[LTDH] Topic tổng hợp các phương trình , hệ phương trình, BPT trong các kỳ thi ĐH, CĐ

[colen_pink]

Câu 4 hay đấy!!

[tex]\left\{ \begin{array}{l} x^2y+xy^2 +x+y+xy=11(1)\\ 3x^2y -xy^2+3x-y+xy=17 (2) \end{array} \right.[/tex]
biến đổi pt 1 thành (x+y+1)(xy+1)=12
trừ (1)-(2), rồi nhóm lại ta dc (x-y)(xy+1)=3
suy ra x+y+1=4(x-y) , x=(1+5y)/3 thế vào pt (2) đc
20y^3 +14y^2 +14y - 48=0
suy ra y=1 , x=2

 

[duynhan1]

Đk: x\geq1
Với x = 2 phương trình vô nghiệm
Với x khác 2 phương trình ban đâu tương đương với pt
[tex]\sqrt[3]{4x-4} + \sqrt{2x-2}=\frac{3x-1}{2x-4} [/tex] (2)
Vế trái pt (2) là hàm số đồng biến
Vế phải phương trình (2) là hàm số nghịch biến trên TXĐ
nên pt có nghiệm duy nhất x = 3

Bài này sai rồi, lỗi này rất hay gặp, bạn xem lại nhé

 

[duynhan1]

[tex]2.\left\{ \begin{array}{l} sqrt{9x+\frac{y}{x}}+2\sqrt{y+\frac{2x}{y}}=4 \\ (\frac{2x}{y^2}-1)(\frac{y}{x^2}-9)=18 \end{array} \right.[/tex]

Ta sẽ ngó phương trình (1) mà phân tích phương trình (2) nhé:
$$\begin{aligned} (2) \Leftrightarrow & \left( \frac{2x}{y} - y \right) \left( \frac{y}{x} -9x \right) = 18 xy \\ \Leftrightarrow & 2 +9xy - \frac{y^2}{x} - \frac{18x^2}{y} = 18 xy \\ \Leftrightarrow & \left( \frac{2x}{y} + y \right) \left( \frac{y}{x} +9x \right) = 4 \end{aligned} $$

[tex]3.\left\{ \begin{array}{l} x+\sqrt{x^2-2x+5}=3y+\sqrt{y^2+4} \\ x^2 - y^2 -3x + 3y + 1 = 0 \end{array} \right.[/tex]

Bạn để ý trong 2 cái căn nhé, VT là $\sqrt{(x-1)^2+4} ,\ \sqrt{y^2+4}$, ý tưởng đầu tiên sẽ làm dùng hàm số :-? nhưng mà sao ở ngoài không giống nhau?? Ta cần làm cho nó giống nhau, và dễ nhẩm thấy lấy (1)+(2) ta có điều đó.
(1)+(2) ta có: $$ (x-1)^2 + \sqrt{(x-1)^2+4} = y^2+\sqrt{y^2+4}$$ Dễ có hàm số $f(t) = t + \sqrt{t+4} \forall t \ge 0$ đồng biến trên $[0;+ \infty)$, do đó phương trình trên tương đương: $f((x-1)^2) = f(y^2) \Leftrightarrow (x-1)^2 = y^2$

[tex]4.\left\{ \begin{array}{l} x^2y+xy^2+x+y+xy=11 \\ 3x^2y-xy^2+3x-y+xy=17 \end{array} \right.[/tex]

Không khó để phân tích nhân tử: $$\begin{cases} (xy+1)(x+y+1) = 12 \\ (3x-y+1)(xy+1) = 18 \end{cases} \Rightarrow 18 (xy+1)(x+y+1) = 12(xy+1)(3x-y+1) \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} xy+1= 0 (VN) \\ 3(x+y+1) = 2(3x-y+1) \end{matrix} \right. $$

 

[duynhan1]

Bữa trước đang làm thì bị la, bỏ quên mấy bài này mất

[tex]6.\left\{ \begin{array}{l} 4 + 9.3^{x^2-2y}=(4+9^{x^2-2y})7^{2y-x^2+2} \\ 4^x+4=4x+4 \sqrt{2y-2x+4} \end{array} \right.[/tex]

Đặt $t=x^2-2x$ thì viết phương trình (1) thành: $$4.(\fra9)^t + 9. (\fra3)^t - 49(\frac{4}{9^t} + 1) = 0 $$
Vế trái đồng biến trên R nên có nghiệm duy nhất: $t=2$.
Từ đó thay vào (2) thì ta được: $$\begin{aligned} & 4^x + 4 = 4x + 4 \sqrt{x^2-2x+2} \\ \Leftrightarrow & \ln4 . u = \ln(u+\sqrt{u^2+1}), \quad u=x-1\end{aligned}$$
Xét hàm nhé .

[tex]7.\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{2y^2-7y+10-x(y+3)}+\sqrt{y+1}=x+1 \\ \sqrt{y+1}+\frac{3}{x+1}=x+2y \end{array} \right.[/tex]

Điều kiện: <Ghi hết mấy cái trong căn và dưới mẫu ra> (*)
Từ phương trình (1) của hệ ta suy ra: $2y^2-7y+10-x(y+3) = (x+1)^2 + y+1 - 2(x+1)\sqrt{y+1} \quad \color{red}{(3)} $
Từ phương trình (2) của hệ ta suy ra: $(x+1)\sqrt{y+1} = x^2+x+2xy+2y-3 \quad \color{red}{(4)}$
Thay (4) vào (3) và rút gọn ta được phương trình:$$\begin{aligned} & x^2+ (3y-3)x + 2y^2 - 4y + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow & (x+y-1)(x+2y-2) = 0 \end{aligned} $$
Trường hợp 1: $x=1-y$, thay vào (4) ta được: $$y^2-y+1 = (y-2)\sqrt{y+1}$$ Do $y^2-y+1>0$ nên ta phải có: $y>2$.
Dễ suy ra vô nghiệm vì ta có: $y^2-y+1 = (y-2)^2 + 3(y -1) > (y-2)^2 + (y+1) \ge 2(y-2)\sqrt{y+1} > (y-2)\sqrt{y+1}$
Trường hợp 2: $x=2-2y$, thay vào (4) ta có: $4y-3 = (2y-3) \sqrt{y+1} $
Bình phương 2 vế ta được: $$y(4y^2-24y+21) = 0 $$
P/s: Đi thi mà giải xong bài này chắc xỉu mất

[tex]8.\left\{ \begin{array}{l} x+3=\2sqrt{(3y-x)(y+1)} \\ sqrt{3y-2}-\sqrt{\frac{x+5}{2}}=xy-2y-2 \end{array} \right.[/tex]

Gợi ý:
Phân tích phương trình (1) thành: $$x-3y + (3y+3) = 2\sqrt{(3y-x)(y+1)}$$ Bình phương trước khi đặt nhé tại vì ta chưa biết $x+1 \ge 0 \ hay \ x+1 \le 0$
Xem thêm tại đây: http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=1975182&postcount=206

[tex]9.\left\{ \begin{array}{l} x+y = 2xy \\ (x+3)sqrt{2x-1}+(y+3)sqrt{2y-1}=2\sqrt{(y+3)(x+3)} \end{array} \right.[/tex]

Cách 1:
Đặt $\begin{cases} a= \sqrt{2x-1} \\ b = \sqrt{2y-1} \end{cases} $ đưa về hệ đối xứng.
Cách 2:
Bình phương 2 vế và đưa về ẩn xy.
Cách 2 có vẻ nhẹ nhàng hơn

.

 

[mr.hoanghuy92]

Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases} \sqrt{x^2 + 2y + 3} + 2y - 3 =0 \\ 2(2y^3 + x^3) + 3y(x + 1)^2 + 6x(x + 1) + 2 = 0 \end{cases}$$


P.s: Anh amin thông cảm cho em bữa này, em mò gần 1 tiếng rồi mà chẳng bik viết kiểu đó, em gần đi học rồi, anh đừng xoá bài em nữa nghe, để tối này về em mò thử chứ khó quá anh ơi!!![/B]
Mình sẽ sửa giúp bạn vài lần, bạn bấm sửa bài để xem nhé

 

[jet_nguyen]

Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases} \sqrt{x^2 + 2y + 3} + 2y - 3 =0 (1)\\ 2(2y^3 + x^3) + 3y(x + 1)^2 + 6x(x + 1) + 2 = 0(2) \end{cases}$$

Mình gợi ý nhé.
Ta viết lại phương trình (2) thành:
$$2(x+1)^3+3(x+1)^2y+4y^3=0$$ Đây là phương trình đẳng cấp bậc 3 nên cách giải không có gì xa lạ rồi, từ đây ta suy ra được:
$$x+1=-2y$$ Thế vô (1) nữa là thu được kết quả, bạn tiếp tục nhé,

 

[conmuc]

Giải hệ

[TEX]x^3y(1+y) + x^2 y^2(2+y) +xy^3 -30=0[/TEX]
[TEX]x^2 y + x( 1+y+y^2)+y -11=0[/TEX]

Làm giùm mình nhé! Thanks!

 

[mr.hoanghuy92]

cám ơn, cám ơn bạn jet_nguyen, bạn là thiên thần của tui
Anh amin ơi, trong chế độ trả lời đầy đủ em ko tìm thấy dấu hệ với dấu mũ, mấy cái đó là mình phải tự nhớ hả anh?

 

[jet_nguyen]

cám ơn, cám ơn bạn jet_nguyen, bạn là thiên thần của tui
Anh amin ơi, trong chế độ trả lời đầy đủ em ko tìm thấy dấu hệ với dấu mũ, mấy cái đó là mình phải tự nhớ hả anh?

Hì cảm ơn bạn khen mình nha. Ngại quá
À, nếu bạn muốn đấu mũ thì bạn dùng

^

VD: $2^x$ thì:

$2^x$

Hay là $2^{2x}$ thì:

$2^{2x}$

.
Còn muốn đánh hệ thì như sau:
$\bullet$ Muốn dấu hoặc:

$\left[ \begin{array}{1}    \\       \end{array}\right.$

VD: $\left[ \begin{array}{1} x=1 \\ x=-2 \end{array}\right.$ thì đánh:

$\left[ \begin{array}{1} x=1   \\   x=-2    \end{array}\right.$

$\bullet$ Muốn dấu và:

$\left\{\begin{array}{1}    \\       \end{array}\right.$

VD: $\left\{ \begin{array}{1} x+y=1 \\ xy=1 \end{array}\right.$ thì đánh như sau:

$\left\{ \begin{array}{1}   x+y=1 \\    xy=1   \end{array}\right.$

 

[mr.hoanghuy92]

[TEX]sinx.sin(4x) = 2\sqrt{2}cos(\frac{\pi }{6} - x) - 4\sqrt{3}{cos}^{2}x.sinx.cos(2x)[/TEX]
@jet_nguyen: mình viết được rồi nè, hơi khó khăn hehe

P/s: Lượng giác lập TOPIC riêgn nhé, TOPIC này tập trung ĐẠI SỐ

 

[truongduong9083]

mình giúp bạn nhé

Hệ phương trình trên làm ta liên tưởng đến hệ đối xứng loại 1
Biến đổi hệ phương trình trở thành
[tex]\left\{ \begin{array}{l} xy(x+y)^2+x^2y^2(x+y)=30 \\ x+y+xy+xy(x+y)=11 \end{array} \right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy(x+y)(x+y+xy)=30 \\ x+y+xy+xy(x+y)=11 \end{array} \right.[/tex]
Đến đây thì ta chỉ cần đặt [tex] a = x+y+xy; b = xy(x+y)[/tex]
ta có hệ phương trình mới:
[tex]\left\{ \begin{array}{l} a + b = 11\\ a.b= 30 \end{array} \right.[/tex]
suy ra [tex]\left\{ \begin{array}{l}a = 6 \\ b = 5 \end{array} \right.[/tex] hoặc [tex]\left\{ \begin{array}{l}a = 5 \\ b = 6 \end{array} \right.[/tex]
+ Trường hợp 1: Nếu [tex]\left\{ \begin{array}{l} x+y+xy = 6 \\ xy(x+y) = 5 \end{array} \right.[/tex]
Đặt [tex]S = x+y; P = x.y; S^2\geq 4P[/tex]
ta có hệ phương trình mới: [tex]\left\{ \begin{array}{l} S + P = 6 \\ S.P = 5 \end{array} \right.[/tex]
suy ra S = 5; P = 1 hoặc S = 1; P = 5 (L). Từ đây tìm được x, y là hai nghiệm của phương trình: [tex] t^2 - 5t + 1 = 0[/tex]
+ Trường hợp 2: Nếu
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x+y+xy = 5 \\ xy(x+y) = 6 \end{array} \right.[/tex]
tương tự như trường hợp 1

 

[jet_nguyen]

$$\sin x.\sin 4x=2\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)-4\sqrt{3}\cos^2x.\sin x.\cos2x$$
@jet_nguyen: mình viết được rồi nè, hơi khó khăn hehe

Ta viết lại phương trình như sau:
$$\sin x.\sin 4x=2\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)-2\sqrt{3}\cos x.\sin2 x.\cos2x$$$$\Longleftrightarrow \sin x.\sin 4x=2\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)-\sqrt{3}\cos x.\sin4x$$$$\Longleftrightarrow \sin 4x(\sin x+\sqrt{3}\cos x)=2\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)$$$$\Longleftrightarrow \sin 4x(\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x)=\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)$$$$\Longleftrightarrow \sin 4x\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)=\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)$$$$\Longleftrightarrow \cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)(\sin4x-\sqrt{2})=0$$ Tới đây thì ổn rồi.
P/s: Nếu bạn muốn đánh tốt công thức thì nên trích dẫn bài viết của mọi người rồi xem cách đánh công thức nhé.

 

[alizeeduong]

[TEX]sinx.sin(4x) = 2\sqrt{2}cos(\frac{\pi }{6} - x) - 4\sqrt{3}{cos}^{2}x.sinx.cos(2x)[/TEX]

P/s: Lượng giác lập TOPIC riêgn nhé, TOPIC này tập trung ĐẠI SỐ

Duy Nhân viết bị lỗi kìa =)) , khó tính vừa thôi , thì bạn ý không biết nên post nhầm ,
Chỉ là nhắc nhở để lần sau post đúng chỗ thôi =.=

$sinx.sin4x = 2\sqrt{2} .cos( \frac{\pi }{6} - x) - 4 \sqrt{3}.cosx^{2} .sinx.cos2x$
$<=> sinx.six4x = \sqrt{2} ( \sqrt{3} cosx + sinx) - \sqrt{3}sin4x.cosx$
$<=> sin4x( \sqrt{3} cosx + sinx) = \sqrt{2}(\sqrt{3} cosx + sinx)$

Đưa về pt tích = ok

 

[nhandong2004]

Giải HPT:
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x+\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}=x^2+y \\ y+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=y^2+x \end{array} \right.[/tex]

Bài nữa nè:
Giải Pt: [tex]\ -4x^2 + 13x - 5 = sqrt{3x + 1}[/tex]

Các bạn giúp mình nhé

 

[hoanghondo94]

Giải HPT:
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x+\frac{2xy}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}=x^2+y \\ y+\frac{2xy}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}}=y^2+x \end{array} \right.[/tex]

Hệ đối xứng , cộng trừ gì đó rồi xét hàm đặc trưng , sau đó thu được nghiệm [tex]x=y[/tex] , thay vô rồi giải , he

Bài nữa nè:
Giải Pt: [tex]\ -4x^2 + 13x - 5 = sqrt{3x + 1}[/tex]
Các bạn giúp mình nhé

Giải pt vô tỉ , có mấy cách ( đặt điều kiện nhé )

- Đưa về pt tích nè :

[TEX](2x-\frac{5}{2})^2=(\sqrt{3x+1}-\frac{1}{2})^2 \ --> Okie[/TEX]


- Đặt ẩn phụ ( chỉ có 1 ẩn )

[TEX](3x+1)-\sqrt{3x+1}-4{{x}^{2}}+10x-6=0 .... {{t}^{2}}-t-4{{x}^{2}}+10x-6=0,t=\sqrt{3x+1}\ge 0 [/TEX]

[TEX]\Delta ={{(4x+5)}^{2}} [/TEX]



- Đặt ẩn phụ ( có 2 ẩn )

[TEX]\sqrt{3x+1}=-\left(2x-3 \right)^2-\left(2x-3 \right)+\left(3x+1 \right)[/TEX]

[TEX] Dat \ a=2x-3,b=\sqrt{3x+1}[/TEX]

[TEX] We \ have \ b=-a^2-a+b^2\Leftrightarrow a^2-b^2+a+b=0\Leftrightarrow \left(a+b \right)\left(a-b+1 \right)=0[/TEX]

[TEX]W i t h \ -a=b \Leftrightarrow 3-2x=\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\leq \frac{3}{2} & \\ 4x^2-15x+8=0&\end{matrix}\right.' \Leftrightarrow x=\frac{15-\sqrt{97}}{8}[/TEX]


[TEX] W i t h \ a+1=b \Leftrightarrow 2x-2=\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq 1 & \\ 4x^2-11x+3=0& \end{matrix}\right.' \Leftrightarrow x=\frac{11+\sqrt{73}}{8}[/TEX]


[tex] x=\frac{15-\sqrt{97}}{8},x=\frac{11+\sqrt{73}}{8}[/TEX]

 

[bboy114crew]

Duy Nhân ơi , tớ post nhầm , del hộ bài của alizee tớ với :-*




Hệ đối xứng , cộng trừ gì đó rồi xét hàm đặc trưng , sau đó thu được nghiệm $x=y$ , thay vô rồi giải , he

Nói thế sao được !

2)
Cộng vế với vế của hai PT đã cho ta được:
[TEX]x^2+y^2= 2xy(\frac{1}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}})[/TEX]
Ta có:
[TEX]x^2-2x+9 =(x-1)^2+8 \geq 8 \Rightarrow \sqrt[3]{x^2-2x+9} \geq \sqrt[3]{8}=2 \Rightarrow\frac{1}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}} \leq \frac{1}{2} [/TEX]
Do đó:[TEX]\frac{1}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}} + \frac{1}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}} \leq 1[/TEX]
\Rightarrow [TEX]VP \leq 2xy[/TEX]
Mà [TEX]VT \geq 2xy \Rightarrow[/TEX] xảy ra dấu [TEX]=[/TEX] khi [TEX]x=y[/TEX]

Bạn xem thêm ở đây:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=229229
Đẳng thức sai, em xem lại nhé
To duynhan: ANh chỉ chỗ sao giùm em cái!
À thiếu, ^^, x=y thì chưa đủ để xảy ra đẳng thức.
To duynhan: sã em tưởng gì to tát lắm anh à!

 

[mr.hoanghuy92]

Giải phương trình sau:
[TEX]\sqrt{3x+4}-\sqrt{5-x} + 3{x}^{2} - 8x -19 > 0[/TEX]

Giải hệ phương trình:
[TEX]\left\{\begin{{3}^{3x-2y}-5.{6}^{x}+4.{2}^{3x-2y}=0}\\ {\sqrt{x-y}=\sqrt{y}+(\sqrt{2y}-\sqrt{x}){(\sqrt{2y}+\sqrt{x})}^{2}}[/TEX]

 

[truongduong9083]

mình thử xem nhé

Câu 2.
phương trình (1) trở thành
[TEX]\sqrt{x-y}-\sqrt{y}+(x-2y)(\sqrt{x}+\sqrt{2y})=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x-2y}{\sqrt{x-y}+\sqrt{y}}+(x-2y)(\sqrt{x}+\sqrt{2y})=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-2y)(\frac{1}{\sqrt{x-y}+\sqrt{y}}+\sqrt{x}+\sqrt{2y}) = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\left[\begin{x-2y=0}\\{\frac{1}{\sqrt{x-y}+\sqrt{y}}+\sqrt{x}+\sqrt{2y} = 0} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow x = 2y[/TEX]
thay vào phương trình (2) ta được
[TEX]3^{4y} - 5.6^{2y}+4.2^{4y} = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 9^{2y} - 5.6^{2y}+4.4^{2y} = 0[/TEX]
chia cả hai vế phương trình cho [TEX]4^{2y}[/TEX] ta được pt mới
[TEX](\frac{9}{4})^{2y} - 5.(\frac{3}{2})^{2y} + 4 = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\left[\begin{\frac{3}{2}^{2y} = 1}\\{\frac{3}{2}^{2y} = 4} [/TEX]
đến đây bạn tự giải tiếp nhé

 

[truongduong9083]

mình giúp bạn nhé

Câu 1.
Điều kiện: [TEX]\frac{-4}{3}\leq x \leq 5[/TEX]
Bất phương trình ban đầu trở thành
[TEX]\sqrt{3x+4} - 4 + 1 - \sqrt{5 -x}+ 3x^2-8x-16>0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\frac{3(x-4)}{\sqrt{3x+4}+4}+\frac{x-4}{1+\sqrt{5-x}}+(x-4)(3x+4)>0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x -4)(\frac{3}{\sqrt{3x+4}+4})+\frac{1}{1+\sqrt{5-x}}+3x+4)>0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x > 4[/TEX] (Do [TEX] \frac{3}{\sqrt{3x+4}+4}+\frac{1}{1+\sqrt{5- x}}+3x+4 >0 [/TEX] với [TEX]\frac{-4}{3}\leq x \leq 5[/TEX])
Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình

 

[truongduong9083]

mình tham gia một bài nhé

Bài 129. Giải hệ phương trình

[tex]\left\{ \begin{array}{l} 6x^2\sqrt{x^3-6x+5} = (x^2+2x-6)(x^3+4) \\ x+ \frac{2}{x} = 1 + \frac{2}{y^2}\end{array} \right.[/tex]​

​

​