Toán 9 Tân phương trình và hệ phương trình

[viet_tranmaininh]

Bài 1:
Tìm tất cả các số nguyên khô ng âm x,y sao cho:
[TEX](y+1)^4 +y^4=(x+1)^2 +x^2 [/TEX]
Bài 2:Cho pt:
[TEX]m\sqrt{x^6+1}=3(x^4+2)[/TEX]
Tìm m để pt có đúng 2 nghiệm.
Bài 3: Giải pt:
[TEX]x^4 +(x-1)(x^2-2x+2)=0[/TEX]

 

[bboy114crew]

Bài 1:
Tìm tất cả các số nguyên khô ng âm x,y sao cho:
[TEX](y+1)^4 +y^4=(x+1)^2 +x^2 [/TEX]

làm bài dễ trước :
[TEX](y+1)^4 +y^4=(x+1)^2 +x^2 [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow (y^2+y+1)^2=x^2+x+1 [/TEX]
vì [TEX]x \geq 0[/TEX]nên [TEX]x^2 < x^2+x+1 \leq (x+1)^2 \Rightarrow x^2+x+1=(x+1)^2 \Leftrightarrow x=0 \Rightarrow y=0[/TEX]

 

[khanh_ndd]

Bài 2:Cho pt:
[TEX]m\sqrt{x^6+1}=3(x^4+2)[/TEX]
Tìm m để pt có đúng 2 nghiệm.
Bài 3: Giải pt:
[TEX]x^4 +(x-1)(x^2-2x+2)=0[/TEX][/SIZE][/FONT]

2, Áp dụng AM-GM [TEX]6\sqrt{x^6+1}\leq 3(x^4+2)[/TEX] dấu = xảy ra khi [TEX]\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^4-x^2+1}\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0 \\ x=\sqrt{2}\end{matrix} \Rightarrow [/TEX] pt có đúng 2 nghiệm khi m=6
3,[TEX]x^4 +(x-1)(x^2-2x+2)=0 \Leftrightarrow (x^2+2x-2)(x^2-x+1)=0[/TEX]:khi::khi::khi:

 

[bboy114crew]

Thân tặng tất cả mọi người !(nhân dịp tui lên làm mod)
Giải các phương trình sau:
1)[tex]\left\{ \begin{array}{l}1 - \frac{{12}}{{y + 3x}} = \frac{2}{{\sqrt x }}\\1 + \frac{{12}}{{y + 3x}} = \frac{6}{{\sqrt y }}\end{array} \right.[/tex]

2)[tex]\left\{ \begin{array}{l}3{x^3} - {y^3} = \frac{1}{{x + y}}\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right.[/tex]

3)[tex]\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 4y = {y^3} + 16x\\{y^2} + 1 = 5\left( {{x^2} + 1} \right)\end{array} \right.[/tex]

4)[tex]\left\{ \begin{array}{l}{\left( {xy + 1} \right)^3} = 2{y^3}\left( {9 - 5xy} \right)\\xy\left( {5y - 1} \right) = 1 + 3y\end{array} \right.[/tex]

5)[tex]\left\{ \begin{array}{l}{x^6} - {y^3} + {x^2} - 9{y^2} - 30 = 28y\\\sqrt {2x + 3} + x = y\end{array} \right.[/tex]

6)[tex]\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {3 + 2{x^2} - {x^4}{y^2}} + {x^2}\left( {1 - 2{x^2}} \right) = {y^4}\\1 + \sqrt {1 + {{\left( {x + y} \right)}^4}} = - {x^2}\left( {{x^4} + 1 - 2{x^2} - 2x{y^2}} \right)\end{array} \right.[/tex]

7)[tex]\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {7{x^2} - xy - 1} = 2xy - 1\\y\sqrt {1 - 3{x^2}} = 2x\end{array} \right.[/tex]

8)[tex]\left\{ \begin{array}{l}y\left( {1 + 2{x^3}y} \right) = 3{x^6}\\1 + 4{x^6}{y^2} = 5{x^6}\end{array} \right.[/tex]

 

[0915549009]

[TEX]\left{\begin{x+|y-2|=2}\\{2x-y=m}[/TEX]
Tìm m để hệ PT vô nghiệm )

 

[0915549009]

1)[tex]\left\{ \begin{array}{l}1 - \frac{{12}}{{y + 3x}} = \frac{2}{{\sqrt x }}\\1 + \frac{{12}}{{y + 3x}} = \frac{6}{{\sqrt y }}\end{array} \right.[/tex]

[TEX](1)+(2) \Rightarrow 1= \frac{1}{\sqrt x } + \frac{3}{\sqrt{y}} \Rightarrow (1-\frac{1}{\sqrt{x}})^2=\frac{9}{y} \Rightarrow y=\frac{9x}{(\sqrt{x}-1)^2}[/TEX]
Thay vào (1) là ok

Tìm a để phương trình sau có nghiệm với mọi b:
[TEX]\tex{ \Huge \left{\begin{a(x^2 +y^2) +x + y =b\\ y- x =b[/TEX]

Mình thay vào thì đc: [TEX]a(b^2+2bx+2x^2)+2x=0[/TEX]
Đến đây thì biện luận ntn đc :-??

 

[01263812493]

2)[tex]\left\{ \begin{array}{l}3{x^3} - {y^3} = \frac{1}{{x + y}}(1)\\{x^2} + {y^2} = 1(2)\end{array} \right.[/tex]

[TEX]\blue (1)+(2) \Rightarrow (3x^3-y^3)(x+y)=(x^2+y^2)^2[/TEX]
[TEX]\blue \leftrightarrow (x-y)(2x+2y+3x^2y+3xy^2)=0[/TEX]
[TEX]\blue \rightarrow \left{x=y\\2x+2y+3x^2y+3xy^2=0 [/TEX]

Làm dc tới đâu post tới đó )

 

[ohmymath]

[TEX]\left{\begin{x+|y-2|=2}\\{2x-y=m}[/TEX]
Tìm m để hệ PT vô nghiệm )

Cái này chia trường hợp rùi giải ra so sánh vs đk của y cho từng trường hợp là ra đk của m luôn!!!
Giải chi tiết nè
*; Với y[TEX]\geq[/TEX]2 thì hệ tương đương với:
[TEX]\left{\begin{x+y=4}\\{2x-y=m}[/TEX]
Giải pt trên bằng cộng đại số để triệt ẩn x ta được:
3y=8 - m
Mà y [TEX]\geq[/TEX] 2 nên để pt có nghiệm thì 8 - m [TEX]\geq[/TEX] 6 khi m[TEX]\leq[/TEX] 2
Vậy để hệ vô nghiệm thì m[TEX]\geq[/TEX]2
*; Với y <2 ta làm tương tự
Đến đây tổng hợp cả 2 cái lại là đươc

 

[viet_tranmaininh]

Hô Hố.
Cho p là số nguyên tố , n là số dương ( tự nhiên). Tìm các số tự nhiên x,y t/m:
[TEX]x(x +1)=p^{2n}y(y +1)[/TEX]

 

[bananamiss]

3)[tex]\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 4y = {y^3} + 16x\\{y^2} + 1 = 5\left( {{x^2} + 1} \right)\end{array} \right.[/tex]

đây nè

[TEX] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x({x^2} - 16) = y({y^2} - 4) \\ {y^2} - 4 = 5{x^2} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x({x^2} - 16) = 5{x^2}y{\rm{ }} \\ {y^2} - 4 = 5{x^2}{\rm{ }} \\ \end{array} \right.[/TEX].....................

pt 1: [TEX]\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ {x^2} - 16 = 5xy{\rm{ }} \\ \end{array} \right.[/TEX]

[TEX]y = \frac{{{x^2} - 16}}{{5x}}[/TEX] thay vào pt 2 ra bậc 4 trùng phương ngh đẹp

spam tí

.......................................................................................

 

[01263812493]

[TEX]\blue Let \ x,y,z>0. Find \ x,y,z:[/TEX]
[TEX]\blue \left{x^2+y^2+z^2=4\sqrt{xyz}\\x+y+z=2\sqrt{xyz}[/TEX]

 

[ohmymath]

[TEX]\blue Let \ x,y,z>0. Find \ x,y,z:[/TEX]
[TEX]\blue \left{x^2+y^2+z^2=4\sqrt{xyz}\\x+y+z=2\sqrt{xyz}[/TEX]

Bài này cũng ko khó lắm!!
ta cộng vế vs vế của 2 phương trình được:
[TEX]x^2+y^2+z^2+x+y+z =6\sqrt{xyz}[/TEX] (*)
Vì x;y;z dương nên ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 6 số dương
~> [TEX]\sum x^2+\sum x\geq 6\sqrt[6]{x^3y^3z^3}=6 \sqrt{xyz}[/TEX]
Dấu bằng khi x=y=z=1

Mà dấu bằng xảy ra do (*)!!!!
~>x=y=z=1

Tuy vậy khi ta thử x=y=z=1 vào phương trình thì ko thỏa mãn!!~> x=y=z=1 là nghiệm ngoại lai

Vậy phương trình vô nghiệm@@@ (mình ghét vô nghiệm()

Nếu cho có thể =0 thì hệ có 1 nghiệm là x=y=z=0!!! Thế này hay hơn :-?

 

[bboy114crew]

[TEX]\blue Let \ x,y,z>0. Find \ x,y,z:[/TEX]
[TEX]\blue \left{x^2+y^2+z^2=4\sqrt{xyz}\\x+y+z=2\sqrt{xyz}[/TEX]

Bài này cũng ko khó lắm!!
ta cộng vế vs vế của 2 phương trình được:
[TEX]x^2+y^2+z^2+x+y+z =6\sqrt{xyz}[/TEX] (*)
Vì x;y;z dương nên ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 6 số dương
~> [TEX]\sum x^2+\sum x\geq 6\sqrt[6]{x^3y^3z^3}=6 \sqrt{xyz}[/TEX]
Dấu bằng khi x=y=z=1

Mà dấu bằng xảy ra do (*)!!!!
~>x=y=z=1

Tuy vậy khi ta thử x=y=z=1 vào phương trình thì ko thỏa mãn!!~> x=y=z=1 là nghiệm ngoại lai

Vậy phương trình vô nghiệm@@@ (mình ghét vô nghiệm()

Nếu cho có thể =0 thì hệ có 1 nghiệm là x=y=z=0!!! Thế này hay hơn :-?

cách 2:
ta có:
[TEX]\sum x^2 \geq 3\sqrt{x^2y^2z^2} \Rightarrow 4\sqrt{xyz} \geq 3\sqrt{x^2y^2z^2}(1)[/TEX]
[TEX]x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}(2)[/TEX]
nhân theo hai vế (1) và (2) ta được:
[TEX]4(x+y+z)\sqrt{xyz} \geq 9xyz > 8xyz \Rightarrow x+y+z > 2 \sqrt{xyz}[/TEX]
\Rightarrow PT vô nghiệm
cách 3:
ta có:
[TEX]\sum x^2 \geq 2x\sqrt{y^2+z^2} \geq 2x\sqrt{yz} \Rightarrow 4\sqrt{xyz} \geq 2x\sqrt{yz} \Leftrightarrow 2 \geq x[/TEX]
CM tưong tự:
[TEX]b,c \leq 2[/TEX]
ta dễ dàng thấy:
a,b,c ko thể đồng thời = 2 nên:
[TEX]\sum x(x-2) < 0 \Leftrightarrow 2(x+y+z) > \sum x^2 = 4\sqrt{xyz} \Leftrightarrow x+y+z > 2\sqrt{xyz}[/TEX] \Rightarrow PT vô nghiệm

 

[viet_tranmaininh]

[TEX]HPT: \left{36x^2+9y^4+4z^6=1\\x+y^2+z^3=\frac{2}{3}[/TEX]

Mọi người giúp mình bài này đi:

Hô Hố.
Cho p là số nguyên tố , n là số dương ( tự nhiên). Tìm các số tự nhiên x,y t/m:
[TEX]x(x +1)=p^{2n}y(y +1)[/TEX]

 

[0915549009]

[TEX]HPT: \left{36x^2+9y^4+4z^6=1\\x+y^2+z^3=\frac{2}{3}[/TEX]

[TEX](36x^2+9y^4+4z^6)(\frac{1}{36} + \frac{1}{9} + \frac{1}{4}) \geq (x+y^2+z^3)^2 \Leftrightarrow \frac{7}{18} \geq \frac{4}{9} \Rightarrow PT \ vo \ nghiem[/TEX]

 

[bboy114crew]

[TEX]\frac{8x(1-x^2)}{(1+x^2)^2} - \frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^2}=5-\sqrt{2}[/TEX]
Bạn nào giúp mình với mình thank liền

bài này có trong THTT!
[TEX]\frac{8x(1-x^2)}{(1+x^2)^2} - \frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^2}=5-\sqrt{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4.\frac{2x}{x^2+1}.\frac{1-x}{x^2+1} - 3\sqrt{2}.\frac{2x}{x^1+1} + \frac{\sqrt{2}(1-x^2)}{x^2+1}=5[/TEX]
đặt :
[TEX]\frac{2x}{x^2+1}=u;\frac{1-x}{x^2+1}=v[/TEX] với [TEX]-1 \leq u,v \leq 1[/TEX]
ta được:
[TEX]\left\{\begin{array}{l}u^2+v^2=1(1)\\4uv-3\sqrt{2}u+\sqrt{2}v=5(2)\end{array}\right[/TEX]
từ (1) \Rightarrow [TEX](u-v)^2+2uv=1 \Leftrightarrow 4uv= 2- 2(u-v)^2[/TEX]
thay vào (2) ta được:
[TEX]2-2(u-v)^2-\sqrt{2}(3u-v)=5 \Leftrightarrow (\sqrt{2}(u-v)+1)^2+\sqrt{2}(u+v+\sqrt{2})=0(3)[/TEX]
áp dụng BDT:
[TEX]u+v \leq \sqrt{2(u^2+v^2)} [/TEX] mà [TEX]u^2+v^2=1[/TEX] nên [TEX]u+v \geq -\sqrt{2} \Leftrightarrow u+v+\sqrt{2} \geq 0[/TEX]
vì vây PT (3) \Leftrightarrow [TEX]\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}(u-v)+1=0\\u+v+\sqrt{2}=0\\u=v\\u^2+v^2=1\end{array}\right[/TEX]
vô nghiệm!
p\s: lần sau bạn đừng đem bài của THTT nên hỏi nha!

 

[binbon249]

Chứng minh rằng nếu:

 

[bboy114crew]

Chứng minh rằng nếu:

ta có:
[TEX]\sum\sqrt{aa'}=\sqrt{(a+b+c)(a'+b'+c)} \Leftrightarrow aa'+bb'+cc'+2\sum{aa'bb'} = (a+b+c)(a'+b'+c') \Leftrightarrow ab'+ac'+bc'+ba'+ca'+cb'-2\sum{aa'bb'}=0 \Leftrightarrow (ab'-ba')^2+(ca'-ac')^2+(bc'-cb')^2=0 \Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[locxoaymgk]

Giải hệ phương trình sau bằng 2 cách:
[TEX]\left{\begin{x+y+z=1}\\{x^2+y^2+z^2=1}\\{x^3+y^3+z^3=1} [/TEX]
nhỡ may trùng đề mong moi người thông cảm?

 

[bboy114crew]

Giải hệ phương trình sau bằng 2 cách:
[TEX]\left{\begin{x+y+z=1}(1)\\{x^2+y^2+z^2=1}(2)\\{x^3+y^3+z^3=1}(3) [/TEX]
nhỡ may trùng đề mong moi người thông cảm?

cách 1:
từ (1) và (3)\Rightarrow [TEX](x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)=0 \Leftrightarrow 3(x+y)(y+z)(z+x)=0[/TEX]
\Rightarrow xét ba TH!
cách 2:
từ (2) \Rightarrow [TEX]-1 \leq x,y,z \leq 1 [/TEX]
kết hợp (2) và (3) ta có:
[TEX]x^2(1-x)+y^2(1-y)+z^2(1-z) = 0 \Leftrightarrow x^2(1-x)=y^2(1-y)=z^2(1-z) = 0 [/TEX]
\Rightarrow nghiệm!