Ôn Thi Đại Học 2013.

[truongduong9083]

Bài 38: Cho hàm số: $$y=\dfrac{1}{4}x^4-(3m+1)x^2+2(m+1)$$ Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc toạ độ $O$.

Ta có $y' = x^3 - 2(3m+1)x$
$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x^2 - 2(3m+1) = 0 \end{array} \right.$
$\bullet$ Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là: $m > -\dfrac{1}{3}$
$\bullet$ Gọi 3 điểm cực trị là: $A(0; 2m+2); B(-\sqrt{6m+2}; -9m^2-4m+1); C(\sqrt{6m+2}; -9m^2-4m+1)$
Nhận xét: Tam giác ABC cân tại A, trung tuyến kẻ từ A thuộc trục Oy. Nên O là trọng tâm của tam giác ABC khi $y_A+2y_B = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} m = -\dfrac{2}{3} \\ m = \dfrac{1}{3} \end{array} \right.$
Kiểm tra với điều kiện ta có $m = \dfrac{1}{3}$ thỏa mãn điều kiện bài toán

 

[truongduong9083]

Bài 39: Cho hàm số: $$y=x^4-2mx^2+2$$ Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm $I \left(\dfrac{3}{5};\dfrac{9}{5} \right)$

$y' = 4x^3- 4mx = 4x(x^2-m)$
$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x^2 - m = 0 \end{array} \right.$
$\bullet$ Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là: $m > 0$
$\bullet$ Giả sử 3 điểm cực trị là: $A(0; 2); B(-\sqrt{m}; -m^2+2); C(\sqrt{m}; -m^2+2)$ và điểm $D(\dfrac{3}{5};\dfrac{9}{5})$
Gọi I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Theo giả thiết ta có:
$$\left\{ \begin{array}{l} IA^2=ID^2 \\ IB^2=IC^2\\ IB^2=IA^2 \end{array} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - y+1 = 0 \\ 2x\sqrt{y} = -2x\sqrt{m}\\(x+\sqrt{m})^2+(y+m^2-2)^2=x^2+(y-2)^2 \end{array} \right.$$
Giải hệ phương trình này ta tìm được $m = 0$ và $m = 1$
So sánh với điều kiện thì $m = 1$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

 

[truongduong9083]

Bài 37: Cho hàm số: $$y=x^4-2(m^2-m+1)x^2+m-1$$ Tìm m để khoảng cách giữa 2 điểm cực tiểu nhỏ nhất.

Ta có $y' = 4x[x^2-(m^2-m+1)]$
Do $m^2-m+1 > 0$ với $\forall m$
Nên $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = -\sqrt{m^2-m+1}\\ x = \sqrt{m^2-m+1}\end{array} \right.$
$\bullet$ Lập bảng xét dấu ý ta thấy hai điểm cực tiểu tương ứng tại các giá trị $x = -\sqrt{m^2-m+1}$ và $x = \sqrt{m^2-m+1}$
Gọi các điểm cực tiểu là: $A(-\sqrt{m^2-m+1}; m-1 - (m^2-m+1)^2); B(-\sqrt{m^2-m+1}; m-1 -(m^2-m+1)^2)$
$\Rightarrow AB^2 = 4(m^2-m+1) = 4(m - \dfrac{1}{2})^2+3 \geq 3$
Vậy $MinAB = \sqrt{3}$ khi $m = \dfrac{1}{2}$
$\bullet$ Kết luận: Vậy $m = \dfrac{1}{2}$ là giá trị cần tìm của bài toán

 

[jet_nguyen]

Bài 36: Cho hàm số: $$y=x^4+(m+3)x^3+2(m+1)x^2$$ Chứng minh rằng \forall $m \ne -1$ hàm số luôn có cực đại đồng thời $x_{CĐ} \le 0$

Giải:
​

$( * )$ $ y'=4x^3+3(m+3)x^2+4(m+1)x=x[4x^2+3(m+3)x+4(m+1)= x.g(x)$

$( * )$ Ta có: $\Delta_g=9m^2-10m+17 >0$ \forall $m \ne -1$
Suy ra $g(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ thoả mãn: $x_1x_2=m+1, x_1+x_2=\dfrac{-3(m+3)}{4} \ne 0$ \forall $m \ne -1$
$\Longrightarrow $ $y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt $0,x_1,x_2$.

$\bullet$ Biện luận:

• Nếu $m< -1$ thì $x_1x_2=m+1 <0 \Longrightarrow x_1<0<x_2$, kết hợp với bảng biến thiên ta sẽ suy ra được $x_{CĐ} =0$
• Nếu $m>-1$ thì $x_1x_2=m+1 >0$ và $x_1+x_2=\dfrac{-3(m+3)}{4} <0$
  $ \Longrightarrow x_1<x_2<0$, kết hợp với bảng biến thiên ta sẽ suy ra được $x_{CĐ} =x_2 <0$

$( * )$ Vậy: \forall $m \ne -1$ hàm số luôn có cực đại đồng thời $x_{CĐ} \le 0$

 

[jet_nguyen]

Mình xin được chuyển qua dạng Tiếp Tuyến và dạng Tương Giao.

Bài 40: Tìm m để $(C_m): y=x^3-3(m+1)x^2+2(m^2+4m+1)x-4m(m+1)$ cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1.

 

[jet_nguyen]

Bài 41: Tìm m để $(C_m): y=x^3-3mx^2+3(m^2-1)x+1-m^2$ cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 0.

P/s: Bài này giống dạng bài 40 nhưng phương pháp khác và khó hơn.

 

[jet_nguyen]

Bài 42: Tìm m để $(C_m): y=x^3-3x^2+3(1-m)x+1+3m$ cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thoả: $x_1<1<x_2<x_3$.

 

[jet_nguyen]

Bài 43: Cho $(C_m):y=x^3+mx^2-m-1$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C_m)$ tại các điểm cố định mà $(C_m)$ đi qua.

 

[jet_nguyen]

Bài 44: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua $A(0,-1)$ đến $y=2x^3+3x^2-1$.

 

[jet_nguyen]

Mình xin được chuyển qua dạng Tiếp Tuyến và dạng Tương Giao.

Bài 40: Tìm m để $(C_m): y=x^3-3(m+1)x^2+2(m^2+4m+1)x-4m(m+1)$ cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1.

Giải:
​

Ta xét phương trình: $$x^3-3(m+1)x^2+2(m^2+4m+1)x-4m(m+1)=0$$$$ \Longleftrightarrow (x-2)[x^2-(3m+1)x+2m(m+1)]=0$$$$ \Longleftrightarrow (x-2)(x-2m)[x-(m+1)]=0$$ Để thoả yêu cầu bài toán khi: $$ \left\{\begin{array}{1} 2 \ne 2m \ne m+1 \\ 2m> 1\\ m+1 >1 \end{array}\right.$$$$ \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2} < m \ne 1. $$

 

[adriana_nhuy]

Bài 44: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua $A(0,-1)$ đến $y=2x^3+3x^2-1$.

Phương trình tiếp tuyến qua $A(0,-1)$ có hệ số góc $k$: $y=kx-1 (\Delta)$
$ (\Delta)$ là tiếp tuyến của (C)$$\Leftrightarrow \begin{cases}2x^{3}+2x^{2}-1=kx-1 (1) \\ 6x^{2}+6x=k (2) \end{cases} $$ có nghiệm

Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được:
$$2x^{3}+2x^{2}-1=(6x^{2}+6x)x-1$$
$$\Leftrightarrow 4x^{3}+3x^{2}=0$$
$\Leftrightarrow x=0 \Rightarrow k=0$(loại) hoặc $x=-\frac{3}{4}\Rightarrow k=-\dfrac{9}{8}$ (nhận)

Vậy PTTT : $$y= -\frac{9x}{8} -1$$

 

[jet_nguyen]

Bài 41: Tìm m để $(C_m): y=x^3-3mx^2+3(m^2-1)x+1-m^2$ cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 0.

P/s: Bài này giống dạng bài 40 nhưng phương pháp khác và khó hơn.

Giải:​

$\bullet$ Đặt: $$y=f(x)=x^3-3mx^2+3(m^2-1)x+1-m^2$$
$\bullet$ Để thoả mãn yêu cầu bài toán khi:
$$(I) \left\{\begin{array}{1}y'=0 \,\ \text{có nghiệm} \,\ x_1 <x_2 \,\ (1)\\ f_{CĐ}f_{CT}=f_{x_1}f_{x_2} <0 \,\ (2)\\ x_1=x_{CĐ} >0 \,\ (3)\\ f(0)<0 \,\ (4) \end{array}\right.$$
$\bullet$ Giờ ta qua xử lý từng điều kiện cho đơn giản:

• Với (1): $y'=3(x^3-2mx+m^2-1)=0 \Longleftrightarrow g(x)=x^3-2mx+m^2-1=0$
  $\Longleftrightarrow x_1=m-1;x_2=m+1$
  
  [*]Với (2) ta có: $y=(x-m)g(x)-2x+(m^2-1)(m-1)$
  Suy ra đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có dạng: $d:y=-2x+(m^2-1)(m-1)$
  Vậy: $f_{CĐ}f_{CT}=f_{x_1}f_{x_2}=(m^2-1)(m^2-3)(m^2-2m-1)$
  
  
  [*]Với (3) và (4): $x_1=m-1 >0 \Longleftrightarrow m>1;f(0)=1-m^2<0 \Longleftrightarrow m^2>0$

$\bullet $Vậy: $$(I) \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} (m^2-1)(m^2-3)(m^2-2m-1)<0 \\ m-1>0 \end{array}\right. \Longleftrightarrow \sqrt{3}< m< 1+\sqrt{2}$$

P/s: Bài này chắc làm cho biết dạng thôi, chứ đi thi mà ra thì ... :-SS

 

[jet_nguyen]

Bài 42: Tìm m để $(C_m): y=x^3-3x^2+3(1-m)x+1+3m$ cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thoả: $x_1<1<x_2<x_3$.

Giải:
​

$\bullet$ Đặt: $$y=f(x)=x^3-3x^2+3(1-m)x+1+3m$$
$\bullet$ Ta xét phương trình: $$x^3-3x^2+3(1-m)x+1+3m=0$$$$\Longleftrightarrow x^3-3x^2+3x+1=3m(x-1)$$$\bullet$ Dễ thấy $x=1$ không thoả phương trình nên ta có: $$g(x)=\dfrac{x^3-3x^2+3x+1}{3(x-1)}=m$$ Tính được: $$g'(x)=\dfrac{2(x-2)(x^2-x+1)}{3(x-1)^2}$$ Suy ra $g'(x)=0 \Longleftrightarrow x=2$
$\bullet$ Vì nghiệm của phương trình $f(x)=0$ là hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=m$ với $(H): y=g(x)$, nên lập bảng biến thiên thì ta dễ dàng suy ra được: để Ox cắt $(C_m) $ tại 3 điểm phân biệt thoả $x_1<1<x_2<x_3$ khi :$$3m>3 \Longleftrightarrow m>1$$

 

[truongduong9083]

Bài 45: Cho hàm số $y = x^3- 3x+2 (C)$. Viết phương trình đường thẳng d cắt hàm số (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C. Biết $x_A = 2; BC = 2\sqrt{2}$

 

[truongduong9083]

Bài 46: Cho hàm số $y = \dfrac{4}{3}x^3- (2m+1)x^2+(m+2)x+\dfrac{1}{3} (C)$. Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của $(C_m)$ với trục tung cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng $\dfrac{1}{18}$.

 

[jet_nguyen]

Bài 43: Cho $(C_m):y=x^3+mx^2-m-1$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C_m)$ tại các điểm cố định mà $(C_m)$ đi qua.

Giải:​

$\bullet$ Gọi $M(x,y)$ là điểm cố định mà $(C_m)$ đi qua
$$\begin{aligned} &\Longrightarrow y=x^3+mx^2-m-1 \\& \Longrightarrow m(x^2-1)+x^3-y-1=0 \\& \Longrightarrow \left\{\begin{array}{1} x^2-1=0 \\ x^3-y-1=0 \end{array}\right. \\& \Longrightarrow \left[\begin{array}{1} \left\{\begin{array}{1} x=1 \\ y=0 \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{1} x=-1 \\ y=-2 \end{array}\right. \end{array}\right. \end{aligned}.$$ $\bullet$ Vậy $(C_m)$ đi qua 2 điểm cố định: $M_1(1,0);M_2(-1,-2)$
$\bullet$ Ta có: $$y'=3x^2+2mx$$ $\bullet$ Vậy có 2 tiếp tuyến thoả yêu cầu bài toán:
$$\Delta_1: y=(2m+3)x-(2m+3)$$$$\Delta_2: y=(-2m+3)x-(2m-1)$$

 

[truongduong9083]

Bài 47: Cho hàm số $y = \dfrac{2x}{x-2}(C)$. Viết phương tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy tại các điểm A, B sao cho: $AB = \sqrt{2}OA$

 

[truongduong9083]

Bài 48: Cho hàm số $y = \dfrac{x}{x-1}(C)$. Viết phương tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bằng $2(2+\sqrt{2})$

 

[truongduong9083]

Bài 49: Cho hàm số $y = \dfrac{2x-1}{x+1}(C)$. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tìm trên đồ thị (C) điểm M có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị (C) cắt các đường tiệm cận tại A và B thoả mãn: $IA^2+IB^2 = 40$.

 

[truongduong9083]

Bài 50: Cho hàm số $y = \dfrac{x-2}{x+1}(C)$. Viết phương tiếp tuyến của hàm số biết tiếp tuyến cắt các đường tiệm cận tại các điểm A, B sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB là lớn nhất (Với I là giao điểm của hai đường tiệm cận).