[LTDH] Topic tổng hợp các phương trình , hệ phương trình, BPT trong các kỳ thi ĐH, CĐ

[daodung28]

40.
[TEX]\sqrt[3]{ 3x -5} = 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt[3]{3x-5}+3x-5=(2x-3)^3+2x-3[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sqrt[3]{3x-5}=2x-3 \\ \Leftrightarrow ....[/TEX]

 

[duynhan1]

44. [TEX]\ \ \ [/TEX]

 

[giaosu_fanting_thientai]

44.

[TEX]\huge 162x + 27 \sqrt{3} = ( 8x^3 - \sqrt{3} )^3 [/TEX]

Đặt [TEX]2x =a \Rightarrow 81a+27\sqrt{3}=(a^3-\sqrt{3})^3[/TEX]
Đặt tiếp [TEX]a^3-\sqrt{3}=3b (1)[/TEX]
pt trở thành [TEX]81a+27\sqrt{3}=27b^3 \Leftrightarrow 3a+\sqrt{3}=b^3 (2)[/TEX]
Hệ gồm 2 pt (1) và (2) đối xứng.

 

[silvery21]

45. [TEX]\ \ \ [/TEX]

 

[nhocngo976]

46. [TEX]\ \ \ [/TEX]

 

[nhockthongay_girlkute]

Giải pt:

46 ,[TEX]| 2005 -x|^{2006} + | 2006 -x|^{2005}=1[/TEX]
__________________________________________

[TEX]PT\Leftrightarrow |x-2005|^{2006}+|x-2006|^{2007}=1[/TEX]
ta thấy x=2005; x=2006 là nghiệm của pt
[TEX](*)\text{neu x<2005 thi}:\left{|x-2005|>0\\{|x-2006|>1}[/TEX][TEX]\Rightarrow \left{|x-2005|^{2006}>0\\{|x-2006|^{2007}>0}\Rightarrow |x-2005|^{2006}+|x-2006|^{2007}>1\Rightarrow PTVN[/TEX]

[TEX](*)\text{neu x>2006 thi}:\left{|x-2005|>1\\{|x-2006|>0}\Rightarrow |x-2005|^{2006}+|x-2006|^{2007}>1\Rightarrow PTVN[/TEX]
[TEX](*)\text{neu 2005<x<2006 thi }: \left{0<|x-2005|<1\\{x<|x-2006|<1}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left{|x-2005|^{2006}<|x-2005|=x-2005\\{|x-2006|^{2007}<|x-2006|=2006-x[/TEX]
[TEX]\Rightarrow |x-2005|^{2006}+|x-2006|^{2007}<x-2005+206-x=1 \Rightarrow PTVN[/TEX]
vậy pt có 2 nghiệm x=2005 và x=2006

 

[rua_it]

47. [TEX]\ \ \[/TEX]

48. [TEX]\ \ \[/TEX]

49. [TEX]\ \ \[/TEX]

 

[duynhan1]

47.
[TEX]t = \sqrt{x^2-1} ( t >0) [/TEX]

[TEX](pt) \Leftrightarrow ( t^2 + 1)( 1 + \frac{1}{t}) = 1 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ( t^2 + 1)( t+1) = t [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow t^3 + t^2 + 1 = 0 [/TEX]

Phương trình vô nghiệm do [TEX]t>0[/TEX].

48.
[TEX](pt) \Leftrightarrow 4x -1 = 3\sqrt{x} - \sqrt{x+2} [/TEX]

[TEX]DK : x \ge 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow( 4x -1)(3\sqrt{x} + \sqrt{x+2}) = 9x - (x+2) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ x = \frac14 \\ 3 \sqrt{x} + \sqrt{x+2} = 2 [/TEX]

Đến đây khá cơ bản

 

[silvery21]

50.
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

 

[jin93]

51. [TEX] \ \ \ \ \ [/TEX]

52. [TEX] \ \ \ \ \ [/TEX]

53. [TEX] \ \ \ \ \ [/TEX]

54. [TEX] \ \ \ \ \ \ [/TEX]

55. [TEX] \ \ \ \ \ [/TEX]

56. [TEX] \ \ \ \ \ \ [/TEX]

 

[nhocngo976]

51. [TEX]x-2\sqrt{x-1}-(x-1)\sqrt{x}+\sqrt{x^2-x}=0[/TEX]

đk...

dặt [TEX]\sqrt{x}=a, \sqrt{x-1}=b[/TEX] \Rightarrow[TEX]a^2-b^2=1[/TEX]


pt \Rightarrow[TEX]a^2-2b-ab^2+ab=0[/TEX]\Leftrightarrow[TEX](b-1)(b-ab-1)=0[/TEX]

53. [TEX]2\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}=4[/TEX][/QUOTE]

ĐK...

\Leftrightarrow[TEX]2(\sqrt{(\sqrt{x+1}+1)^2} -\sqrt{x+1}=4[/TEX]



[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=2[/TEX]

54. [TEX]\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16[/TEX]

ĐK

dặt [TEX]\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=a[/TEX] \Rightarrow[TEX]3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}=a^2-4[/TEX]

55. [TEX]\sqrt{3-x+x^2}-\sqrt{2+x-x^2}=1[/TEX]

DK...

[TEX]dat \left{\begin {\sqrt{3-x+x^2}=a \\ \sqrt{2+x-x^2}=b [/TEX]

\Rightarrow[TEX]\left{a-b=1 \\ a^2+b^2=5[/TEX]

56. [TEX]\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{3x-2}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]3x-2 +3\sqrt[3]{2x^2-3x+1}.(3x-2)=3x-2[/TEX]

 

[valdes]

57.
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \ \[/TEX]

58.
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

 

[trantrongtai1234]

[TEX]3{x^4} - 4{x^3} = 1 - \sqrt {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}} [/TEX]

Để ý: [TEX]VP\leq 0\Rightarrow VT\leq 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 0<x<4/3[/TEX]



[TEX]3x^4-4x^3+x^2=1+x^2-(1+x^2)\sqrt{1+x^2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2(3x^2-4x+1)=(1+x^2)(1-\sqrt{1+x^2})[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^2(3x^2-4x+1)=(1+x^2)\frac{(-x^2)}{(1+\sqrt{1+x^2})}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x=0[/TEX] hoặc [TEX](3x^2-4x+1)+\frac{1+x^2}{1+\sqrt{1+x^2}}=0[/TEX]


[TEX]\Leftrightarrow (x-1)(3x-1)+\frac{1+x^2}{(1+\sqrt{1+x^2}=0[/TEX]


ta thấy [TEX](x-1)(3x-1)>(-1/3)[/TEX]
dùng AM-GM ta cm đc:[TEX]\frac{1+x^2}{(1+\sqrt{1+x^2}[/TEX][TEX]>1/3[/TEX]

Vô nghiệm
ĐS: x=0[/QUOTE]
*********************************

 

[nhocngo976]

57 [tex]\left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1(1) \\ \sqrt{x+y}=x^2-y (2) \end{array} \right.[/tex]

[TEX](1)[/TEX]\Leftrightarrow[TEX]((x+y)^2-2xy)(x+y)+2xy=x+y[/TEX]

[TEX]dat x+y=a, xy=b[/TEX]

\Rightarrow[TEX](1)[/TEX]\Leftrightarrow[TEX](a^2-2b)a+2b=a[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](a-1)(a^2+a-2b)=0[/TEX]

a=1 thế vào (1)

[tex] a^2+a-2b=0\Leftrightarrow x^2+y^2+x+y=0...VN do x+y >0 (DK)[/tex]

 

[duynhan1]

51. [TEX]x-2\sqrt{x-1}-(x-1)\sqrt{x}+\sqrt{x^2-x}=0[/TEX]

52. [TEX]x^2+x+12\sqrt{x+1}-36=0[/TEX]

Còn 2 bài này

51.DK:.....
[TEX](pt) \Leftrightarrow \sqrt{x(x-1)} ( 1 - \sqrt{x}) + ( \sqrt{x-1}-1)^2 = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ x = 2 \\ 1- \sqrt{x-1} + \sqrt{x(x-1)} = 0 [/TEX]
Đến đây khá dễ

52. [TEX]DK : x \ge - 1 [/TEX]

[TEX](pt) \Leftrightarrow x^2 + x - 12 + 12 (\sqrt{x+1} - 2) = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x-3)(x+4) + \frac{12(x-3)}{\sqrt{x+1}+2} = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ x = 3 \\ x + 4 + \frac{12}{\sqrt{x+1}+2} = 0(2) [/TEX]

Phương trình (2) vô nghiệm do [TEX]x \ge - 1[/TEX]

[TEX]KL : S = \{ 3 \}[/TEX]

 

[nhox_tx2]

59.
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

 

[duynhan1]

Mình xin tiếp nhé:
59) GPT:
a)[TEX] Sin4x + cos4x = 4\sqrt{2}.sin(x + \frac{\pi }{4}) - 1[/TEX]

Bạn nên cho vào thẻ TEX cả biểu thức toán, như vậy sẽ đẹp hơn

[TEX]\Leftrightarrow( 1+ sin 4x) + ( cos^2 2x - sin^2 2x) = 4 . ( sin x + cos x) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ( sin 2x + cos 2x)( sin 2x + cos 2x + cos 2x - sin 2x) = 4 ( sin x + cos x) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ( sin 2x + cos 2x). cos 2x = 2 (sin x + cos x)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ sin x + cos x = 0 \\ ( sin2x + cos 2x )( cos x - sin x ) = 2 (2) [/TEX]

[TEX](2) \Leftrightarrow 2 . sin ( 2x + \frac{\pi}{4} ) cos ( x + \frac{\pi}{4}) = 2[/TEX]

[TEX]VT \le VP \ \ \ "=" \Leftrightarrow .... [/TEX]

 

[2731994]

60.
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]

 

[duynhan1]

60. Giải hệ phương trình

[TEX]\left{a+b+ab=5 \\ a^2+b^2=5[/TEX]

Đây là dạng khá cơ bản ^^
[TEX] \left{ S = a+b \\ P = ab \right. \Rightarrow \left{ S+P=5 \\ S^2 - 2P = 5[/TEX]

Thế (1) vào (2).

 

[nhocngo976]

61.
[TEX] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [/TEX]