Ôn Thi Đại Học 2013.

[jet_nguyen]

Giờ mình sẽ chuyển qua cực trị hàm bậc 4 nhé . Vẫn như mọi khi mình sẽ mở đầu bằng 1 bài cơ bản.

Bài 29: Cho hàm số: $$y=x^4-4x^3+x^2+mx-1$$ Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.

 

[jet_nguyen]

Bài 30: Tìm m để hàm số: $y=x^4+2x^3+mx^2$ có cực tiểu mà không có cực đại.

 

[jet_nguyen]

Bài 31: Tìm m để hàm số: $y=mx^4+(m-1)x^2+1-2m$ có đúng 1 cực trị.

 

[truongduong9083]

Bài 28: Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2+mx+1 (C_m)$. Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho khoảng cách từ điểm $I(\dfrac{1}{2}; \dfrac{11}{4})$ đến đường thẳng nối hai điểm cực trị đạt giá trị lớn nhất.

Ta có $y' = 3x^2-6x+m$
$\bullet$ Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị là: $m < 3$
$\bullet$ Phương trình đi qua hai điểm cực trị có dạng: $y = (\dfrac{2m}{3}-2)x+\dfrac{m}{3} (d)$ và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị luôn đi qua điểm cố định $K(-\dfrac{1}{2}; 2)$
$\bullet$ Gọi H là hình chiếu của I xuống đường thẳng d. Ta có $IH \leq IK$. Vậy khoảng cách từ I đến đường thẳng d lớn nhất khi điểm H trùng với điểm K hay $AK \perp d$. Từ đây suy ra $k_1k_2 = -1$ ($k_1, k_2$ là hệ số góc của đường thẳng d và đường thẳng IA)
$\bullet$ Kết quả: $m = 1$

 

[truongduong9083]

Giờ mình sẽ chuyển qua cực trị hàm bậc 4 nhé . Vẫn như mọi khi mình sẽ mở đầu bằng 1 bài cơ bản.

Bài 29: Cho hàm số: $$y=x^4-4x^3+x^2+mx-1$$ Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.

$\bullet$ Hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình $y' = 0$ có 3 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow g(x) = 4x^3 - 12x^2+2x = -m (1)$ có 3 nghiệm phân biệt
$\bullet$ Bài toán này cơ bản rồi, bạn lập bảng biến thiên xét dấu hàm số $y = g(x)$
Ta có phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi:
$$ g(\dfrac{6+\sqrt{30}}{6})<- m < g(\dfrac{6-\sqrt{30}}{6})$$
$$\Leftrightarrow 6- \dfrac{10\sqrt{30}}{9}< m <6+\dfrac{10\sqrt{30}}{9}$$

 

[truongduong9083]

Bài 30: Tìm m để hàm số: $y=x^4+2x^3+mx^2$ có cực tiểu mà không có cực đại.

$y ' = 4x^3+6x^2+2mx = 2x(2x^2+3x+m)$
$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ g(x) = 2x^2+3x+m = 0 (1) \end{array} \right.$
phương trình (1) có $\triangle = 9 - 8m$
$\bullet$ Với $\triangle \leq 0 \Leftrightarrow m \geq \dfrac{9}{8}$ thì $g(x) \geq 0$ với mọi x. Nên dấu của ý đổi dấu từ - sang + tại x = 0. Nên hàm số đạt giá trị cực tiểu tại x = 0
$\bullet$ Với $\triangle > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{9}{8}$. Điều kiện để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại là phương trình g(x) = 0 có nghiệm x = 0 $\Rightarrow g(0) = 0\Rightarrow m = 0$
$\bullet$. Vậy các giá trị m cần tìm là: $m = 0$ và $m \geq \dfrac{9}{8}$

 

[truongduong9083]

Bài 32: Cho hàm số $y = x^4 - 2mx^2+2m+m^4$. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị lập thành 1 tam giác đều

 

[truongduong9083]

Bài 33: Cho hàm số $y = x^4 - 2mx^2+2m^2-4 (1)$. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1

 

[huutho2408]

Cực trị hàm số

Bài 32: Cho hàm số $y = x^4 - 2mx^2+2m+m^4$. Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị lập thành 1 tam giác đều

$\bullet$Ta có:$$y'=4x^3-4mx=4x(x^2-m)$$
$\bullet$ Để Hàm số có 3 cực trị thì pt $y'=0$có 3 nghiệm phân
biệt:$\Longleftrightarrow m>0$

$\bullet$Gọi $A(0;2m+m^4)$;$B(\sqrt{m};2m+m^4-m^2)$;$C(-\sqrt{m};2m+m^4-m^2)$

$\bullet$Dễ thấy B,C đối xứng nhau qua trục oy nên tam giác ABC cân tại A


$\bullet$ tam giác ABC đều thì:$$AC=BC$$
$$\Longleftrightarrow AC^2=BC^2$$
$$\Longleftrightarrow m+m^4=4m$$
$$\Longleftrightarrow m=\sqrt[3]{3}$$
$\bullet$Vậy $ m=\sqrt[3]{3}$ thõa mãn ycbt

 

[jet_nguyen]

Bài 34: Tìm m để hàm số: $y=x^4+mx^3+mx^2+mx+1$ không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu \forall $m \in R$.

 

[jet_nguyen]

Bài 35: Chứng minh rằng: Hàm số $y=x^4-x^3-5x^2+1$ có 3 điểm cực trị nằm trên một Parabol.

 

[huutho2408]

Cực trị hàm số

Bài 33: Cho hàm số $y = x^4 - 2mx^2+2m^2-4 (1)$. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1

$\bullet$Ta có:$$y'=4x^3-4mx=4x(x^2-m)$$
$\bullet$ Để Hàm số có 3 cực trị thì pt $y'=0$có 3 nghiệm phân
biệt:$\Longleftrightarrow m>0$

$\bullet$Gọi $A(0;2m^2-4)$;$B(\sqrt{m};m^2-4)$;$C(-\sqrt{m};m^2-4)$

$\bullet$ Dễ thấy B,C đối xứng nhau qua trục oy nên tam giác ABC cân tại A

$\bullet$ Ta có:$BC=2\sqrt{m}$
$\bullet$ Phương trình đường thẳng BC có dạng $y=m^2-4$

$\bullet$ Do đó $$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.BC.d(A;d_{BC})=1$$
$$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}.2.\sqrt{m}.m^2=1$$
$$\Longleftrightarrow m=1$$
$\bullet$Vậy $m=1$ thõa mãn ycbt

 

[huutho2408]

Cực trị hàm số

Bài 34: Tìm m để hàm số: $y=x^4+mx^3+mx^2+mx+1$ không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu \forall $m \in R$.

$\bullet$Ta có:$$y'=4x^3+3mx^2+2mx+m$$
$\bullet$ Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì pt $y'=0$ $\Longleftrightarrow 4x^3+3mx^2+2mx+m=0$ có 3 nghiệm phân biệt

$\Longleftrightarrow m=-\dfrac{4x^3}{3x^2+2x+1}=f(x)$ (1)

$\bullet$Nên $ f'(x)=-\dfrac{x^2(12x^2+16x+12)}{(3x^2+2x+1)^2}<0$ (với \forallx)

$\bullet$ Mà số nghiệm của (1) đúng bằng số giao điểm của đồ thị hàm số f(x) với đường thẳng $y=m$

Từ trên ta có:số giao điểm chỉ có 1 (Trái giả thiết)

$\bullet$ Vậy hàm số không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu.

 

[jet_nguyen]

Bài 31: Tìm m để hàm số: $y=mx^4+(m-1)x^2+1-2m$ có đúng 1 cực trị.

Giải:
​

$( * )$ Đặt: $$y=f(x)=mx^4+(m-1)x^2+1-2m$$
$( * )$ Ta có: $$y'=4mx^3+2(m-1)x=0 \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} x=0 \\ g(x)=2mx^2+m-1=0 \end{array}\right.$$ ( * ) Biện luận:

• Nếu $m=0$ thì $g(x)$ vô nghiệm, suy ra $f(x)$ có 1 cực đại.
• Nếu $m=1$ thì $g(x)$ có nghiệm kép $x=0$, suy ra $f(x)$ có 1 cực tiểu.
• Nếu $0<m<1$ thì $g(x)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0, suy ra $f(x)$ có 3 cực trị.
• Nếu $ \left[\begin{array}{1} m<0 \\ m>1 \end{array}\right.$ thì $g(x)$ vô nghiệm suy ra $f(x)$ có 1 cực trị.

$( * )$ Vậy: $ \left[\begin{array}{1} m \le 0 \\ m \ge 1 \end{array}\right.$ thoả yêu cầu bài toán.

 

[jet_nguyen]

Bài 36: Cho hàm số: $$y=x^4+(m+3)x^3+2(m+1)x^2$$ Chứng minh rằng \forall $m \ne -1$ hàm số luôn có cực đại đồng thời $x_{CĐ} \le 0$

 

[jet_nguyen]

Bài 37: Cho hàm số: $$y=x^4-2(m^2-m+1)x^2+m-1$$ Tìm m để khoảng cách giữa 2 điểm cực tiểu nhỏ nhất.

 

[jet_nguyen]

Bài 38: Cho hàm số: $$y=\dfrac{1}{4}x^4-(3m+1)x^2+2(m+1)$$ Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc toạ độ $O$.

 

[jet_nguyen]

Bài 39: Cho hàm số: $$y=x^4-2mx^2+2$$ Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm $I \left(\dfrac{3}{5};\dfrac{9}{5} \right)$

 

[huutho2408]

Cực trị hàm số

Bài 35: Chứng minh rằng: Hàm số $y=x^4-x^3-5x^2+1$ có 3 điểm cực trị nằm trên một Parabol.

$\bullet$Ta có:$$y'=4x^3+3x^2-10x$$
$\bullet$ pt $y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt :$$\left[ \begin{array}{ll} x=0& \color{red}{} \\ x=2 & \color{red}{} \\ x=-\dfrac{5}{4}& \color{red}{} \end{array} \right.$$
$\bullet$Gọi $M(0;1)$;$N(2;-11)$;$N(-\dfrac{5}{4};-\dfrac{619}{256})$

$\bullet$ 3 tọa độ nằm trên 1 parabol dạng:$y=ax^2+bx+c$

$\bullet$ Thì 3 tọa độ [$M(0;1)$;$N(2;-11)$;$P(-\dfrac{5}{4};-\dfrac{619}{256})$]thõa mãn hệ pt:$$\left\{ \begin{array}{ll} c=1 & \color{red}{} \\ 4a+2b+c=-11 & \color{red}{} \\ \dfrac{25}{16}a-\dfrac{5}{4}b+c= -\dfrac{619}{256}& \color{red}{} \end{array} \right.$$
$$\Longleftrightarrow\left\{ \begin{array}{ll} a=-\dfrac{43}{16}& \color{red}{} \\ b=-\dfrac{5}{8} & \color{red}{} \\ c=1& \color{red}{} \end{array} \right.$$
$\bullet$ Vậy 3 tọa độ điểm cực trị nằm trên 1 parabol:

$y=-\dfrac{43}{16}x^2-\dfrac{5}{8}x+1$

 

[jet_nguyen]

Bài 35: Chứng minh rằng: Hàm số $y=x^4-x^3-5x^2+1$ có 3 điểm cực trị nằm trên một Parabol.

Mình xin góp thêm cách giải khác nhẹ nhàng hơn.
Ta có: $$y'=4x^3 -3x^2-10x=0 $$ Vì: $$y=\left(\dfrac{x}{4}-\dfrac{1}{16}\right)y' -\dfrac{43}{16}x^2-\dfrac{5}{8}x+1$$ Suy ra đường cong đi qua 3 điểm cực trị có dạng Parabol: $(C) y=-\dfrac{43}{16}x^2-\dfrac{5}{8}x+1$ (dpcm).