggiangnb2002]

Bài toán 109: Một đội công nhân xây dựng hoàn thành công trình với mức 420 ngày công thợ. Hãy tính số người của đội đó biết nếu đội vắng 5 người thì số ngày hoàn thành công việc sẽ tăng thêm 7 ngày?

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài toán 109:
Gọi số người của đội là $x(x\in N*)$
Thời gian làm theo kế hoạch là $\dfrac{420}{x}$ (ngày )
Số người lúc sau là $x-5$ (người )
Thời gian hoàn thành lúc sau là $\dfrac{420}{x-5}$ (ngày )
Vì thời gian tăng 7 ngày nên ta có pt:
[tex]\dfrac{420}{x}=\dfrac{420}{x-5}-7\\\Rightarrow 420(x-5)=420x-7x(x-5)\\\Leftrightarrow 420x-2100=420x-7x^{2}+35x\\\Leftrightarrow 7x^{2}-35x-2100=0\\\Leftrightarrow x^{2}-5x-300=0 \\\Leftrightarrow (x-20)(x+15)=0\\\Rightarrow x=20(vì \ x>0)\\Vậy...[/tex]

 

[~♥明♥天♥~]

Bài toán 110:

Bài toán 111:

 

[Kasparov]

Bài toán 110:

Bài toán 111:

Bài toán 111:

gọi CD và CR của hình chữ nhật lần lượt là a, b (a,b thuộc N*; a>b)
Theo bài ra ta có: 2(a+b)=ab
=> ab-2a-2b=0
=>a(b-2)-2(b-2)=4
=>(a-2)(b-2)=4
=>(a-2);(b-2) thuộc ước 4
Lập bảng giá trị ta tìm được
a=6,b=3
=> độ dài đường chéo của hình chữ nhật là [tex]3\sqrt{5}[/tex]
=> bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là [tex]\frac{3\sqrt{5}}{2}[/tex]

Bài làm của @~♥明♥天♥~

 

[huonggiangnb2002]

Bài toán 110:

Bài toán 111:

Bài toán 110:
Chia 2 vế của pt cho [tex]x^2[/tex] ta được:
[tex](x^2 +\frac{1}{x^2}) +a(x+\frac{1}{x}) +b =0[/tex] (1)
Đặt [tex]x+ \frac{1}{x}= t[/tex] với [tex]|t| \geq 2[/tex]
=> [tex]x^2+ \frac{1}{x^2} = t^{2} -2[/tex]
Khi đó (1) trở thành:
[tex]t^2+at+b-2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2-t^2=at+b[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (2-t^2)^2 = ( at +b)^2 \leq (a^2+b^2)(t^2+1)[/tex] ( BĐT Bunhia Copxki )
[tex]\Leftrightarrow a^2+b^2\geq \frac{(2-t^2)^2}{1+t^2 } \geq \frac{4}{5}[/tex]
Do đó GTNN của a^2 + b^2 là 4/5. Dấu = xảy ra khi t=2 hoặc t= -2
Với t = -2 => -2a +b +2 =0 => a=0,8 ( TM)
Với t = 2 => a = -0,8 ( Loại do a>0)
Vậy a = 0,8 là giá trị cần tìm

 

[Conan Nguyễn]

Bài 112 : Số tự nhiên có hai chữ số

thỏa mãn

là

 

[Viet Hung 99]

Bài 112 : Số tự nhiên có hai chữ số $\overline {xy} $ thỏa mãn $\overline {xy}^2=(x+y)^3$ là

Từ giả thiết ta có: $\overline {xy}$ là số lập phương
mà $\overline {xy}$ là số có 2 chữ số
$\Longrightarrow \overline {xy} \in \begin{Bmatrix} 27;64 \end{Bmatrix}$
Thay vào phương trình đã cho , ta thấy chỉ $\overline {xy}=27$ thỏa mãn.

 

[phuong_dongquan]

Bài 113:
số dư trong phép chia [tex]10^{10}+10^{10^{2}}+10^{10^{3}}+...+10^{10^{2015}}[/tex] cho 7 là...............

 

[Kasparov]

Bài 113:
số dư trong phép chia [tex]10^{10}+10^{10^{2}}+10^{10^{3}}+...+10^{10^{2015}}[/tex] cho 7 là...............

Ta có [tex]10^{10}[/tex] có chữ số tận cùng là [tex]\overline{......0}[/tex]
Mặt khác [tex]10^{10^{2}}[/tex],[tex]10^{10^{3}}[/tex] và [tex]10^{10^{2015}}[/tex]
đều có chữ số tận cùng là [tex]\overline{......0}[/tex]
Suy ra [tex]10^{10}+10^{10^{2}}+10^{10^{3}}+....10^{10^{2015}}[/tex] có
tống các chữ số tận cùng bằng [tex]\overline{......0}[/tex]
Vậy số dư trong [tex]10^{10}+10^{10^{2}}+10^{10^{3}}+....10^{10^{2015}}[/tex] chia cho 7 là 3

 

[phuong_dongquan]

Ta có [tex]10^{10}[/tex] có chữ số tận cùng là [tex]\overline{......0}[/tex]
Mặt khác [tex]10^{10^{2}}[/tex],[tex]10^{10^{3}}[/tex] và [tex]10^{10^{2015}}[/tex]
đều có chữ số tận cùng là [tex]\overline{......0}[/tex]
Suy ra [tex]10^{10}+10^{10^{2}}+10^{10^{3}}+....10^{10^{2015}}[/tex] có
tống các chữ số tận cùng bằng [tex]\overline{......0}[/tex]
Vậy số dư trong [tex]10^{10}+10^{10^{2}}+10^{10^{3}}+....10^{10^{2015}}[/tex] chia cho 7 là 3

hình như bn làm nhầm rồi. Số tận cùng là 0 chia 7 chưa chắc dư 3. Vd 20 chia 7 dư 6

 

[anhy2008]

Bài toán 19:
Không biết đúng hay sai
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông: [tex]\frac{c}{2}[/tex]
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông : [tex]\frac{ab}{a+b+c}[/tex]

Vì số đo góc nhọn là 30 độ => b= [tex]\frac{c}{2}[/tex]
Tính cạnh còn lại theo c
Mấy bước sau bn tự làm ha

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex

cho mik hỏi vì sao góc 30 độ lại suy ra dc b= c/2

 

[hoangnga2709]

Bài toán 114: Tìm GTLN của:
D=[tex]\frac{2x+1}{x^2+2}[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Bài toán 114: Tìm GTLN của:
D=[tex]\frac{2x+1}{x^2+2}[/tex]

Bài toán 114:
[tex]D=\dfrac{2x+1}{x^2+2}=\dfrac{x^2+2-x^2+2x-1}{x^2+2}\\=\dfrac{x^2+2-(x^2-2x+1)}{x^2+2}=1-\dfrac{(x-1)^2}{x^2+2}\leq 1\Leftrightarrow x=1\\Vậy...[/tex]

 

[~♥明♥天♥~]

cho mik hỏi vì sao góc 30 độ lại suy ra dc b= c/2

Theo định lý về cạnh đối diện với góc 30
[tex]^{o}[/tex] thì cạng đối diện với góc 30
[tex]^{o}[/tex]
thì có số đo bằng nửa cạnh huyền !!

 

[sieuquay127]

Bài 113:
số dư trong phép chia [tex]10^{10}+10^{10^{2}}+10^{10^{3}}+...+10^{10^{2015}}[/tex] cho 7 là...............

Cái này mk cũng không chắc lắm
[tex]10^{5}\equiv 5 (mod 7)\Rightarrow 10^{10}=(10^{5})^{2}\equiv 5^{2}\equiv 4 (mod 7)[/tex]
Nên [tex]A=10^{10}+10^{10^{2}}+10^{10^{3}}+...+10^{10^{2015}} \equiv 4+4^{2}+4^{3}+...+4^{2015}[/tex]
Mà [tex]4\equiv 4 (mod7);4^{2}\equiv 2(mod7);4^{3}\equiv 1(mod7);4^{4}\equiv 4(mod7);4^{5}\equiv 2(mod7);4^{6}\equiv 1 (mod7)...4^{2015}\equiv 2(mod7)[/tex]
Cái này mk ko chứng minh được ai đó giúp với
Suy ra [tex]A\equiv (4+2+1)+(4+2+1)+...+(4+2+1)+(4+2)\equiv 6 (mod 7)[/tex]

 

[Khánh Linh.]

cho mik hỏi vì sao góc 30 độ lại suy ra dc b= c/2

Trong tam giác vuông,cạnh đối diện với góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền

 

[phuong_dongquan]

Cái này mk cũng không chắc lắm
[tex]10^{5}\equiv 5 (mod 7)\Rightarrow 10^{10}=(10^{5})^{2}\equiv 5^{2}\equiv 4 (mod 7)[/tex]
Nên [tex]A=10^{10}+10^{10^{2}}+10^{10^{3}}+...+10^{10^{2015}} \equiv 4+4^{2}+4^{3}+...+4^{2015}[/tex]
Mà [tex]4\equiv 4 (mod7);4^{2}\equiv 2(mod7);4^{3}\equiv 1(mod7);4^{4}\equiv 4(mod7);4^{5}\equiv 2(mod7);4^{6}\equiv 1 (mod7)...4^{2015}\equiv 2(mod7)[/tex]
Cái này mk ko chứng minh được ai đó giúp với
Suy ra [tex]A\equiv (4+2+1)+(4+2+1)+...+(4+2+1)+(4+2)\equiv 6 (mod 7)[/tex]

bài này bằng 3 nha bn