Toán Mỗi ngày 3 phương trình (Hệ phương trình)

[Hoàng Quốc Khánh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Topic này là nơi các thành viên giải các bài tập về phương trình, hệ phương trình. Mỗi ngày 3 bài, và do tôi chọn lọc và đăng. Các thành viên tham gia giải bài cần lưu ý các điều sau:
- Chú ý viết LATEX đối với công thức
- Không chửi bậy, văng tục và không xúc phạm nhau
- Không đăng các bài còn hạn trên tạp chí Toán Tuổi Thơ, THTT, PI....
- Không đăng quá nhiều bài gây loãng topic này
Mong các thành viên đóng góp và thực hiện nghiêm túc quy định của topic
Tôi xin mở đầu bằng 3 bài sau:
[TEX]\boxed{1}[/TEX] Giải hệ phương trình: [TEX]\left\{\begin{matrix} \sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{x^2+xy+y^2}{3}}=x+y\\ x\sqrt{2xy+5x+3}=4xy-5x-3\end{matrix}\right.[/TEX]

(THTT số 407)​

[TEX]\boxed{2}[/TEX] Giải phương trình: [TEX](\sqrt{x^2+1}-x)^3+(\sqrt{x^2+1}+x)^3+4x^2-2=0[/TEX]
(HSG Phú Yên 2014-2015)
[TEX]\boxed{3}[/TEX] Giải phương trình: [TEX]x^3-3x^2-8x+40-8\sqrt[4]{4x+4}=0[/TEX]
(Olympic 30-4 Chuyên LQĐ - Ninh Thuận)
Xem thêm: https://diendan.hocmai.vn/threads/tai-lieu-phuong-trinh-he-phuong-trinh.621893/#post-3137546

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

[TEX]\boxed{1}[/TEX] Giải hệ phương trình: [TEX]\left\{\begin{matrix} \sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{x^2+xy+y^2}{3}}=x+y\\ x\sqrt{2xy+5x+3}=4xy-5x-3\end{matrix}\right.[/TEX]

(THTT số 407)​

Mời các Mod, Tmod vào giải!!!

Khai trương:
Bài 1:
Đánh giá phương trình đầu của hệ:
Dễ thấy $x+y$ không âm.
Do đó ta có đánh giá sau:
$L.H.S=\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{x^2+xy+y^2}{3}}
\\\geq \sqrt{\dfrac{(x+y)^2}{4}}+\sqrt{\dfrac{(x+y)^2-xy}{3}}
\\\geq \dfrac{x+y}{2}+\sqrt{\dfrac{(x+y)^2-\dfrac{(x+y)^2}{4}}{3}}
\\=x+y=R.H.S$
Dấu '=' xảy ra khi $x=y$ thay vào phương trình dưới:
$x\sqrt{2x^2+5x+3}=4x^2-5x-3$.
Chia cả 2 vế cho $x^2$
TH1:$x>0$ thì $\sqrt{2+\dfrac{5x+3}{x^2}}=4-\dfrac{5x+3}{x^2}$
Tiến hành đặt ẩn phụ $\dfrac{5x+3}{x^2}=t$
Giải ra $t=2$ hoặc $t=7$
Với $t=2$ giải ra $x=3$(nhận) và $x=\dfrac{-1}{2}$(loại)
TH2 $x<0$ tương tự sẽ ra nghiệm là $x=\dfrac{5-\sqrt{109}}{14}$
Kết luận:...
@toilatot @iceghost @Viet Hung 99 @Nữ Thần Mặt Trăng @chi254 @kingsman(lht 2k2) @Thủ Mộ Lão Nhân,.. tham gia cho xôm nào

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 2:
Đặt $((\sqrt{x^2+1}-x)^3,(\sqrt{x^2+1}+x)^3) \rightarrow (a,b)$
Khi đó ta có hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&ab=1 \\
&a^3+b^3+(a+b)^2-6=0
\end{matrix}\right.
\\\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
&ab=1 \\
&(a+b)^3-3(a+b)+(a+b)^2-6=0
\end{matrix}\right.$
Giải phương trình bậc $3$ theo ẩn $a+b$ ta sẽ tìm được $a+b$ kết hợp với $ab$ từ đó suy ra $a,b$.
Tìm được $a=b=1$ do đó $x=0$(thỏa mãn)

 

[Thủ Mộ Lão Nhân]

Bác là luồng gió mới. chúc bác thành công.
Bài 3:
Điều kiện: $x\geq -1$
$x^3-3x^2-8x+40=8\sqrt[4]{4x+4}=\sqrt[4]{16.16.16.(4x+4)}\leq \dfrac{4x+52}{4}=x+13$
$\Rightarrow x^3-3x^2-9x+27\leq 0$
$\Rightarrow (x-3)^2(x+3)\leq 0$
Suy ra $x=3$
Thử lại thấy $x=3$ thỏa mãn.

 

[Hoàng Quốc Khánh]

Ra trước ngày (mỗi ngày hơn 3 rồi). Tăng mức độ lên nào
[TEX]\boxed{4}[/TEX] Giải hệ phương trình: [TEX]\left\{\begin{matrix}\sqrt{2x+y}+\sqrt{2x-y+4}=4\\ x^3+4x^2+2y^2-4y(x+1)+3=0\end{matrix}\right.[/TEX]
[TEX]\boxed{5}[/TEX] Giải phương trình: [TEX](17-6x)\sqrt{3x-5}+(6x-7)\sqrt{7-3x}=2+8\sqrt{36x-9x^2-35}[/TEX]
[TEX]\boxed{6}[/TEX] Giải hệ phương trình: [TEX]\left\{\begin{matrix}2x=y(1+x)\\ 2y^2=(\sqrt{z}+1)(1+y^2)\\ 2(z+2\sqrt{z}-\sqrt{x}+1)=\sqrt{xz}(2+\sqrt{z})\end{matrix}\right.[/TEX]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Ra trước ngày (mỗi ngày hơn 3 rồi). Tăng mức độ lên nào
[TEX]\boxed{4}[/TEX] Giải hệ phương trình: [TEX]\left\{\begin{matrix}\sqrt{2x+y}+\sqrt{2x-y+4}=4\\ x^3+4x^2+2y^2-4y(x+1)+3=0\end{matrix}\right.[/TEX]

Chém câu $4$ nào
$4^2=[\sqrt{2x+y}+\sqrt{2x-y+4}]^2 \leq (1+1)(2x+y+2x-y+4)
\\\Rightarrow 4^2 \leq 2(4x+4)
\\\Rightarrow x \geq 1$
Thay vào đánh giá phương trình $2$:
$x^3+4x^2+2y^2-4xy-4y+3=0
\\\Rightarrow -y^2+4y-3=x^3+(4x^2+y^2)-4xy \geq 1+4xy-4xy=1
\\\Rightarrow -(y-2)^2 \geq 0
\\\Rightarrow y=2$
Thử lại $(x,y)=(1,2)$ thì thỏa mãn.
Kết luận:...

 

[Thủ Mộ Lão Nhân]

Ra trước ngày (mỗi ngày hơn 3 rồi). Tăng mức độ lên nào
[TEX]\boxed{6}[/TEX] Giải hệ phương trình: [TEX]\left\{\begin{matrix}2x=y(1+x)\\ 2y^2=(\sqrt{z}+1)(1+y^2)\\ 2(z+2\sqrt{z}-\sqrt{x}+1)=\sqrt{xz}(2+\sqrt{z})\end{matrix}\right.[/TEX]

Bài 6:
[tex]Hpt\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\dfrac{2x}{1+x}\\\sqrt{z}+1=\dfrac{2y^2}{1+y^2} \\ \sqrt{x}=\dfrac{2(\sqrt{z}+1)^2}{(\sqrt{z}+1)^2+1} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]a=\sqrt{x},b=y,c=\sqrt{z}+1[/tex]
Ta có $a,b,c>0$
[tex]Hpt\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\dfrac{2b^2}{b^2+1}\\b=\dfrac{2c^2}{c^2+1} \\c=\dfrac{2a^2}{a^2+1} \end{matrix}\right.[/tex]
Ta có
[tex]a^2+1\geq 2a,b^2+1\geq 2b,c^2+1\geq 2c[/tex]
[tex]a\leq b\leq c\leq a\Rightarrow a=b=c=1[/tex]
[tex]x=1,y=1,z=0[/tex]

 

[Hoàng Đình Nhật]

Bác qua đây r à
Bài 5:
ĐKXĐ: [TEX]\frac{5}{3}\leq x\leq \frac{7}{3}[/TEX]
Phương trình tương đương với
[TEX]3(x-2)^2(\frac{24}{\sqrt{-9x^2+36x-35}+1}+\frac{7-6x}{(\sqrt{7-3x}+1)(x-2)}+\frac{17-6x}{(x-2)(\sqrt{3x-5}+1)})=0[/TEX]
Phương trình trong ngoặc dễ dàng chứng minh với điều kiện xác định thì nó vô nghiệm
Nên [TEX]x=2[/TEX]

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Góp ý vài bài tập:
[TEX]\boxed{7}[/TEX]Giải phương trình:
$x^3-4x^2-5x+6=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}$
[TEX]\boxed{8}[/TEX]Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&3-(y+1)^2=\sqrt{x-y} \\
&x+8y=\sqrt{x-y-9}
\end{matrix}\right.$
[TEX]\boxed{9}[/TEX]Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&(2x^2-3x+4)(2y^2-3y+4)=18 \\
&x^2+y^2+xy-7x-6y+14=0
\end{matrix}\right.$

 

[W_Echo74]

Giải phương trình:
x3−4x2−5x+6=7x2+9x−4−−−−−−−−−−√3x3−4x2−5x+6=7x2+9x−43x^3-4x^2-5x+6=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}

Góp gió tí các bác.
Hệ pt tương đương
$(x+1)^3=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}+7x^2+8x-5$
Đặt $a=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}-1$
Suy ra hệ pt:
$$\left\{\begin{matrix}(x+1)^3=7x^2+8x+a-4\\(a+1)^3=7x^2+9x-4\end{matrix}\right.$$
Trừ vế dưới với vế trên hệ vô nghiệm

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Góp gió tí các bác.
Hệ pt tương đương
$(x+1)^3=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}+7x^2+8x-5$
Đặt $a=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}-1$
Suy ra hệ pt:
$$\left\{\begin{matrix}(x+1)^3=7x^2+8x+a-4\\(a+1)^3=7x^2+9x\end{matrix}\right.$$
Trừ vế dưới với vế trên hệ vô nghiệm

Hehe sai rồi nhé :v kiểm tra lại đi :v Bài này bác đặt đúng ra đẹp lắm. Có nghiệm đấy

 

[Thủ Mộ Lão Nhân]

Góp ý vài bài tập:
[TEX]\boxed{7}[/TEX]Giải phương trình:
$x^3-4x^2-5x+6=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}$

Bài 7:
$PT\Leftrightarrow (x+1)^3+(x+1)=7x^2+9x-4+\sqrt[3]{7x^2+9x-4}$
Đặt $\sqrt[3]{7x^2+9x-4}=a$
$PT\Leftrightarrow (x+1)^3+(x+1)=a^3+a$
$\Leftrightarrow (x+1-a)((x+1)^2+a(x+1)+a^2+1)=0$
$\Leftrightarrow x+1=a=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}$
$\Leftrightarrow x^3-4x^2-6x+5=0$
$x=5,......$

 

[W_Echo74]

Bài 7:
$PT\Leftrightarrow (x+1)^3+(x+1)=7x^2+9x-4+\sqrt[3]{7x^2+9x-4}$
$\sqrt{7x^2+9x-4}=a$
$PT\Leftrightarrow (x+1)^3+(x+1)=a^3+a$
$\Leftrightarrow (x+1-a)((x+1)^2+a(x+1)+a^2+1)=0$
$\Leftrightarrow x+1=a=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}$
$\Leftrightarrow x^3-4x^2-6x+5=0$
$x=5,......$

Chẹp,coi như nhầm^^

 

[Thủ Mộ Lão Nhân]

Góp ý vài bài tập:
[TEX]\boxed{8}[/TEX]Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&3-(y+1)^2=\sqrt{x-y} \\
&x+8y=\sqrt{x-y-9}
\end{matrix}\right.$

Bài 8:
Điều kiện: $x-y\geq 9$
$\sqrt{x-y}=3-(y+1)^2\leq 3\Rightarrow x-y\leq 9$
$\Rightarrow x-y=9$
$x=8,y=-1$

 

[W_Echo74]

Góp ý vài bài tập:
[TEX]\boxed{7}[/TEX]Giải phương trình:
$x^3-4x^2-5x+6=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}$
[TEX]\boxed{8}[/TEX]Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&3-(y+1)^2=\sqrt{x-y} \\
&x+8y=\sqrt{x-y-9}
\end{matrix}\right.$
[TEX]\boxed{9}[/TEX]Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&(2x^2-3x+4)(2y^2-3y+4)=18 \\
&x^2+y^2+xy-7x-6y+14=0
\end{matrix}\right.$

Chờ mem giải bài cuối mà ko thấy em đành ra tay
Bài này em giải theo đạo hàm
$\left\{\begin{matrix}
&(2x^2-3x+4)(2y^2-3y+4)=18 (1)\\
&x^2+y^2+xy-7x-6y+14=0 (2)
\end{matrix}\right.$
Viết PT (2) theo ẩn $x$
$x^2+x(y-7)+y^2-6y+14=0$
Xét $\Delta=(y-7)^2-4(y^2-6y+14)=-3y^2+10y-7 \geq 0$
$\Leftrightarrow 1 \leq y \leq \dfrac{7}{3}$
Xét tương tự với ẩn $x$:
$\Leftrightarrow 2 \leq x \leq \dfrac{10}{3}$
Xét hàm $f(a)=2a^2-3a+4$
Và hàm $f'(a)=4a-3$
Dễ dàng nhận thấy nếu
$a \geq \dfrac{3}{4}$ thì
Hàm f sẽ đồng biến.
Nên
(1) $\Leftrightarrow f(x).f(y)=18$
Dựa vào đk xét ở (2)
$\Rightarrow f(x).f(y) \geq f(2).f(1)=18$
Tuy nhiên x=2;y=1 không là nghiệm pt nên em cho rằng hpt vô nghiệm...(cái này là CASIO của mình nó tính thế)
Bác @Nguyễn Xuân Hiếu check giùm

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Chờ mem giải bài cuối mà ko thấy em đành ra tay
Bài này em giải theo đạo hàm
$\left\{\begin{matrix}
&(2x^2-3x+4)(2y^2-3y+4)=18 (1)\\
&x^2+y^2+xy-7x-6y+14=0 (2)
\end{matrix}\right.$
Viết PT (2) theo ẩn $x$
$x^2+x(y-7)+y^2-6y+14=0$
Xét $\Delta=(y-7)^2-4(y^2-6y+14)=-3y^2+10y-7 \geq 0$
$\Leftrightarrow 1 \leq y \leq \dfrac{7}{3}$
Xét tương tự với ẩn $x$:
$\Leftrightarrow 2 \leq x \leq \dfrac{10}{3}$
Xét hàm $f(a)=2a^2-3a+4$
Và hàm $f'(a)=4a-3$
Dễ dàng nhận thấy nếu
$a \geq \dfrac{3}{4}$ thì
Hàm f sẽ đồng biến.
Nên
(1) $\Leftrightarrow f(x).f(y)=18$
Dựa vào đk xét ở (2)
$\Rightarrow f(x).f(y) \geq f(2).f(1)=18$
Tuy nhiên x=2;y=1 không là nghiệm pt nên em cho rằng hpt vô nghiệm...(cái này là CASIO của mình nó tính thế)
Bác @Nguyễn Xuân Hiếu check giùm

Ok chuẩn rồi :v . Mấu chốt bài này là giới hạn miền nghiệm rồi đánh giá. Cơ mà gõ nhiều lỗi quá :v ($x,y$ lẫn lộn mình mới sửa lại xong)

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

[TEX]\boxed{10}[/TEX] Giải phương trình:
$\sqrt{2x+1}+\sqrt{17-2x}=x^4-8x^3+17x^2-8x+22$
[TEX]\boxed{11}[/TEX] Giải phương trình:
$(x+2012)^3[(x+2011)^3+1]=16(x+2011)^3$
[TEX]\boxed{12}[/TEX] Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}
&x^2+4y(x-5)-1=4y^2-x+2\sqrt{2y} \\
&4y(x-4)+x=2\sqrt{x-1}
\end{matrix}\right.$
P/s: Đợi mãi chả thấy $3$ bài của bác @Hoàng Quốc Khánh mấy bạn gặm đỡ mấy bài này.

 

[W_Echo74]

Giải phương trình:
2x+1−−−−−√+17−2x−−−−−−√=x4−8x3+17x2−8x+222x+1+17−2x=x4−8x3+17x2−8x+22\sqrt{2x+1}+\sqrt{17-2x}=x^4-8x^3+17x^2-8x+22

Em chém câu 10 trước(dự đoán em sẽ ko gõ latex sai nữa)
Ta có:
$(\sqrt{2x+1}+\sqrt{17-2x})^2 \leq 2.18=36$ theo Bunhiacopski
$\Rightarrow x^4-8x^3+17x^2-8x+22 \geq 6$
$\Leftrightarrow (x-4)^2.(x^2+1) \leq 0$
cơ mà vì BĐT trên luôn $\geq 0$
Nên $x=4$
Thử lại:x=4 thoả mãn.
Vậy...

 

[Baoriven]

Lời giải bài 11:
Nhận thấy $x=-2011$ không thỏa.
Đặt $x+2011=t$, rồi chia $2$ vế PT cho $t^3$ ta được:
$(t+1)^3+(\frac{1}{t}+1)^3=16$.
Đặt tiếp $t+\frac{1}{t}=m$, ta được: $m^3+3m^2=20$.
Suy ra $m=2$. rồi được $t=1$.
Cuối cùng được $x=-2010$.

 

[Thủ Mộ Lão Nhân]

Topic này là nơi các thành viên giải các bài tập về phương trình, hệ phương trình. Mỗi ngày 3 bài, và do tôi chọn lọc và đăng. Các thành viên tham gia giải bài cần lưu ý các điều sau:
- Chú ý viết LATEX đối với công thức
- Không chửi bậy, văng tục và không xúc phạm nhau
- Không đăng các bài còn hạn trên tạp chí Toán Tuổi Thơ, THTT, PI....
- Không đăng quá nhiều bài gây loãng topic này
Mong các thành viên đóng góp và thực hiện nghiêm túc quy định của topic
Tôi xin mở đầu bằng 3 bài sau:
[TEX]\boxed{1}[/TEX] Giải hệ phương trình: [TEX]\left\{\begin{matrix} \sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{x^2+xy+y^2}{3}}=x+y\\ x\sqrt{2xy+5x+3}=4xy-5x-3\end{matrix}\right.[/TEX]

(THTT số 407)​

[TEX]\boxed{2}[/TEX] Giải phương trình: [TEX](\sqrt{x^2+1}-x)^3+(\sqrt{x^2+1}+x)^3+4x^2-2=0[/TEX]
(HSG Phú Yên 2014-2015)
[TEX]\boxed{3}[/TEX] Giải phương trình: [TEX]x^3-3x^2-8x+40-8\sqrt[4]{4x+4}=0[/TEX]
(Olympic 30-4 Chuyên LQĐ - Ninh Thuận)
Mời các Mod, Tmod vào giải!!!

Bác @Hoàng Quốc Khánh cho e hỏi bác còn duy trì topic này hay ko????
Mới được có 2 bữa mà bác đã ko kiên trì được nữa rồi à.
Hay là sau màn ra mắt bị vùi dập, bác ra đi luôn.
Bác @Hoàng Quốc Khánh có lẽ không phụ trách topic nữa. Vậy nên mình sẽ đứng ra để phụ trách topic phương trình, hệ phương trình và bất đẳng thức nếu điều trên xảy ra. @Hiếu