Nhóm Toán 10

[duynhan1]

ANh ơi cho em hỏi [TEX]a,b,c \in [0,1][/TEX] hay [TEX][0,2][/TEX] ạ ! .

Ký hiệu [TEX](0;2)[/TEX] nghĩa là các số nằm giữa 0 và 2 không tính 2 số 0 và 2

 

[hotgirlthoiacong]

Thêm một bài nữa!!
Cho [TEX]a;b;c \in (0;2)[/TEX] thỏa [TEX]a+b+c+abc=4[/TEX]
Chứng minh BDT : [TEX]\sqrt{4-a^2} + \sqrt{4-b^2} + \sqrt{4-c^2} \leq 3\sqrt{3}[/TEX]

ta có :0\leqa\leq2 \Rightarrow a(a-2)\leq0 \Leftrightarrowa^2 -2a \leq0
0\leqb\leq2\Rightarrow b^2-2b\leq0
0\leqc\leq2\Rightarrowc^2-2c\leq0
chịu c0si chỉ dùng khi \geq0 thôi mà

 

[duynhan1]

ta có :0\leqa\leq2 \Rightarrow a(a-2)\leq0 \Leftrightarrowa^2 -2a \leq0
0\leqb\leq2\Rightarrow b^2-2b\leq0
0\leqc\leq2\Rightarrowc^2-2c\leq0
chịu c0si chỉ dùng khi \geq0 thôi mà

bài này hơi khó, mình làm cũng không biết có được không nhưng sách có giải nên lật ra xem, thấy hay post cho mọi người giải thử

 

[bigbang195]

bài này hơi khó, mình làm cũng không biết có được không nhưng sách có giải nên lật ra xem, thấy hay post cho mọi người giải thử

do $$a,b,c \in (0,1)$$,[TEX](a-1)(b-1)(c-1) \le 0[/TEX]
hay [TEX]abc+(a+b+c)-(ab+bc+ac)-1 \le 0 \Leftrightarrow 3 \le (ab+bc+ac)[/TEX]
theo cauchy-Schwarz:
[TEX]VT^2 \le 3(4-\sum a^2) \le 3[4-\sum ab] \le 3[12-3] =27[/TEX]
[TEX] VT \le 3 \sqrt{3}[/TEX]
[TEX]a,b,c \in(1,2)[/TEX]
[TEX]VT \le \sum \sqrt{4-1}=3\sqrt{3}[/TEX]

 

[duynhan1]

do $$a,b,c \in (0,2)$$,[TEX]a-2)(b-2)(c-2) \ge 0[/TEX]

Em viết lộn dấu rồi kìa
Đi thi mà như thế này coi chừng họ gạch cả bài
Lúc đầu anh cứ tưởng em làm sai đó cẩn thận nghen
$$a,b,c \in (0,2)$$
\Rightarrow[TEX]a-2\leq0\\b-2\leq0\\c-2\leq0[/TEX]
\Rightarrow[TEX](a-2)(b-2)(c-2)\leq0[/TEX]

 

[bigbang195]

em ko giải theo $$(a-2)(b-2)(c-2)$$ em sửa thành 2 khúc rùi. Theo nguyên lí phân rã. Sách giải thế nào anh !

 

[duynhan1]

do $$a,b,c \in (0,1)$$,[TEX](a-1)(b-1)(c-1) \ge 0[/TEX]

Nói rồi sao ko sửa [TEX](a-1)(b-1)(c-1) \leq 0[/TEX]
=((=((=((

 

[duynhan1]

em ko giải theo $$(a-2)(b-2)(c-2)$$ em sửa thành 2 khúc rùi. Theo nguyên lí phân rã. Sách giải thế nào anh !

ta dễ dàng chứng minh :
[TEX]ab+bc+ca+abc=4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{a+2} + \frac{1}{b+2} + \frac{1}{c+2} =1 [/TEX]
Với mọi [TEX]x \in (0;2)[/TEX], theo co si ta có :
[TEX](x+2)^2 (4-x^2) = (x+2)(x+2)(2-x)(2+x) = \frac{1}{3}(x+2)(x+2)(x+2)(6-3x) \leq \frac{1}{3} [\frac{3(x+2) + (6-3x)}{4}]^4=27[/TEX]
Do đó : [TEX]\sqrt{4-x^2} \leq \frac{3\sqrt{3}}{x+2}[/TEX]
Áp dụng cho a,b,c và chú ý ta có đpcm

 

[chinhphuc_math]

ta có :0\leqa\leq2 \Rightarrow a(a-2)\leq0 \Leftrightarrowa^2 -2a \leq0
0\leqb\leq2\Rightarrow b^2-2b\leq0
0\leqc\leq2\Rightarrowc^2-2c\leq0
chịu c0si chỉ dùng khi \geq0 thôi mà

sai rùi khi z,b,c thuộc khoảng từ 0-->2 thì lun dương rùi dùng cô si lun vẫn đúng

 

[hotgirlthoiacong]

ừ ha!! đúng nhùi !!
thế là vẫn đúng cứ k sai, để em giải tiếp xem sao

 

[bigbang195]

ta dễ dàng chứng minh :
[TEX]ab+bc+ca+abc=4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{a+2} + \frac{1}{b+2} + \frac{1}{c+2} =1 [/TEX]
Với mọi [TEX]x \in (0;2)[/TEX], theo co si ta có :
[TEX](x+2)^2 (4-x^2) = (x+2)(x+2)(2-x)(2+x) = \frac{1}{3}(x+2)(x+2)(x+2)(6-3x) \leq \frac{1}{3} [\frac{3(x+2) + (6-3x)}{4}]^4=27[/TEX]
Do đó : [TEX]\sqrt{4-x^2} \leq \frac{3\sqrt{3}}{x+2}[/TEX]
Áp dụng cho a,b,c và chú ý ta có đpcm

em ko hiểu cách làm này anh giải thích em hiểu cái
[TEX]\frac{1}{a+2} + \frac{1}{b+2} + \frac{1}{c+2} =1[/TEX] mà anh viết sai [TEX]a+b+c+abc=4 [/TEX]ko phải [TEX]ab+bc+ac+abc=4[/TEX]

Bài nữa đi anh !

 

[hotgirlthoiacong]

$$(a-2)(b-2)(c-2)<0$$
\Leftrightarrow$$abc-2(bc+ac+ab)+4(c+b+c)-8<0$$
\Leftrightarrow$$abc-[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]-8+abc<0$$
\Leftrightarrow
po' khung qa'\sum_{i=1}^k a_i^n cái dấu này nghĩa là ji` tác dụng ??

 

[duynhan1]

Cho [TEX]a,b,c[/TEX]là các số thực dương thỏa [TEX]abc=1[/TEX]
CM: [TEX](a-1 + \frac{1}{b})(b-1 + \frac{1}{c})(c-1 + \frac{1}{a})\leq1[/TEX]

 

[bigbang195]

Cho [TEX]a,b,c[/TEX]là các số thực dương thỏa [TEX]abc=1[/TEX]
CM: [TEX](a-1 + \frac{1}{b})(b-1 + \frac{1}{c})(c-1 + \frac{1}{a})\leq1[/TEX]

do [TEX]abc=1[/TEX] .Ta đặt [TEX] a=\frac{x}{y} ,b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}[/TEX]
BDT tương đương
[TEX]xyz \ge (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)[/TEX]
Schur Inequality !

 

[bigbang195]

bài tiếp đi anh.
Bài khác nè:Cực hay
[TEX]a,b,c>0[/TEX]
Chứng minh:
[TEX]2(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2})+3\ge 3(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})[/TEX]

 

[dandoh221]

bài tiếp đi anh.
Bài khác nè:Cực hay
[TEX]a,b,c>0[/TEX]
Chứng minh:
[TEX]2(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2})+3\ge 3(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})[/TEX]

DÙng AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có :

vaf theo AM-GM thì

Cộng lai ta đc đpcm

 

[dandoh221]

a,b,c không âm và

CMR :

 

[bigbang195]

a,b,c không âm và

CMR :

by Chebyshev[TEX]\sum \frac{6ab-c-2}{c+2} \le \frac{1}{3}(6\sum ab-\sum 2a-6)(\sum \frac{1}{c+2}) \le 0[/TEX]

 

[bigbang195]

Sorry mình giải nhầm chiều
[TEX]VT=\sum \frac{ab}{(a+c)+(b+c)} \le \sum \frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}) = \frac{1}{2}[/TEX]

 

[bigbang195]

[TEX]a,b,c >0[/TEX] and [TEX]abc=1[/TEX].Prove that!
[TEX]\sum \frac{a}{b} \ge \sum \frac{1}{a}[/TEX]