Ôn Thi Đại Học 2013.

[smileandhappy1995]

Bài 20: Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3- \dfrac{5}{2}mx^2-4mx-4(C_m)$. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại $x_1; x_2$ sao cho biểu thức
$A = \dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1+12m}{m^2}$ đạt GTNN.

$ta có : $y'=x^2 -5mx-4m$
để hàm số có 2 cực trị $x_1, x_2$ thì pt y' =0 phải có 2 nghiệm $x_1,x_2$ phân biệt
$\delta$ >0 \Leftrightarrow25m^2 + 16m >0 \Leftrightarrow m>0 hoặc m< $\dfrac{-16}{25}$
khi đó ta có : $x_1 + x_2 =5m$ và$x_1.x_2=-4m$
$A = \dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1+12m}{m^2}$
quy đồng lên rồi thay $x_1 + x_2 =5m$và $x_1.x_2=-4m$ vào và giải tiếp

 

[smileandhappy1995]

Bài 21: Cho hàm số $y = x^3+mx^2+7x+3 (C_m)$. Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng $d: y = 3x - 7$.

ta có : $y'= 3x^2 + 2mx +7$
ta chia y cho y' => đt đi qua 2 điểm cực trị là $\delta =\dfrac{14}{3}x - \dfrac{2}{9}mx + 3- \dfrac{7}{9}m$
$\delta$vuông góc vs d \Rightarrow$k_{\delta}=-\dfrac{1}{3}$
\Rightarrow m=$\dfrac{45}{2}$

p/s: không biết chia có đúng không nữa :-SS

 

[huutho2408]

Chuyên đề hàm số

Bài 20: Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3- \dfrac{5}{2}mx^2-4mx-4(C_m)$. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại $x_1; x_2$ sao cho biểu thức
$A = \dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1+12m}{m^2}$ đạt GTNN.

Bạn smileandhappy1995 đã làm nhưng chua ra kết quả cuối cùng

Vậy em xin làm:

Ta có:$$y'=x^2-5mx-4m$$
PT $y'=0$ có $\triangle=25m^2+16m$
Hàm số có cực đại cực tiểu thì:$$\Longleftrightarrow \triangle>0$$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} m<-\dfrac{16}{25} & \color{red}{} \\ m>0 & \color{red}{} \end{array} \right.$$
Ta có:$x_1+x_2=5m$

Theo giả thiết ta có:
$A=\dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_1^2+5mx_2+12m}{m^2}$

$=\dfrac{m^2}{[(x_1^2-5mx_1-4m)+5m(x_1+x_2)+16m]}+\dfrac{[(x_2^2-5mx_2-4m)+5m(x_1+x_2)+16m]}{m^2}$

$=\dfrac{m^2}{5m(x_1+x_2)+16m}+\dfrac{5m(x_1+x_2)+16m}{m^2}$

$=\dfrac{m^2}{25m^2+16m}+\dfrac{25m^2+16m}{m^2}$

$=\dfrac{m}{25m+16}+\dfrac{25m+16}{m}$

Lập BBT Trên $(-$ \infty$;-\dfrac{16}{25})$ $\cup$ $(0;+$\infty$)$

Ta có: $A_{min}=A_{(-\frac{2}{3})}=2$

Vậy $m=-\dfrac{2}{3}$ thì A đạt GTNN

 

[truongduong9083]

Bài 18: Cho hàm số [TEX]y = 2x^3 - 3(2m + 1)x^2 + 6m(m + 1)x + 1[/TEX].Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu,đồng thời 2 điểm cực trị của đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x + 2.

Ta có $y' = 6[x^2-(2m+1)x+m(m+1)]$
$\bullet$ $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = m \\ x = m+1 \end{array} \right.$
Phương trình y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt, và dấu ý đổi dấu qua các nghiệm nên hàm số luôn có hai điểm cực đại và cực tiểu
$\bullet$ Giả sử hai điểm cực trị là: $A(m+1, 2m^3+3m^2); B(m; 2m^3+3m^2+1)$ $\Rightarrow I(\dfrac{2m+1}{2}; \dfrac{4m^3+6m^2+1}{2}); \vec{AB} = (-1; 1)$ (Với I là trung điểm của AB)
Do $\vec{AB}.\vec{u_d} = 0$. Nên điều kiện để hai điểm A, B đối xứng qua đường thẳng d: x - y + 2 = 0 là:
$I\in d$
$\Rightarrow \dfrac{4m^3+6m^2+1}{2} = \dfrac{2m+1}{2}+2$
$\Leftrightarrow 2m^3+3m^2-m-2=0$
$\Leftrightarrow (m+1)(2m^2+m-2) = 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = -1 \\ m = \dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}\\ m = \dfrac{-1-\sqrt{17}}{4} \end{array} \right.$

 

[truongduong9083]

Bài 22: Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3-mx^2-x+m+1 (C_m)$. Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm CĐ và CT là nhỏ nhất.

 

[jet_nguyen]

Mình xin kết thúc phần Tính đơn Điệu Của Hàm Số để chúng ta sẽ cùng sang phần Cực Trị của Hàm số.

Mở đầu phần này là một bài toán cơ bản.​

Bài 13: Tìm m để hàm số $y=\dfrac{1}{3}x^3+(m^2-m+2)x^2+(3m^2+1)x+m-5$ đạt cực tiểu tại $x=-2$

P/s: Bài này không khó nhưng dễ mất điểm do trình bày không chặt chẽ, vì vậy mấy bạn trình bày bài này kĩ giúp mình nhé.

Giải:
​

( * ) Ta có:
$\bullet$ $y'=x^2+2(m^2-m+2)x+3m^2+1$
$\bullet$ $y''=2x+2(m^2-m+2)$
( * )Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại $x=-2$ là:
$$y'(-2)= 0 \Longleftrightarrow -m^2+4m-3=0 \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} m=3 \\ m=1 \end{array}\right.$$( * ) Với $m=3$ thì ta đã có: $y'(-2)= 0$
$\bullet$ Mặt khác: $$y''(-2)=12 >0$$ Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x=-2$
( * ) Với $m=1$ thì ta có: $y'=x^2+4x+4=(x+2)^2 \ge 0$ \forall $x \in R$ Suy ra hàm số đồng biến trên $R$.
( * ) Vậy $m=3$ thỏa yêu cầu bài toán.

 

[truongduong9083]

Bài 23: Cho hàm số $y = x^3-3x^2-mx+2 (1)$. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm CT sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.

 

[jet_nguyen]

Bài 15: Cho hàm số $y = 2x^3+9mx^2+12m^2x+1 (C_m)$. Tìm m để hàm số có cực đại tại $x_{CĐ}$, cực tiểu tại $x_{CT}$ thỏa mãn điều kiện: $x_{CĐ}^2 = x_{CT}$.

Giải:
​

$\bullet$ Ta có:
$$y'=6x^2+18mx+12m^2$$ $\bullet$ Để hàm số có cực trị khi phương trình $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt.
$$ \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} a=6 \ne 0 \\ \Delta '=(9m)^2-6.12m^2 >0 \end{array}\right. \Longleftrightarrow 9m^2 >0 \Longleftrightarrow m \ne 0 ( * )$$ $\bullet$ Khi đó phương trình $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt: $x_1=-m; x_2=-2m$
$\bullet$ Theo yêu cầu đề bài và điều kiện ( * ) ta có:
$$\left[\begin{array}{1} \left\{\begin{array}{1} m>0 \\(-2m)^2= -m\end{array}\right.(L) \\\left\{\begin{array}{1} m<0 \\(-m)^2=-2m \end{array}\right. \end{array}\right. \Longleftrightarrow m=-2 (N)$$

 

[jet_nguyen]

Bài 21: Cho hàm số $y = x^3+mx^2+7x+3 (C_m)$. Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng $d: y = 3x - 7$.

Giải:
​

$\bullet$ Ta có:
$$y'=3x^2+2mx+7$$$\bullet$ Để hàm số có cực trị khi phương trình $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt. $$\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{1} a=3 \ne 0 \\ \Delta'=m^2-3.7 >0 \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left [\begin{array}{1} m>\sqrt{21} \\ m<-\sqrt{21} \end{array}\right. ( * )$$ $\bullet$ Vì: $$y=y'\left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{m}{9}\right)+\left(\dfrac{14}{3}- \dfrac{2}{9} m^2\right)x+3-\dfrac{7}{9}m$$ Do đó đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có dạng: $\Delta: y=\dfrac{40}{9}m^2x+3-\dfrac{7}{9}m$
$\bullet$ Để $\Delta \perp d$$$\Longleftrightarrow\left(\dfrac{14}{3}- \dfrac{2}{9} m^2\right) . 3=-1$$$$\Longleftrightarrow m=^+_-\dfrac{3\sqrt{10}}{2}(N)$$

 

[jet_nguyen]

Bài 22: Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3-mx^2-x+m+1 (C_m)$. Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm CĐ và CT là nhỏ nhất.

Giải:
​

$\bullet$ Vì $y'=x^2-2mx-1$ có $\Delta'=m^2+1 >0$ \forall$m\in R$ nên phương trình $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ do đó hàm số đạt cực trị tại 2 điểm $A(x_2,y_1);B(x_2,y_2)$.
$\bullet$ Ta có:
$$y=y'\left[\dfrac{1}{3}(x-m)\right]-\dfrac{2}{3}(m^2+1)x+\dfrac{2}{3}m+1$$$\bullet$ Do: $y'(x_1)=y'(x_2)=0$ nên:
$$y_1=-\dfrac{2}{3}(m^2+1)x_1+\dfrac{2}{3}m+1$$$$y_2=-\dfrac{2}{3}(m^2+1)x_2+\dfrac{2}{3}m+1$$ $\bullet$ Vì thế:
$$\begin{aligned}AB^2&=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \\& =(x_2-x_1)^2+\dfrac{4}{9}(m^2+1)^2(x_2-x_1)^2 \\& [(x_2-x_1)^2-4x_1x_2]\left[1+\dfrac{4}{9}(m^2+1)^2\right] \\& (4m^2+4)\left[1+\dfrac{4}{9}(m^2+1)^2\right] \ge 4\left(1+\dfrac{4}{9}\right) \end{aligned}$$ Suy ra $$AB \ge \dfrac{2\sqrt{13}}{3}$$ $\bullet$ Vậy: Min AB=$\dfrac{2\sqrt{13}}{3}$. Dấu "=" xảy ra khi $m=0$.

 

[jet_nguyen]

Bài 23: Cho hàm số $y = x^3-3x^2-mx+2 (1)$. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm CT sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.

Giải:
$\bullet$ Ta có: $$y'=3x^2-6x-m$$ $\bullet$ Để hàm số đạt cực trị khi phương trình $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt. $$\Longleftrightarrow \Delta'=9+3m >0 \Longleftrightarrow m >-3$$ $\bullet$ Vì: $$y=y'.\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{3}\right)-\left(\dfrac{2}{3}m+2\right)x+2-\dfrac{m}{3}$$ Nên phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực tiểu có dạng: $\Delta: y=-\left(\dfrac{2}{3}m+2\right)x+2-\dfrac{m}{3}$
$\bullet$ Để $\Delta$ tạo với 2 trục tọa độ một tam giác cân $\Longleftrightarrow \Delta$ tạo với Ox một góc $45^0$ hoặc $135^0$, tức là:
$$\cos \left(\overrightarrow{n_{\Delta}}.\overrightarrow{n_{Ox}}\right)=\bigg|\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigg| \Longleftrightarrow \left[\begin{array}{1} m=-\dfrac{3}{2} (N)\\ m=-\dfrac{9}{2}(L) \end{array}\right.$$

 

[jet_nguyen]

Bài 24: Cho hàm số: $$y=x^3-3x^2+m^2x+m$$ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng: $d:y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}.$

 

[jet_nguyen]

Bài 25: Tìm m để hàm số: $y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+mx-1$ đạt cực trị tại $x_1;x_2$ thỏa mãn: $\bigg|x_1-x_2 \bigg| \ge 8$.

P/S: Lâu lâu cho bài số xấu tí để luyện kĩ năng tính toán cho mấy bạn.

 

[jet_nguyen]

Mình thêm lượng giác vô để đổi mới bài toán tí nha .

Bài 26: Tìm m để hàm số: $y=\dfrac{4}{3}x^3-2(1-\sin m)x^2+(1+\cos 2m)x +1$ đạt cực trị tại $x_1;x_2$ thoả mãn: $x^2_1+x^2_2=1$.

 

[truongduong9083]

Bài 27: Cho hàm số $y = x^3 - 3mx+2 (C_m)$. Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng $3\sqrt{2}$. Biết điểm
I(1; 1).

 

[truongduong9083]

Bài 28: Cho hàm số $y = x^3 - 3x^2+mx+1 (C_m)$. Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho khoảng cách từ điểm $I(\dfrac{1}{2}; \dfrac{11}{4})$ đến đường thẳng nối hai điểm cực trị đạt giá trị lớn nhất.

 

[huutho2408]

Cực trị hàm số

Bài 24: Cho hàm số: $$y=x^3-3x^2+m^2x+m$$ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng: $d:y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}.$

* Ta có:$$y'=3x^2-6x+m^2$$
* Để Hàm số đạt cực trị thì pt $y'=0$có 2 nghiệm phân biệt:
$$\Longleftrightarrow \triangle'=9-3m^2>0$$
$$\Longleftrightarrow -\sqrt{3}<m<\sqrt{3}$$
* Ta có:$$y=(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3})y'+(\dfrac{2}{3}m^2-2)x+m+\dfrac{m^2}{3}$$
* Do đó pt đi qua 2 điểm cực trị là:$$y=(\dfrac{2}{3}m^2-2)x+m+\dfrac{m^2}{3}$$
* Gọi $A(x_1;y_1)$ và $B(x_2;y_2)$

Thì ta có hoành độ của I là $\dfrac{x_1+x_2}{2}=1$ (trong đó I là trung điểm của AB)
* Để hàm số có cực đại và cực tiểu đối xưng nhau qua d:
$$\Longleftrightarrow \begin{cases} (\dfrac{2}{3}m^2-2).\dfrac{1}{2}=-1 & \color{red}{} \\ \dfrac{1}{2}.1-\dfrac{5}{2}=(\dfrac{2}{3}m^2-2).1+m+\dfrac{m^2}{3}& \color{red}{} \end{cases}$$
$$\Longleftrightarrow m=0$$
*Vậy $m=0$ thõa mãn ycbt

 

[huutho2408]

Cực trị hàm số

Bài 25: Tìm m để hàm số: $y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+mx-1$ đạt cực trị tại $x_1;x_2$ thỏa mãn: $\bigg|x_1-x_2 \bigg| \ge 8$.

P/S: Lâu lâu cho bài số xấu tí để luyện kĩ năng tính toán cho mấy bạn.

* Ta có:$$y'=x^2-2mx+m$$
* Để Hàm số đạt cực trị thì pt $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt :$x_1;x_2$
$$\Longleftrightarrow \triangle'=m^2-m>0$$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} m<0 & \color{red}{} \\ m>1 & \color{red}{} \end{array} \right.$$
*theo viet ta có:$$\begin{cases} x_1+x_2=2m & \color{red}{} \\ x_1.x_2=m& \color{red}{} \end{cases}$$
*Từ giả thiết suy ra:$$\mid x_1-x_2\mid \ge 8$$
$$\Longleftrightarrow (x_1-x_2)^2\ge 64$$
$$\Longleftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1.x_2\ge 64$$
$$\Longleftrightarrow m^2-m-16\ge 0$$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} m\le \dfrac{1-\sqrt{65}}{2} & \color{red}{} \\ m\ge \dfrac{1+\sqrt{65}}{2} & \color{red}{} \end{array} \right.$$

*Kết hợp đk ban đầu thì :

$\left[ \begin{array}{ll} m\le \dfrac{1-\sqrt{65}}{2} & \color{red}{} \\ m\ge \dfrac{1+\sqrt{65}}{2} & \color{red}{} \end{array} \right.$thõa mãn ycbt

 

[huutho2408]

Cực trị hàm số

Mình thêm lượng giác vô để đổi mới bài toán tí nha .

Bài 26: Tìm m để hàm số: $y=\dfrac{4}{3}x^3-2(1-\sin m)x^2+(1+\cos 2m)x +1$ đạt cực trị tại $x_1;x_2$ thoả mãn: $x^2_1+x^2_2=1$.

* Ta có:$$y'=4x^2-4(1-\sin m)x+1+\cos2m$$
* Để Hàm số đạt cực trị thì pt $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt :$x_1;x_2$
$$\Longleftrightarrow \triangle'=4(\sin m-1)(3\sin m+1)>0$$
$$\Longleftrightarrow \begin{cases} \sin m\not= 0 & \color{red}{} \\3\sin m+1<0 & \color{red}{} \end{cases}$$
*theo viet ta có:$$\begin{cases} x_1+x_2=1-\sin m & \color{red}{} \\ x_1.x_2=\dfrac{1+\cos2m}{4}=\dfrac{\cos^2m}{2}& \color{red}{} \end{cases}$$
*Từ giả thiết suy ra:$$x^2_1+x^2_2=1$$
$$\Longleftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=1$$
$$\Longleftrightarrow (1-\sin m )^2-\cos^2m=0$$
$$\Longleftrightarrow 2\sin^2 m-2\sin m-1=0$$
$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll}\sin m= \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} & \color{red}{} \\ \sin m= \dfrac{1+\sqrt{3}}{2} & \color{red}{(loại)} \end{array} \right.$$

*Vậy m thõa mãn biểu thức:$\sin m= \dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$
$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} m= arc \sin{\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}}+k2\pi & \color{red}{} \\ m=\pi-arc \sin{\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}}+k2\pi & \color{red}{} \end{array} \right.$

 

[jet_nguyen]

Bài 27: Cho hàm số $y = x^3 - 3mx+2 (C_m)$. Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng $3\sqrt{2}$. Biết điểm I(1; 1).

Giải:
​

$\bullet$ Ta có: $$y'=3x^2-3m.$$ Suy ra: $$y'=0 \Longleftrightarrow x^2=m$$$\bullet$ Để hàm số đạt cực trị khi phương trình $y'=0$ có 2 nghiệm phân biệt $\Longleftrightarrow m > 0$
$\bullet$ Vậy hàm số đạt cực trị tại $A(\sqrt{m},2-2m\sqrt{m}),B(-\sqrt{m},2+2m\sqrt{m}) \Longrightarrow AB=\sqrt{4m(4m^2+1)}$
$\bullet$ Vì: $$y=\dfrac{x}{3}.y'-2mx+2$$ Suy ra đường thẳng qua 2 điểm cực trị có dạng: $d:y=-2mx+2$
$\bullet$ Dễ thấy: $$d(I,AB)=d(I,d)=\dfrac{|2m-1|}{\sqrt{4m^2+1}}$$ $\bullet$ Từ giả thiết ta có:
$$S_{IAB}=3\sqrt{2}$$$$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}.d(I,AB).AB=3\sqrt{2}$$$$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{|2m-1|}{\sqrt{4m^2+1}}.\sqrt{4m(4m^2+1)}=3\sqrt{2}$$$$\Longleftrightarrow m=2(N)$$$\bullet$ Vậy $m=2$ thoả yêu cầu bài toán.