[tex]2.\left\{ \begin{array}{l} sqrt{9x+\frac{y}{x}}+2\sqrt{y+\frac{2x}{y}}=4 \\ (\frac{2x}{y^2}-1)(\frac{y}{x^2}-9)=18 \end{array} \right.[/tex]
Ta sẽ ngó phương trình (1) mà phân tích phương trình (2) nhé:
$$\begin{aligned} (2) \Leftrightarrow & \left( \frac{2x}{y} - y \right) \left( \frac{y}{x} -9x \right) = 18 xy \\ \Leftrightarrow & 2 +9xy - \frac{y^2}{x} - \frac{18x^2}{y} = 18 xy \\ \Leftrightarrow & \left( \frac{2x}{y} + y \right) \left( \frac{y}{x} +9x \right) = 4 \end{aligned} $$
[tex]3.\left\{ \begin{array}{l} x+\sqrt{x^2-2x+5}=3y+\sqrt{y^2+4} \\ x^2 - y^2 -3x + 3y + 1 = 0 \end{array} \right.[/tex]
Bạn để ý trong 2 cái căn nhé, VT là $\sqrt{(x-1)^2+4} ,\ \sqrt{y^2+4}$, ý tưởng đầu tiên sẽ làm dùng hàm số :-? nhưng mà sao ở ngoài không giống nhau?? Ta cần làm cho nó giống nhau, và dễ nhẩm thấy lấy (1)+(2) ta có điều đó.
(1)+(2) ta có: $$ (x-1)^2 + \sqrt{(x-1)^2+4} = y^2+\sqrt{y^2+4}$$ Dễ có hàm số $f(t) = t + \sqrt{t+4} \forall t \ge 0$ đồng biến trên $[0;+ \infty)$, do đó phương trình trên tương đương: $f((x-1)^2) = f(y^2) \Leftrightarrow (x-1)^2 = y^2$
[tex]4.\left\{ \begin{array}{l} x^2y+xy^2+x+y+xy=11 \\ 3x^2y-xy^2+3x-y+xy=17 \end{array} \right.[/tex]
Không khó để phân tích nhân tử: $$\begin{cases} (xy+1)(x+y+1) = 12 \\ (3x-y+1)(xy+1) = 18 \end{cases} \Rightarrow 18 (xy+1)(x+y+1) = 12(xy+1)(3x-y+1) \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} xy+1= 0 (VN) \\ 3(x+y+1) = 2(3x-y+1) \end{matrix} \right. $$