Ôn Thi Đại Học 2013.

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi jet_nguyen, 17 Tháng tám 2012.

Lượt xem: 223,838

  1. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Ngay cái đề bài đã sai rồi ^^

    Phải sửa lại là:

    Tìm m để hàm số:$f(x)=x^3-3(2m+1)x^2+(12m+5)x+2$


    đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty;-1]$; $[2;+\infty)$
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng tám 2012
  2. duynhan1

    duynhan1 Guest


    TH1: $m=-1$ thì (1) có dạng $y=2x$ (với $x \not=- 1$) sẽ thõa mãn hàm số đồng biến trên $(1;+$
    \infty$)$
    Chú ý điều kiện $x \not= -1$
    TH2: m$\not=$ 1 thì
    Ta có: $y'=\dfrac{2x^2-4mx+m^2-2m-1}{(x-m)^2}$

    Hàm số đồng biến trên $(1;+\infty)$ thì
    $\Longrightarrow$
    $2x^2-4mx+m^2-2m-1$$\ge$0 (2)
    Chú ý dấu $\Leftrightarrow$ và $\Rightarrow$
    Bất phương trình (2) có tập nghiệm$[-\infty;x_1) \cup [x_2;+\infty)$ (vì $\triangle'_{(2)}$ >0 )
    để thõa mãn ycbt thì : $x_2$$\le$ 1

    Chưa đúng, chú ý điều kiện $x \not= m$. Để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng $(a;b)$ thì ta phải có hàm số liên tục trên khoảng $(a;b)$.


    Bài còn nhiều sai sót, em sửa lại nhé ^^
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng tám 2012
  3. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest


    Giải: ​

    $\bullet$ Hàm số đồng biến trên $(1;+$\infty$)$ $\Longleftrightarrow y'=\dfrac{2x^2-4mx+m^2-2m-1}{(x-m)^2} \ge 0$ \forall $ x >1$
    $\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} f(x)=2x^2-4mx+m^2-2x-1 \ge 0 \,\ \text{ Với mọi}\,\ x>1 \\ x \ne m \end{array}\right.$ $\Longleftrightarrow (I) \left\{\begin{array}{1} f(x) \ge 0 \,\ \text{ Với mọi}\,\ x>1 \\ m \le 1 \end{array}\right.$

    Tới đây mình sẽ giới thiệu cho các bạn 2 cách giải. Ai thích tam thức bậc 2 thì theo dõi cách 1. ;)

    $\bullet$ Ta có: $\Delta'=2(m+1)^2 \ge 0$ nên phương trình $f(x)=0$ có 2 nghiệm thoả: $x_1 \le x_2$.
    $\bullet$ Do đó để bất phương trình: $f(x) \ge 0 $ \forall $ x \in (1;+$\infty$) \Longleftrightarrow x_1 \le x_2 \le 1$. Điều này tương đương:
    $$\left\{\begin{array}{1} m \le 1 \,\ ,\Delta ' \ge 0 \\ 2f(1)=2(m^2-6m+1) \ge 0\\ \dfrac{S}{2}=-2 \le 1 \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} m \le 1 \\ \left[\begin{array}{1} m \le 3-2\sqrt{2} \\ m \ge 3+2\sqrt{2} \end{array}\right. \end{array}\right. \Longleftrightarrow m \le 3-2\sqrt{2}$$
    Ngoài cách dùng định lý đảo của tam thức bậc 2 các bạn có thể xử lý theo hướng khác, tham khảo bài 7 của anh truongduong9083 .
    Nếu bạn nào ứng dụng được luôn phương pháp hàm số thì quá tốt, vừa ngắn gọn vừa mới mẻ, cùng theo dõi cách 2 nhé. :)

    $\bullet$ Ta có: $f '(x)=4(x-m)\ge 4(x-1) >0$ \forall $x >1$ suy ra: $f(x)$ đồng biến trên $[1;+$\infty$)$.
    $\bullet$ Vì thế $$\begin{aligned} (I) & \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} Minf(x) \ge 0\,\ , x \ge 1 \\ m \ge 1 \end{array}\right. \\ & \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} g(1)=m^2-6m+1 \ge 0\,\ , x \ge 1 \\ m \ge 1 \end{array}\right. \\ & \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} \left[\begin{array}{1} m \le 3-2\sqrt{2} \\ m \ge 3+2\sqrt{2} \end{array}\right. \\ m \le 1 \end{array}\right. \\&\Longleftrightarrow m \le 3-2\sqrt{2} \\ \end{aligned}$$
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng tám 2012
  4. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Mình xin kết thúc phần Tính đơn Điệu Của Hàm Số để chúng ta sẽ cùng sang phần Cực Trị của Hàm số.
    Mở đầu phần này là một bài toán cơ bản.
    Bài 13: Tìm m để hàm số $y=\dfrac{1}{3}x^3+(m^2-m+2)x^2+(3m^2+1)x+m-5$ đạt cực tiểu tại $x=-2$

    P/s: Bài này không khó nhưng dễ mất điểm do trình bày không chặt chẽ, vì vậy mấy bạn trình bày bài này kĩ giúp mình nhé.
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng tám 2012
  5. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Bài 14: Cho hàm số: $$y=\dfrac{2}{3}x^3+(m+1)x^2+(m^2+4m+3)x$$ Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm có hoành độ lớn hơn 1.
     
  6. huutho2408

    huutho2408 Guest

    Cực trị hàm số


    *TXĐ:R

    Ta có : $$y'=2x^2+2(m+1)x+m^2+4m+3$$

    Pt $y'=0$ có $\triangle'=-(m+1)(m+5)$

    *
    để hs có 2 cực trị $\Longleftrightarrow$$\triangle'>0$ $\Longleftrightarrow-5<m<-1$ (a)

    hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm có hoành độ lớn hơn 1 thì có các khả năng sau:


    *Khả năng 1
    :$$x_1< 1<x_2$$

    $$\Longleftrightarrow (x_1-1)(x_2-1)<0$$

    $$\Longleftrightarrow x_1.x_2- (x_1+x_2)+1<0$$
    $$\Longleftrightarrow -m^2-6m-3<0$$

    kết hợp đk (a) không có m thõa mãn


    *Khả năng 2
    :$$1< x_1< x_2$$
    $$\Longleftrightarrow (x_1-1)(x_2-1)>0$$
    $$\Longleftrightarrow x_1.x_2- (x_1+x_2)+1>0$$
    $$\Longleftrightarrow m^2+6m+7>0$$
    $$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} m<-3-\sqrt{2} & \color{red}{} \\ m>-3+\sqrt{2} & \color{red}{} \end{array} \right.$$
    kết hợp đk (a) thì :m thuộc $(-5;-3-\sqrt{2})\cup (-3+\sqrt{2};-1) $

    *Khả năng 3
    :$$1= x_1< x_2$$
    $$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} m=-3-\sqrt{2} & \color{red}{} \\ m=-3+\sqrt{2} & \color{red}{(loại)} \end{array} \right.$$
    thay vào pt $y'=0$ chỉ thu được $m=-3-\sqrt{2}$

    Kết luận:m thuộc $(-5;-3-\sqrt{2}]\cup (-3+\sqrt{2};-1) $
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng tám 2012
  7. duynhan1

    duynhan1 Guest

    Hàm số bậc 3 chỉ có 2 khả năng:
    + Không có cực trị.
    + Có 2 cực trị.
    Không có trường hợp có 1 cực trị nhé em ^^.
     
  8. Bài 15: Cho hàm số $y = 2x^3+9mx^2+12m^2x+1 (C_m)$. Tìm m để hàm số có cực đại tại $x_{CĐ}$, cực tiểu tại $x_{CT}$ thỏa mãn điều kiện: $x_{CĐ}^2 = x_{CT}$.
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng tám 2012
  9. Bài 16: Cho hàm số $y = x^3- 3(m-1)x^2+3(2m+1)x+1 (C_m)$. Tìm m để hàm số có cực trị tại các điểm $x_1, x_2$ thỏa mãn: $|x_1-x_2|\leq 2\sqrt{5}$.
     
  10. Bài 17: Cho hàm số $y = -x^3+3x^2+3(m^2-1)x-3m^2-1 (1)$. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị này cách đều gốc tọa độ O.
     
  11. Để hàm số có cực trị
    $ \Rightarrow y'=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt

    $\Rightarrow x^2+3mx+2m^2=0 $ có 2 nghiệm phân biệt

    [​IMG]

    Ta có $x_{CĐ}=-2m, x_{CT}= - m$

    theo giả thiết

    $$\Rightarrow 4m^2=m $$

    $$\Rightarrow m=\frac{1}{2}$$

    Vậy $ m=\frac{1}{2} $
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng tám 2012
  12. hardyboywwe

    hardyboywwe Guest

    Bài 18: Cho hàm số [TEX]y = 2x^3 - 3(2m + 1)x^2 + 6m(m + 1)x + 1[/TEX].Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu,đồng thời 2 điểm cực trị của đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x + 2.
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng tám 2012
  13. Để hàm số có cực trị

    $=> y'=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt

    $\Rightarrow x^2-2(m-1)x+2m+1=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt

    $$=> \large\Delta ' >0 $$

    $$\Leftrightarrow m^2 -4m >0$$
    $$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m>4 \\ m< 0 \end{array} \right.$$

    Ta có
    $$ |x_1-x_2| \le 2\sqrt{5} \Leftrightarrow (x_1-x_2)^2 \le 20$$

    $$\Rightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2 \le 20$$

    Theo viet ta có :

    $$m^2 -4m^2-4 \le 0$$

    $$ \Rightarrow -1 \le m \le 5$$

    Kết hợp với điều kiện

    $$\Rightarrow m \in [-1;0] \cup [4;5]$$
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng tám 2012
  14. huutho2408

    huutho2408 Guest

    Cực trị hàm số

    Ta có: $$y'=-3x^2+6x+3(m^2-1)$$
    Pt $y'=0$ có $\triangle'=9m^2>0$ với \forallm $\not=$0

    nên pt $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt:

    $$x_1=1-m$$ và $$x_2=1+m$$
    Hàm số có các điểm cực trị cách đều gốc tọa độ O thì
    $$\Longleftrightarrow |x_1|=|x_2|$$
    $$\Longleftrightarrow m=0$$
     
  15. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Bài 19: Cho hàm số: $$y=\dfrac{2}{3}x^3+(\cos m -3\sin m)x^2-8(1+\cos 2m)x+1.$$ Chứng minh hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng tám 2012
  16. huutho2408

    huutho2408 Guest

    Bạn à bạn quên chưa xét m>0 vàm<0

    TH1:m>0 thì $x_{CĐ}=-2m$ và $x_{CT}=-m$
    $

    $$\Longleftrightarrow 4m^2=-m $$


    $$\Longleftrightarrow m=-\dfrac14 (loại)$$


    TH2:m<0 thì $x_{CT}=-2m$ và $x_{CĐ}=-m$


    Ycbt: $$\Longleftrightarrow m^2=-2m$$


    $$\Longleftrightarrow m=-2 (tm)$$
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng tám 2012
  17. Bài 20: Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3- \dfrac{5}{2}mx^2-4mx-4(C_m)$. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại $x_1; x_2$ sao cho biểu thức
    $A = \dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1+12m}{m^2}$ đạt GTNN.
     
  18. Bài 21: Cho hàm số $y = x^3+mx^2+7x+3 (C_m)$. Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng $d: y = 3x - 7$.
     
  19. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest



    Em kiểm tra lại bài giải xem có bị vướng ở đâu không nha.
    Giải:
    $\bullet$ Ta có: $$f '(x)=2x^2+2(m+1)x+m^2+4m+3$$ $\bullet$ Để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm có hoành độ lớn hơn 1 $\Longleftrightarrow f'(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_,x-2$ thoả mãn: $x_1<1<x_2 V 1 \le x_1<x_2$. Điều này tương đương:
    $$\begin{aligned}& \,\ \,\ \,\ \,\ \,\ \left[\begin{array}{1} 2f'(1) <0 \\ \left\{\begin{array}{1} \Delta' >0 \\ 2f(1) \ge 0 \\ \dfrac{S}{2} >1 \end{array}\right. \end{array}\right. \\ & \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} m^2+6m+7 <0 \\ \left\{\begin{array}{1} m^2+6m+5 <0 \\ m^2+6m+7 \ge 0 \\ -(m+1) >1 \end{array}\right. \end{array}\right. \\ & \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} m \in (-3-\sqrt{2};-3+\sqrt{2})\\ \left\{\begin{array}{1} m \in (-5;-1) \\ m \not\in (-3-\sqrt{2};-3+\sqrt{2}) \\m< -2 \end{array}\right. \end{array}\right. \\ & \Longleftrightarrow m \in (-5;-3+\sqrt{2})\end{aligned}$$
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng tám 2012
  20. Ta có: $y' = 2x^2+2(cosm-3sinm)x-8(1+cos2m)$
    $\bullet$ Để hàm số có CĐ, CT thì phương trình $y' = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ và dấu của $y'$ đổi dấu qua hai nghiệm $x_1, x_2$
    $\bullet$ Nhận xét: $\triangle' = (cosm - 3sinm)^2+16(1+cos2m) > 0$ $\forall m$.
    Nên phương trình $y' = 0$
    luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ và khi lập bảng xét dấu y' thì dấu $y'$ đổi dấu
    qua hai nghiệm $x_1, x_2$ nên hàm số luôn có CĐ và CT
     
    Last edited by a moderator: 19 Tháng tám 2012
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->