Toán [Thảo Luận] Topic luyện thi Violympic

Viet Hung 99

Học sinh tiến bộ
Thành viên
4 Tháng sáu 2013
107
265
171
20
$\textbf{Quảng Trị}$
Quảng Trị
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

TOPIC LUYỆN THI VIOLYMPIC


Cuộc thi Violympic cấp huyện, tỉnh cũng sắp đến. Mình xin mở topic này để các thành viên HMForum cùng đưa ra các câu hỏi , thảo luận , trao đổi , hỏi đáp quay quanh những câu hỏi trong Violympic.
Mong topic này có thể đóng góp một phần cho điểm số của bạn trong kì thi sắp tới.


Đây cũng được coi là 1 cuộc thi nha các bạn :D
Những bạn đóng góp những lời giải hay sẽ cộng điểm (1 bài toán tương ứng + 1 điểm)
Điểm số của các thành viên sẽ được cộng lại và xếp hạng theo bảng sau:

upload_2017-3-1_18-56-30.png
Nội quy:
- Khi đăng câu hỏi tiêu đề " Bài Toán " phải được in đậm
- Đăng câu hỏi đúng số thứ tự
- Lời giải phải được đánh trực tiếp của phần trả lời, không được chụp ảnh rồi đăng lên hoặc lấy ảnh từ nơi khác

- Khi giải bài thì lời giải phải đầy đủ , không giải qua loa
- Khi giải Bài Toán về Hình Học cần phải vẽ hình
- Yêu cầu phải sử dụng $\LaTeX$ trong bài giải để cho các bạn khác dễ nhìn
- Không trích bài giải từ nơi khác
- Tuân thủ nội quy của Diễn Đàn

Đầu tiên mình mở đầu topic với một số bài toán do mình tổng hợp trên Diễn Đàn để chúng ta cùng thảo luận :)

Bài Toán 1:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $21ab + 2bc + 8ac \leq 12$
Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex]A=\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c}[/tex]
Bài Toán 2: Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $D$ sao cho $2DB$ bằng $CD$. So sánh $\widehat{BAD}$ và $\dfrac{1}{2}\widehat{DAC}$
Bài Toán 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $A = x\sqrt{9-x^2}$
Bài Toán 4: So sánh 2 biểu thức sau: [tex]\dfrac{2015}{\sqrt{2016}}+\dfrac{2016}{\sqrt{2015}}[/tex] và [tex]\sqrt{2015}+\sqrt{2016}[/tex]
Bài Toán 5: Tìm $x$ để biểu thức $\dfrac{x-3}{\sqrt{x-1} - \sqrt2}$ đạt giá trị nhỏ nhất
Bài Toán 6: Cho các hình chữ nhật có đường chéo là[tex]8\sqrt{2}[/tex] .Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất ?
Bài Toán 7: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số $\dfrac{1}{n+3};\dfrac{2}{n+4};\dfrac{3}{n+5};...;\dfrac{2001}{n+2003};\dfrac{2002}{n+2004}$ đều tối giản
Bài Toán 8: Cho $x,y,z \neq 0$ và $x-y-z=0$. Tính giá trị của biểu thức : $A=\left ( 1-\dfrac{x}{y} \right )\left ( 1+\dfrac{y}{z} \right )\left ( 1-\dfrac{z}{x} \right )$
 
Last edited:

Trafalgar D Law

Học sinh tiến bộ
Thành viên
25 Tháng bảy 2016
441
1,381
236
Ninh Bình
Bài toán 6 :
Gọi 2 cạnh của hình chữ nhật là a và b (a,b>0)
Áp dụng định lý Py-ta-go ta có
[tex]a^{2}+b^{2}=128[/tex]
Diện tích của hình chữ nhật là ab
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
[tex]a^{2}+b^{2}\geq 2ab\Leftrightarrow ab\leq 64[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a=b=8
Vậy hình chữ nhật đó là hình vuông và có cạnh là 8

Thêm chút luật đi: không trích dẫn link lời giải từ chỗ khác trừ đó là bài mình đã trình bày :)

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex
 
Last edited by a moderator:

Thoòng Quốc An

Tôi yêu Hóa học | Mùa hè Hóa học
Thành viên
30 Tháng sáu 2014
969
1,264
251
Du học sinh
YALE UNIVERSITY
Bài toán 1
Đặt $\left\{\begin{matrix}a=\frac{1}{3x} & & \\ b=\frac{4}{5y} & & \\c=\frac{3}{2z} \end{matrix}\right.$ ( x,y,z >0 )
Khi đó điều kiện đã cho trở thành: $3x + 5y + 7z \le 15xyz$
Áp dụng AM - GM, ta có:
$3x+5y+7z\geq 15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}$
$=>15xyz\geq 15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}=>x^6y^5z^4\geq 1.$
Ta có:
$P = 3x + 2.\dfrac{5}{4}y + 3.\dfrac{2}{3}z = \dfrac{1}{2}(6x + 5y + 4z) \ge \dfrac{1}{2}.15\sqrt[{15}]{{{x^6}{y^5}{z^4}}} \ge \dfrac{{15}}{2}$ AM-GM
Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z=1 hay $a=\frac{1}{3};b=\frac{4}{5};c=\frac{3}{2}$

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex
 
Last edited by a moderator:

Trafalgar D Law

Học sinh tiến bộ
Thành viên
25 Tháng bảy 2016
441
1,381
236
Ninh Bình
Bài toán 8:
[tex]x-y-z=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=y+z \\ y=x-z \\ z=x-y \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]A=(1-\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1-\frac{z}{x})=\frac{y-x}{y}.\frac{y+z}{z}.\frac{x-z}{x}=\frac{x-z-x}{y}.\frac{x}{z}.\frac{y+z-z}{x}=-1[/tex]

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex
 
Last edited by a moderator:

Trafalgar D Law

Học sinh tiến bộ
Thành viên
25 Tháng bảy 2016
441
1,381
236
Ninh Bình
Bài toán 3:
ĐKXĐ:[tex]-3\leq x\leq 3[/tex]
Để x đạt Max thì x sẽ phải nhận giá trị dương (lý luận kiểu này có được không?)
=> [tex]0<x\leq 3[/tex]
[tex]A=x\sqrt{9-x^{2}}=\sqrt{x^{2}}.\sqrt{9-x^{2}}=\sqrt{x^{2}(9-x^{2})}[/tex]
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
[tex]9=x^{2}+9-x^{2}\geq 2\sqrt{x^{2}(9-x^{2})}\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}(9-x^{2})}\leq \frac{9}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi
[tex]x^{2}=9-x^{2}\Leftrightarrow x^{2}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow x=\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex]

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex
 
Last edited by a moderator:

Thoòng Quốc An

Tôi yêu Hóa học | Mùa hè Hóa học
Thành viên
30 Tháng sáu 2014
969
1,264
251
Du học sinh
YALE UNIVERSITY
Bài toán 7
Ta thấy các phân số có dạng sau:
[tex]\frac{1}{n+2+1};\frac{2}{n+2+2};\frac{3}{n+2+3}; ... ; \frac{2001}{n+2+2001};\frac{2002}{n+2+2002}[/tex]
Dạng tổng quát:
[tex]\frac{a}{n+2+a}[/tex]
Để các phân số tối giản thì thì a và n+2 phải nguyên tố cùng nhau
=> n+2 phải nhỏ nhất là số nguyên tố cùng nhau 1;2;3;...;2001;2002
=> n+2 phải là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 2002
=> n + 2 = 2003
=> n = 2001
Vậy n = 2001 để các phân số $\dfrac{1}{n+3};\dfrac{2}{n+4};\dfrac{3}{n+5};...;\dfrac{2001}{n+2003};\dfrac{2002}{n+2004}$ đều tối giản

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex
 
Last edited by a moderator:

Trafalgar D Law

Học sinh tiến bộ
Thành viên
25 Tháng bảy 2016
441
1,381
236
Ninh Bình
Bài toán 4:
[tex]\frac{2015}{\sqrt{2016}}+\frac{2016}{\sqrt{2015}}=\frac{\sqrt{2015^{3}}+\sqrt{2016^{3}}}{\sqrt{2015.2016}}[/tex]
[tex]=(\sqrt{2015}+\sqrt{2016}).\frac{2015-\sqrt{2015.2016}+2016}{\sqrt{2015.2016}}[/tex]
Ta xét
[tex]\frac{2015-\sqrt{2015.2016}+2016}{\sqrt{2015.2016}}-1=\frac{2015-2\sqrt{2015.2016}+2016}{\sqrt{2015.2016}}[/tex]
[tex]=\frac{(\sqrt{2015}-\sqrt{2016})^{2}}{\sqrt{2015.2016}}> 0\Rightarrow \frac{2015-\sqrt{2015.2016}+2016}{\sqrt{2015.2016}}> 1[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{2015}{\sqrt{2016}}+\frac{2016}{\sqrt{2015}}> \sqrt{2015}+\sqrt{2016}[/tex]

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex
 
Last edited by a moderator:

Phan Đặng Quốc Huy

Học sinh tiến bộ
Thành viên
27 Tháng hai 2017
441
385
169
19
Gia Lai
THCS Trần Phú
Bài Toán 9: Nếu $xy=3;xz=4$ và $yz=6$. Tính giá trị của biểu thức $A=x^2+y^2+z^2$
 
Last edited by a moderator:
  • Like
Reactions: Hy Nhiên

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT tích cực 2017
28 Tháng hai 2017
4,472
5,490
779
Hà Nội
THPT Đồng Quan
Bài Toán 9:
[tex]xy=3,xz=4,yz=6\Rightarrow (xyz)^{2}=72\Rightarrow xyz=\sqrt{72}\\ \Rightarrow x=\frac{\sqrt{72}}{6};y=\frac{\sqrt{72}}{4};z=\frac{\sqrt{72}}{3}\\\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=\left ( \frac{\sqrt{72}}{6} \right )^{2}+\left ( \frac{\sqrt{72}}{4} \right )^{2}+\left ( \frac{\sqrt{72}}{3} \right )^{2}=\frac{29}{2}=14,5[/tex]

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex
 
Last edited by a moderator:

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT tích cực 2017
28 Tháng hai 2017
4,472
5,490
779
Hà Nội
THPT Đồng Quan
Bài Toán 10:
[tex]P=\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}=\frac{1}{x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+1}[/tex]

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương [tex]x^{2}[/tex] và [tex]\frac{1}{x^{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\geq 2\sqrt{x^{2}.\frac{1}{x^{2}}}=2\\ \Rightarrow P=\frac{1}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+1}\geq \frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}[/tex]
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=2\\ \Leftrightarrow x^{4}+1=2x^{2}\\ \Leftrightarrow x^{4}+1-2x^{2}=0\\ \Leftrightarrow (x^{2}-1)^{2}=0\\ \Leftrightarrow (x+1)(x-1)=0\\ \Leftrightarrow \begin{cases}x+1=0\Leftrightarrow x=-1\\x-1=0\Leftrightarrow x=1 \end{cases}\\ \Rightarrow Max \ P=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=\pm1[/tex]

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex
 
Last edited by a moderator:

batman1907

Học sinh chăm học
Thành viên
1 Tháng ba 2017
62
134
130
22
TOPIC LUYỆN THI VIOLYMPIC

Đầu tiên mình mở đầu topic với một số bài toán do mình tổng hợp trên Diễn Đàn để chúng ta cùng thảo luận :)

Bài Toán 1:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $21ab + 2bc + 8ac \leq 12$
Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex]A=\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c}[/tex]
Đặt $(a;b;c)\rightarrow \left ( \dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z} \right )$
Từ giả thiết$\Rightarrow 2x+8y+21z\leq 12xyz$
$\Leftrightarrow 3z\geq \dfrac{2x+8y}{4xy-7}$
$\Rightarrow A\geq x+2y+\dfrac{2x+8y}{4xy-7}=x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{1}{2x}\left [ (4xy-7)+\dfrac{4x^{2}+28}{4xy-7} \right ]\geq x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{1}{x}\sqrt{4x^{2}+28}$
$=x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{3}{2}\sqrt{\left ( 1+\dfrac{7}{9} \right )\left ( 1+\dfrac{7}{x^{2}} \right )}\geq x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{3}{2}\left ( 1+\dfrac{7}{3x} \right )=x+\dfrac{9}{x}+\dfrac{3}{2}\geq 2\sqrt{9}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{2}$
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=3,y=\dfrac{5}{4},z=\dfrac{2}{3}\Rightarrow a=\dfrac{1}{3},b=\dfrac{4}{5},c=\dfrac{3}{2}$

P/s: Khuyến khích các bạn đưa ra nhiều lời giải cho một bài toán...

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex

 
Last edited by a moderator:

Đoàn Hoàng Lâm

Học sinh tiến bộ
Thành viên
27 Tháng hai 2017
644
354
176
20
Bài toán 11
Với
=? thì phương trình
có hai nghiệm

thỏa mãn:

Bài toán 12
Giá trị lớn nhất của biểu thức
là ?
(Nhập kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Bài toán 13
Một hình trụ có diện tích xung quanh là
và thể tích là

Bán kính đáy của hình trụ này là
= ?

Bài toán 14
Giao điểm của parabol
và đồ thị hàm số
nằm ở góc phần tư thứ hai có hoành độ là ?
Bài toán 15
Hai tổ cùng làm chung một công việc trong 12 giờ thì xong. Nhưng hai tổ cùng làm trong 4 giờ thì tổ I đi làm việc khác, tổ II làm nốt trong 10 giờ mới xong việc. Nếu làm riêng thì tổ II mất bao nhiêu giờ sẽ xong việc.
 
Last edited by a moderator:

Nữ Thần Mặt Trăng

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT tích cực 2017
28 Tháng hai 2017
4,472
5,490
779
Hà Nội
THPT Đồng Quan
Bài toán 15:
Gọi số t/g mà tổ II làm một mình xong công việc là x(giờ)(x>12)
=>Trong 1 h tổ II làm được: [tex]\frac{1}{x}[/tex] (công việc)
Trong 1 h hai tổ làm được: [tex]\frac{1}{12}[/tex] (công việc)
Do hai tổ cùng làm trong 4 giờ thì tổ I đi làm việc khác, tổ II làm nốt trong 10 giờ mới xong việc nên ta có pt:
[tex]4.\frac{1}{12}+10.\frac{1}{x}=1\\ \Leftrightarrow \frac{10}{x}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=15[/tex]
Vậy nếu làm riêng thì tổ II mất 15 giờ sẽ xong công việc

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex
 
Last edited by a moderator:

Trafalgar D Law

Học sinh tiến bộ
Thành viên
25 Tháng bảy 2016
441
1,381
236
Ninh Bình
Bài toán 12
ĐKXĐ:[tex]10\leq x\leq 14[/tex]
[tex]S=\sqrt{x-10}+\sqrt{14-x}\Leftrightarrow S^{2}=4+2\sqrt{(x-10)(14-x)}=4+2\sqrt{-x^{2}+24x-140}=4+2\sqrt{4-(x^{2}-24x+144)}[/tex]
[tex]=4+2\sqrt{4-(x-12)^{2}}[/tex]
Vì [tex](x-12)^{2}\geq 0\Rightarrow 4+2\sqrt{4-(x-12)^{2}}\leq 4+2\sqrt{4}=8[/tex]
[tex]\Rightarrow S^{2}\leq 8\Rightarrow S\leq 2\sqrt{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi x=12(TMĐK)
KL:...............

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex
 
Last edited by a moderator:

Trafalgar D Law

Học sinh tiến bộ
Thành viên
25 Tháng bảy 2016
441
1,381
236
Ninh Bình
Bài toán 11
[tex]\Delta =25-8m+8=33-8m[/tex]
Để phương trình có 2 nghiệm thì
[tex]33-8m\geq 0\Leftrightarrow m\leq \frac{33}{8}[/tex] (vì không nói 2 nghiệm phân biệt nên lấy dấu "=" cũng được)
Theo định lý Viete
[tex]x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=5[/tex]
Ta có
[tex]2x_{1}-5x_{2}=-4\Leftrightarrow 2x_{1}+2x_{2}-7x_{2}=-4\Leftrightarrow 10-7x_{2}=-4\Leftrightarrow x_{2}=2[/tex]
Thay vào phương trình ban đầu ta có
[tex]2^{2}-5.2+2m-2=0\Leftrightarrow m=4[/tex]
Ok xong :)

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex
 
Last edited by a moderator:

Sally Klein

Học sinh chăm học
Thành viên
20 Tháng hai 2016
67
32
106
...Sao Hỏa...
Bài Toán 14:
phương trình hoành độ giao điểm: [tex]x^{4}-2x^{2}+1=0\Leftrightarrow \left ( x^{2} -1\right )^{2}=0\Leftrightarrow x^{2}=1\Leftrightarrow x=\pm 1[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] Giao điểm của parabol
và đồ thị hàm số
nằm ở góc phần tư thứ hai có hoành độ là -1
(Giao điểm của parabol
và đồ thị hàm số
có hoành x = 1 nằm ở góc phần tư thứ nhất)

+1 điểm
Duyệt bởi @inderindex
 
Last edited by a moderator:

thanhbinh221

Học sinh tiến bộ
Thành viên
28 Tháng hai 2017
117
92
164
21
Sơn La
bài toán 16 : Tập hợp các số nguyên $n$ để $n^4 +3n^3 +9n^2 +13n+6$ là số chính phương
 
Last edited by a moderator:

Thoòng Quốc An

Tôi yêu Hóa học | Mùa hè Hóa học
Thành viên
30 Tháng sáu 2014
969
1,264
251
Du học sinh
YALE UNIVERSITY
Bài Toán 17 :
Tọa độ điểm cố định mà đường thẳng $y=(m-2)x+m-3$ luôn đi qua với mọi m là $(x_0;y_0)$.Khi đó $x_0+y_0=...$

Bài 18: Như hình

violympic.png
 
Last edited by a moderator:
  • Like
Reactions: Hy Nhiên
Top Bottom