Ôn Thi Đại Học 2013.

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi jet_nguyen, 17 Tháng tám 2012.

Lượt xem: 223,350

  1. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Giờ mình sẽ chuyển qua cực trị hàm bậc 4 nhé ;). Vẫn như mọi khi mình sẽ mở đầu bằng 1 bài cơ bản.

    Bài 29: Cho hàm số: $$y=x^4-4x^3+x^2+mx-1$$ Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
     
  2. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Bài 30: Tìm m để hàm số: $y=x^4+2x^3+mx^2$ có cực tiểu mà không có cực đại.
     
  3. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Bài 31: Tìm m để hàm số: $y=mx^4+(m-1)x^2+1-2m$ có đúng 1 cực trị.
     

  4. Ta có $y' = 3x^2-6x+m$
    $\bullet$ Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị là: $m < 3$
    $\bullet$ Phương trình đi qua hai điểm cực trị có dạng: $y = (\dfrac{2m}{3}-2)x+\dfrac{m}{3} (d)$ và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị luôn đi qua điểm cố định $K(-\dfrac{1}{2}; 2)$
    $\bullet$ Gọi H là hình chiếu của I xuống đường thẳng d. Ta có $IH \leq IK$. Vậy khoảng cách từ I đến đường thẳng d lớn nhất khi điểm H trùng với điểm K hay $AK \perp d$. Từ đây suy ra $k_1k_2 = -1$ ($k_1, k_2$ là hệ số góc của đường thẳng d và đường thẳng IA)
    $\bullet$ Kết quả: $m = 1$
     
    Last edited by a moderator: 20 Tháng tám 2012
  5. $\bullet$ Hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình $y' = 0$ có 3 nghiệm phân biệt
    $\Leftrightarrow g(x) = 4x^3 - 12x^2+2x = -m (1)$ có 3 nghiệm phân biệt
    $\bullet$ Bài toán này cơ bản rồi, bạn lập bảng biến thiên xét dấu hàm số $y = g(x)$
    Ta có phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi:
    $$ g(\dfrac{6+\sqrt{30}}{6})<- m < g(\dfrac{6-\sqrt{30}}{6})$$
    $$\Leftrightarrow 6- \dfrac{10\sqrt{30}}{9}< m <6+\dfrac{10\sqrt{30}}{9}$$
     
  6. $y ' = 4x^3+6x^2+2mx = 2x(2x^2+3x+m)$
    $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ g(x) = 2x^2+3x+m = 0 (1) \end{array} \right.$
    phương trình (1) có $\triangle = 9 - 8m$
    $\bullet$ Với $\triangle \leq 0 \Leftrightarrow m \geq \dfrac{9}{8}$ thì $g(x) \geq 0$ với mọi x. Nên dấu của ý đổi dấu từ - sang + tại x = 0. Nên hàm số đạt giá trị cực tiểu tại x = 0
    $\bullet$ Với $\triangle > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{9}{8}$. Điều kiện để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại là phương trình g(x) = 0 có nghiệm x = 0 $\Rightarrow g(0) = 0\Rightarrow m = 0$
    $\bullet$. Vậy các giá trị m cần tìm là: $m = 0$ và $m \geq \dfrac{9}{8}$
     
  7. Bài 32: Cho hàm số $y = x^4 - 2mx^2+2m+m^4$. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị lập thành 1 tam giác đều
     
  8. Bài 33: Cho hàm số $y = x^4 - 2mx^2+2m^2-4 (1)$. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1
     
  9. huutho2408

    huutho2408 Guest

    Cực trị hàm số

    $\bullet$Ta có:$$y'=4x^3-4mx=4x(x^2-m)$$
    $\bullet$ Để Hàm số có 3 cực trị thì pt $y'=0$có 3 nghiệm phân
    biệt:$\Longleftrightarrow m>0$

    $\bullet$Gọi $A(0;2m+m^4)$;$B(\sqrt{m};2m+m^4-m^2)$;$C(-\sqrt{m};2m+m^4-m^2)$


    $\bullet$Dễ thấy B,C đối xứng nhau qua trục oy nên tam giác ABC cân tại A



    $\bullet$ tam giác ABC đều thì:$$AC=BC$$

    $$\Longleftrightarrow AC^2=BC^2$$
    $$\Longleftrightarrow m+m^4=4m$$
    $$\Longleftrightarrow m=\sqrt[3]{3}$$
    $\bullet$Vậy $ m=\sqrt[3]{3}$ thõa mãn ycbt
     
  10. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Bài 34: Tìm m để hàm số: $y=x^4+mx^3+mx^2+mx+1$ không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu \forall $m \in R$.
     
    Last edited by a moderator: 20 Tháng tám 2012
  11. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Bài 35: Chứng minh rằng: Hàm số $y=x^4-x^3-5x^2+1$ có 3 điểm cực trị nằm trên một Parabol.
     
  12. huutho2408

    huutho2408 Guest

    Cực trị hàm số

    $\bullet$Ta có:$$y'=4x^3-4mx=4x(x^2-m)$$
    $\bullet$ Để Hàm số có 3 cực trị thì pt $y'=0$có 3 nghiệm phân
    biệt:$\Longleftrightarrow m>0$

    $\bullet$Gọi $A(0;2m^2-4)$;$B(\sqrt{m};m^2-4)$;$C(-\sqrt{m};m^2-4)$

    $\bullet$ Dễ thấy B,C đối xứng nhau qua trục oy nên tam giác ABC cân tại A


    $\bullet$ Ta có:$BC=2\sqrt{m}$

    $\bullet$ Phương trình đường thẳng BC có dạng $y=m^2-4$

    $\bullet$ Do đó $$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.BC.d(A;d_{BC})=1$$

    $$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}.2.\sqrt{m}.m^2=1$$
    $$\Longleftrightarrow m=1$$
    $\bullet$Vậy $m=1$ thõa mãn ycbt
     
  13. huutho2408

    huutho2408 Guest

    Cực trị hàm số

    $\bullet$Ta có:$$y'=4x^3+3mx^2+2mx+m$$
    $\bullet$ Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì pt $y'=0$ $\Longleftrightarrow 4x^3+3mx^2+2mx+m=0$ có 3 nghiệm phân biệt

    $\Longleftrightarrow m=-\dfrac{4x^3}{3x^2+2x+1}=f(x)$ (1)


    $\bullet$Nên $ f'(x)=-\dfrac{x^2(12x^2+16x+12)}{(3x^2+2x+1)^2}<0$ (với
    \forallx)

    $\bullet$ Mà số nghiệm của (1) đúng bằng số giao điểm của đồ thị hàm số f(x) với đường thẳng $y=m$


    Từ trên ta có:số giao điểm chỉ có 1 (Trái giả thiết)


    $\bullet$ Vậy hàm số không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu.
     
    Last edited by a moderator: 20 Tháng tám 2012
  14. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest


    Giải:
    $( * )$ Đặt: $$y=f(x)=mx^4+(m-1)x^2+1-2m$$
    $( * )$ Ta có: $$y'=4mx^3+2(m-1)x=0 \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} x=0 \\ g(x)=2mx^2+m-1=0 \end{array}\right.$$ ( * ) Biện luận:

    • Nếu $m=0$ thì $g(x)$ vô nghiệm, suy ra $f(x)$ có 1 cực đại.
    • Nếu $m=1$ thì $g(x)$ có nghiệm kép $x=0$, suy ra $f(x)$ có 1 cực tiểu.
    • Nếu $0<m<1$ thì $g(x)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0, suy ra $f(x)$ có 3 cực trị.
    • Nếu $ \left[\begin{array}{1} m<0 \\ m>1 \end{array}\right.$ thì $g(x)$ vô nghiệm suy ra $f(x)$ có 1 cực trị.
    $( * )$ Vậy: $ \left[\begin{array}{1} m \le 0 \\ m \ge 1 \end{array}\right.$ thoả yêu cầu bài toán.

     
    Last edited by a moderator: 20 Tháng tám 2012
  15. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Bài 36: Cho hàm số: $$y=x^4+(m+3)x^3+2(m+1)x^2$$ Chứng minh rằng \forall $m \ne -1$ hàm số luôn có cực đại đồng thời $x_{CĐ} \le 0$
     
  16. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Bài 37: Cho hàm số: $$y=x^4-2(m^2-m+1)x^2+m-1$$ Tìm m để khoảng cách giữa 2 điểm cực tiểu nhỏ nhất.
     
  17. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Bài 38: Cho hàm số: $$y=\dfrac{1}{4}x^4-(3m+1)x^2+2(m+1)$$ Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc toạ độ $O$.
     
  18. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Bài 39: Cho hàm số: $$y=x^4-2mx^2+2$$ Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm $I \left(\dfrac{3}{5};\dfrac{9}{5} \right)$
     
  19. huutho2408

    huutho2408 Guest

    Cực trị hàm số

    $\bullet$Ta có:$$y'=4x^3+3x^2-10x$$
    $\bullet$ pt $y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt :$$\left[ \begin{array}{ll} x=0& \color{red}{} \\ x=2 & \color{red}{} \\ x=-\dfrac{5}{4}& \color{red}{} \end{array} \right.$$
    $\bullet$Gọi $M(0;1)$;$N(2;-11)$;$N(-\dfrac{5}{4};-\dfrac{619}{256})$

    $\bullet$ 3 tọa độ nằm trên 1 parabol dạng:$y=ax^2+bx+c$


    $\bullet$ Thì 3 tọa độ [$M(0;1)$;$N(2;-11)$;$P(-\dfrac{5}{4};-\dfrac{619}{256})$]thõa mãn hệ pt:$$\left\{ \begin{array}{ll} c=1 & \color{red}{} \\ 4a+2b+c=-11 & \color{red}{} \\ \dfrac{25}{16}a-\dfrac{5}{4}b+c= -\dfrac{619}{256}& \color{red}{} \end{array} \right.$$

    $$\Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{ll} a=-\dfrac{43}{16}& \color{red}{} \\ b=-\dfrac{5}{8} & \color{red}{} \\ c=1& \color{red}{} \end{array} \right.$$
    $\bullet$ Vậy 3 tọa độ điểm cực trị nằm trên 1 parabol:

    $y=-\dfrac{43}{16}x^2-\dfrac{5}{8}x+1$
     
    Last edited by a moderator: 20 Tháng tám 2012
  20. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest


    Mình xin góp thêm cách giải khác nhẹ nhàng hơn.

    Ta có: $$y'=4x^3 -3x^2-10x=0 $$ Vì: $$y=\left(\dfrac{x}{4}-\dfrac{1}{16}\right)y' -\dfrac{43}{16}x^2-\dfrac{5}{8}x+1$$ Suy ra đường cong đi qua 3 điểm cực trị có dạng Parabol: $(C) y=-\dfrac{43}{16}x^2-\dfrac{5}{8}x+1$ (dpcm).

     
    Last edited by a moderator: 20 Tháng tám 2012
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->