Ôn Thi Đại Học 2013.

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi jet_nguyen, 17 Tháng tám 2012.

Lượt xem: 223,958

  1. $ta có : $ y'=x^2 -5mx-4m$
    để hàm số có 2 cực trị $x_1, x_2$ thì pt y' =0 phải có 2 nghiệm $x_1,x_2$ phân biệt
    $ \delta$ >0 \Leftrightarrow25m^2 + 16m >0 \Leftrightarrow m>0 hoặc m< $\dfrac{-16}{25}$
    khi đó ta có : $ x_1 + x_2 =5m $ và$x_1.x_2=-4m$
    $A = \dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1+12m}{m^2}$
    quy đồng lên rồi thay
    $ x_1 + x_2 =5m $và $x_1.x_2=-4m$ vào và giải tiếp

     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng tám 2012
  2. ta có : $ y'= 3x^2 + 2mx +7$
    ta chia y cho y' => đt đi qua 2 điểm cực trị là $\delta =\dfrac{14}{3}x - \dfrac{2}{9}mx + 3- \dfrac{7}{9}m$
    $\delta $vuông góc vs d \Rightarrow$k_{\delta}=-\dfrac{1}{3}$
    \Rightarrow m=$\dfrac{45}{2}$


     
  3. huutho2408

    huutho2408 Guest

    Chuyên đề hàm số

    Bạn smileandhappy1995 đã làm nhưng chua ra kết quả cuối cùng

    Vậy em xin làm:

    Ta có:$$y'=x^2-5mx-4m$$
    PT $y'=0$ có $\triangle=25m^2+16m$
    Hàm số có cực đại cực tiểu thì:$$\Longleftrightarrow \triangle>0$$
    $$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} m<-\dfrac{16}{25} & \color{red}{} \\ m>0 & \color{red}{} \end{array} \right.$$
    Ta có:$x_1+x_2=5m$

    Theo giả thiết ta có:
    $A=\dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_1^2+5mx_2+12m}{m^2}$

    $ =\dfrac{m^2}{[(x_1^2-5mx_1-4m)+5m(x_1+x_2)+16m]}+\dfrac{[(x_2^2-5mx_2-4m)+5m(x_1+x_2)+16m]}{m^2}$

    $ =\dfrac{m^2}{5m(x_1+x_2)+16m}+\dfrac{5m(x_1+x_2)+16m}{m^2}$

    $ =\dfrac{m^2}{25m^2+16m}+\dfrac{25m^2+16m}{m^2}$

    $ =\dfrac{m}{25m+16}+\dfrac{25m+16}{m}$

    Lập BBT Trên $(-$
    \infty$;-\dfrac{16}{25})$ $\cup$ $(0;+$\infty$)$

    Ta có: $A_{min}=A_{(-\frac{2}{3})}=2$


    Vậy $m=-\dfrac{2}{3}$ thì A đạt GTNN
     
    Last edited by a moderator: 19 Tháng tám 2012
  4. Ta có $y' = 6[x^2-(2m+1)x+m(m+1)]$
    $\bullet$ $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = m \\ x = m+1 \end{array} \right.$
    Phương trình y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt, và dấu ý đổi dấu qua các nghiệm nên hàm số luôn có hai điểm cực đại và cực tiểu
    $\bullet$ Giả sử hai điểm cực trị là: $A(m+1, 2m^3+3m^2); B(m; 2m^3+3m^2+1)$ $\Rightarrow I(\dfrac{2m+1}{2}; \dfrac{4m^3+6m^2+1}{2}); \vec{AB} = (-1; 1)$ (Với I là trung điểm của AB)
    Do $ \vec{AB}.\vec{u_d} = 0$. Nên điều kiện để hai điểm A, B đối xứng qua đường thẳng d: x - y + 2 = 0 là:
    $I\in d$
    $\Rightarrow \dfrac{4m^3+6m^2+1}{2} = \dfrac{2m+1}{2}+2$
    $\Leftrightarrow 2m^3+3m^2-m-2=0$
    $\Leftrightarrow (m+1)(2m^2+m-2) = 0$
    $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = -1 \\ m = \dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}\\ m = \dfrac{-1-\sqrt{17}}{4} \end{array} \right.$
     
    Last edited by a moderator: 19 Tháng tám 2012
  5. Bài 22: Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3-mx^2-x+m+1 (C_m)$. Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm CĐ và CT là nhỏ nhất.
     
  6. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest


    Giải:
    ( * ) Ta có:
    $\bullet$ $y'=x^2+2(m^2-m+2)x+3m^2+1$

    $\bullet$ $y''=2x+2(m^2-m+2)$
    ( * )Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại $x=-2$ là:
    $$y'(-2)= 0 \Longleftrightarrow -m^2+4m-3=0 \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} m=3 \\ m=1 \end{array}\right.$$( * ) Với $m=3$ thì ta đã có: $y'(-2)= 0$
    $\bullet$ Mặt khác: $$y''(-2)=12 >0$$ Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x=-2$
    ( * ) Với $m=1$ thì ta có: $y'=x^2+4x+4=(x+2)^2 \ge 0$ \forall $x \in R$ Suy ra hàm số đồng biến trên $R$.
    ( * ) Vậy $m=3$ thỏa yêu cầu bài toán.
     
  7. Bài 23: Cho hàm số $y = x^3-3x^2-mx+2 (1)$. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm CT sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
     
  8. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest


    Giải:
    $\bullet$ Ta có:
    $$y'=6x^2+18mx+12m^2$$
    $\bullet$ Để hàm số có cực trị khi phương trình $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
    $$ \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} a=6 \ne 0 \\ \Delta '=(9m)^2-6.12m^2 >0 \end{array}\right. \Longleftrightarrow 9m^2 >0 \Longleftrightarrow m \ne 0 ( * )$$
    $\bullet$ Khi đó phương trình $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt: $x_1=-m; x_2=-2m$
    $\bullet$ Theo yêu cầu đề bài và điều kiện ( * ) ta có:
    $$\left[\begin{array}{1} \left\{\begin{array}{1} m>0 \\(-2m)^2= -m\end{array}\right.(L) \\\left\{\begin{array}{1} m<0 \\(-m)^2=-2m \end{array}\right. \end{array}\right. \Longleftrightarrow m=-2 (N)$$
     
  9. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest


    Giải:
    $\bullet$ Ta có:
    $$y'=3x^2+2mx+7$$
    $\bullet$ Để hàm số có cực trị khi phương trình $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt. $$\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} a=3 \ne 0 \\ \Delta'=m^2-3.7 >0 \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left [\begin{array}{1} m>\sqrt{21} \\ m<-\sqrt{21} \end{array}\right. ( * )$$ $\bullet$ Vì: $$y=y'\left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{m}{9}\right)+\left(\dfrac{14}{3}- \dfrac{2}{9} m^2\right)x+3-\dfrac{7}{9}m$$ Do đó đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có dạng: $\Delta: y=\dfrac{40}{9}m^2x+3-\dfrac{7}{9}m$
    $\bullet$ Để $\Delta \perp d$$$\Longleftrightarrow\left(\dfrac{14}{3}- \dfrac{2}{9} m^2\right) . 3=-1$$$$ \Longleftrightarrow m=^+_-\dfrac{3\sqrt{10}}{2}(N)$$
     
    Last edited by a moderator: 19 Tháng tám 2012
  10. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest


    Giải:
    $\bullet$ Vì $y'=x^2-2mx-1$ có $\Delta'=m^2+1 >0$ \forall$m\in R$ nên phương trình $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ do đó hàm số đạt cực trị tại 2 điểm $A(x_2,y_1);B(x_2,y_2)$.
    $\bullet$ Ta có:
    $$y=y'\left[\dfrac{1}{3}(x-m)\right]-\dfrac{2}{3}(m^2+1)x+\dfrac{2}{3}m+1$$
    $\bullet$ Do: $y'(x_1)=y'(x_2)=0$ nên:
    $$y_1=-\dfrac{2}{3}(m^2+1)x_1+\dfrac{2}{3}m+1$$$$y_2=-\dfrac{2}{3}(m^2+1)x_2+\dfrac{2}{3}m+1$$
    $\bullet$ Vì thế:
    $$\begin{aligned}AB^2&=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \\& =(x_2-x_1)^2+\dfrac{4}{9}(m^2+1)^2(x_2-x_1)^2 \\& [(x_2-x_1)^2-4x_1x_2]\left[1+\dfrac{4}{9}(m^2+1)^2\right] \\& (4m^2+4)\left[1+\dfrac{4}{9}(m^2+1)^2\right] \ge 4\left(1+\dfrac{4}{9}\right) \end{aligned}$$ Suy ra $$AB \ge \dfrac{2\sqrt{13}}{3}$$
    $\bullet$ Vậy: Min AB=$ \dfrac{2\sqrt{13}}{3}$. Dấu "=" xảy ra khi $m=0$.
     
    Last edited by a moderator: 19 Tháng tám 2012
  11. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest


    Giải:
    $\bullet$ Ta có: $$y'=3x^2-6x-m$$
    $\bullet$ Để hàm số đạt cực trị khi phương trình $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt. $$\Longleftrightarrow \Delta'=9+3m >0 \Longleftrightarrow m >-3$$ $\bullet$ Vì: $$y=y'.\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{3}\right)-\left(\dfrac{2}{3}m+2\right)x+2-\dfrac{m}{3}$$ Nên phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực tiểu có dạng: $\Delta: y=-\left(\dfrac{2}{3}m+2\right)x+2-\dfrac{m}{3}$
    $\bullet$ Để $\Delta$ tạo với 2 trục tọa độ một tam giác cân $\Longleftrightarrow \Delta$ tạo với Ox một góc $45^0$ hoặc $135^0$, tức là:
    $$\cos \left(\overrightarrow{n_{\Delta}}.\overrightarrow{n_{Ox}}\right)=\bigg|\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigg| \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} m=-\dfrac{3}{2} (N)\\ m=-\dfrac{9}{2}(L) \end{array}\right.$$
     
  12. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Bài 24: Cho hàm số: $$y=x^3-3x^2+m^2x+m$$ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng: $d:y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}.$
     
  13. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Bài 25: Tìm m để hàm số: $y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+mx-1$ đạt cực trị tại $x_1;x_2$ thỏa mãn: $\bigg|x_1-x_2 \bigg| \ge 8$.

    P/S: Lâu lâu cho bài số xấu tí để luyện kĩ năng tính toán cho mấy bạn.
     
  14. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest

    Mình thêm lượng giác vô để đổi mới bài toán tí nha :).

    Bài 26: Tìm m để hàm số: $y=\dfrac{4}{3}x^3-2(1-\sin m)x^2+(1+\cos 2m)x +1$ đạt cực trị tại $x_1;x_2$ thoả mãn: $x^2_1+x^2_2=1$.
     
  15. Bài 27: Cho hàm số $y = x^3 - 3mx+2 (C_m)$. Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng $3\sqrt{2}$. Biết điểm
    I(1; 1).
     
  16. Bài 28: Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2+mx+1 (C_m)$. Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho khoảng cách từ điểm $I(\dfrac{1}{2}; \dfrac{11}{4})$ đến đường thẳng nối hai điểm cực trị đạt giá trị lớn nhất.
     
  17. huutho2408

    huutho2408 Guest

    Cực trị hàm số

    * Ta có:$$y'=3x^2-6x+m^2$$
    * Để Hàm số đạt cực trị thì pt $y'=0$có 2 nghiệm phân biệt:
    $$\Longleftrightarrow \triangle'=9-3m^2>0$$
    $$\Longleftrightarrow -\sqrt{3}<m<\sqrt{3}$$
    * Ta có:$$y=(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3})y'+(\dfrac{2}{3}m^2-2)x+m+\dfrac{m^2}{3}$$
    * Do đó pt đi qua 2 điểm cực trị là:$$y=(\dfrac{2}{3}m^2-2)x+m+\dfrac{m^2}{3}$$
    * Gọi $A(x_1;y_1)$ và $B(x_2;y_2)$

    Thì ta có hoành độ của I là $\dfrac{x_1+x_2}{2}=1$ (trong đó I là trung điểm của AB)
    * Để hàm số có cực đại và cực tiểu đối xưng nhau qua d:
    $$\Longleftrightarrow \begin{cases} (\dfrac{2}{3}m^2-2).\dfrac{1}{2}=-1 & \color{red}{} \\ \dfrac{1}{2}.1-\dfrac{5}{2}=(\dfrac{2}{3}m^2-2).1+m+\dfrac{m^2}{3}& \color{red}{} \end{cases} $$
    $$\Longleftrightarrow m=0$$
    *Vậy $m=0$ thõa mãn ycbt
     
    Last edited by a moderator: 19 Tháng tám 2012
  18. huutho2408

    huutho2408 Guest

    Cực trị hàm số

    * Ta có:$$y'=x^2-2mx+m$$
    * Để Hàm số đạt cực trị thì pt $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt :$x_1;x_2$
    $$\Longleftrightarrow \triangle'=m^2-m>0$$
    $$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} m<0 & \color{red}{} \\ m>1 & \color{red}{} \end{array} \right.$$
    *theo viet ta có:$$ \begin{cases} x_1+x_2=2m & \color{red}{} \\ x_1.x_2=m& \color{red}{} \end{cases} $$
    *Từ giả thiết suy ra:$$\mid x_1-x_2\mid \ge 8$$
    $$\Longleftrightarrow (x_1-x_2)^2\ge 64$$
    $$\Longleftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1.x_2\ge 64$$
    $$\Longleftrightarrow m^2-m-16\ge 0$$
    $$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} m\le \dfrac{1-\sqrt{65}}{2} & \color{red}{} \\ m\ge \dfrac{1+\sqrt{65}}{2} & \color{red}{} \end{array} \right.$$

    *Kết hợp đk ban đầu thì :


    $\left[ \begin{array}{ll} m\le \dfrac{1-\sqrt{65}}{2} & \color{red}{} \\ m\ge \dfrac{1+\sqrt{65}}{2} & \color{red}{} \end{array} \right.$thõa mãn ycbt
     
  19. huutho2408

    huutho2408 Guest

    Cực trị hàm số

    * Ta có:$$y'=4x^2-4(1-\sin m)x+1+\cos2m$$
    * Để Hàm số đạt cực trị thì pt $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt :$x_1;x_2$
    $$\Longleftrightarrow \triangle'=4(\sin m-1)(3\sin m+1)>0$$
    $$\Longleftrightarrow \begin{cases} \sin m\not= 0 & \color{red}{} \\3\sin m+1<0 & \color{red}{} \end{cases} $$
    *theo viet ta có:$$ \begin{cases} x_1+x_2=1-\sin m & \color{red}{} \\ x_1.x_2=\dfrac{1+\cos2m}{4}=\dfrac{\cos^2m}{2}& \color{red}{} \end{cases} $$
    *Từ giả thiết suy ra:$$ x^2_1+x^2_2=1$$
    $$\Longleftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=1$$
    $$\Longleftrightarrow (1-\sin m )^2-\cos^2m=0$$
    $$\Longleftrightarrow 2\sin^2 m-2\sin m-1=0$$
    $$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll}\sin m= \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} & \color{red}{} \\ \sin m= \dfrac{1+\sqrt{3}}{2} & \color{red}{(loại)} \end{array} \right.$$

    *Vậy m thõa mãn biểu thức:$\sin m= \dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$
    $\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} m= arc \sin{\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}}+k2\pi & \color{red}{} \\ m=\pi-arc \sin{\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}}+k2\pi & \color{red}{} \end{array} \right.$

     
    Last edited by a moderator: 19 Tháng tám 2012
  20. jet_nguyen

    jet_nguyen Guest


    Giải:
    $\bullet$ Ta có: $$y'=3x^2-3m.$$ Suy ra: $$y'=0 \Longleftrightarrow x^2=m$$$\bullet$ Để hàm số đạt cực trị khi phương trình $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt $\Longleftrightarrow m > 0$
    $\bullet$ Vậy hàm số đạt cực trị tại $A(\sqrt{m},2-2m\sqrt{m}),B(-\sqrt{m},2+2m\sqrt{m}) \Longrightarrow AB=\sqrt{4m(4m^2+1)}$
    $\bullet$ Vì: $$y=\dfrac{x}{3}.y'-2mx+2$$ Suy ra đường thẳng qua 2 điểm cực trị có dạng: $d:y=-2mx+2$
    $\bullet$ Dễ thấy: $$d(I,AB)=d(I,d)=\dfrac{|2m-1|}{\sqrt{4m^2+1}}$$ $\bullet$ Từ giả thiết ta có:
    $$S_{IAB}=3\sqrt{2}$$$$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}.d(I,AB).AB=3\sqrt{2}$$$$ \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{|2m-1|}{\sqrt{4m^2+1}}.\sqrt{4m(4m^2+1)}=3\sqrt{2}$$$$ \Longleftrightarrow m=2(N) $$
    $\bullet$ Vậy $m=2$ thoả yêu cầu bài toán.
     
    Last edited by a moderator: 19 Tháng tám 2012
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->