[LTDH] Topic tổng hợp các phương trình , hệ phương trình, BPT trong các kỳ thi ĐH, CĐ

[ngomaithuy93]

Gpt: [TEX] (4x-1)\sqrt[3]{2-8x^3}=2x[/TEX]

 

[phoxanh2]

Gpt: [TEX] (4x-1)\sqrt[3]{2-8x^3}=2x[/TEX]

đặt2x=a
[TEX]\sqrt[3]{2-(2x)^{3}}=b[/TEX]
=>a^3+b^3=2
2ab=a+b
đến đây được oy

 

[kiburkid]

[TEX]1.\left{\begin{log_2x+3.\sqrt{5-log_3y}=5}\\{3.\sqrt{log_2x-1}-log_3y=-1} [/TEX]

2. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
[TEX]\left{\begin{\sqrt{(1+x)(1+y)}=x+y}\\{x^2+y^2=m} [/TEX]

 

[ngomaithuy93]

[TEX]1.\left{\begin{log_2x+3.\sqrt{5-log_3y}=5}\\{3.\sqrt{log_2x-1}-log_3y=-1} [/TEX]

[TEX]\left{{u=\sqrt{5-log_3y} \Rightarrow log_3y=5-u^2}\\{v=\sqrt{log_2x-1} \Rightarrow log_2x=v^2+1}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow \left{{v^2+3u=4}\\{u^2+3v=4}[/TEX]

 

[ngomaithuy93]

2. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
[TEX]\left{\begin{\sqrt{(1+x)(1+y)}=x+y}\\{x^2+y^2=m} [/TEX]

[TEX]Hpt \Leftrightarrow \left{{1+(x+y)+xy=(x+y)^2}\\{(x+y)^2-2xy=m}[/TEX]
[TEX]\left{{S=x+y}\\{P=xy}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left{{S^2=1+S+P}\\{S^2=2P+m}[/TEX]
Hệ có nghiệm duy nhất [TEX]\Leftrightarrow S^2=4P \Rightarrow m[/TEX]

 

[duynhan1]

2. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
[TEX]\left{\begin{\sqrt{(1+x)(1+y)}=x+y}\\{x^2+y^2=m} [/TEX]

Do x, y đối xứng nên ta có nếu [TEX](x_o;y_o)[/TEX] là 1 nghiệm của hệ phương trình thì [TEX](y_o, x_o)[/TEX] cũng là 1 nghiệm của hệ phương trình, vì vậy:
Điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là : [TEX]x=y[/TEX]. Thay vào (1) ta có :
[TEX]|x+1| = 2x \\ \Leftrightarrow \left{ x \ge 0 \\ 2x = x+1 \right. \\ \Leftrightarrow x = 1[/TEX]
Thay vào (2) ta có :
[TEX]m = 1 + 1 = 2[/TEX]

Điều kiện đủ:
Với m=2 ta có hệ phương trình:
[TEX]\left{ (1 + x)(1+y) } = xy \\ x^2 + y^2 = 2 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{ xy \ge 0 \\ 1 + ( x+y) + xy = x^2 y^2 \\ (x+y)^2 - 2xy = 2[/TEX]
Đặt : [TEX]\left{ S = x+y \\ P = xy[/TEX] rồi giải

 

[kiburkid]

[TEX]\left{\begin{x^2+y^2+xy+1=4y}\\{y(x+y)^2=2x^2+7y+2} [/TEX]

 

[giotsuong_93]

[TEX]\left{\begin{x^2+y^2+xy+1=4y}\\{y(x+y)^2=2x^2+7y+2} [/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{x^2+y^2+xy+1=4y}\\{y(x+y)^2=2x^2+7y+2} [/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{\frac{x^2+1}{y}+x+y=4}\\{(x+y)^2=2(x^2+1)/y+7 [/TEX]

đặt [TEX]\left{\begin{u=x+y}\\{b=\frac{x^2+1}{y}} [/TEX]

hic tới đây đơn giản rồi

 

[boy_vip_chua_iu]

[tex]\left\{ \begin{array}{|} x^2+2y^2=xy+2y \\2x^3+3xy^2=2y^2+3x^2y \end{array} \right.[/tex]
hihi mong mọi ng giúp đỡ

 

[ngomaithuy93]

[tex]\left\{ \begin{array}{|} x^2+2y^2=xy+2y \\2x^3+3xy^2=2y^2+3x^2y \end{array} \right.[/tex]

[TEX]Hpt \Leftrightarrow \left{{x^2+2y^2-xy=2y}\\{2x^3+3xy^2-3x^2y=2y^2}[/TEX]
Nhân chéo
[TEX]\Rightarrow x^3y-2x^2y^2+2xy^3-y^4=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[{y=0}\\{x^3-2x^2y+2xy^2-y^3=0}[/TEX]
pt sau là pt đẳng cấp \Rightarrow x=y
Thế vào 1 trog 2 pt ban đầu suy ra nghiệm.

 

[dat_nm93]

Lam nhanh giup minh

Giai he phuong trinh:
[TEX]\left\{\begin{matrix}x^3+y^3=35 (1)\\log_{5}(x+y)+log_{7}(x^2-xy+y^2)=2(2)\end{matrix}\right.[/TEX]

 

[duynhan1]

Giai he phuong trinh:
[TEX]\left\{\begin{matrix}x^3+y^3=35 (1)\\log_{5}(x+y)+log_{7}(x^2-xy+y^2)=2(2)\end{matrix}\right.[/TEX]

[TEX]DK : x+y >0[/TEX]

[TEX](1) \Leftrightarrow x^2+y^2-xy = \frac{35}{x+y}[/TEX]
Thay vào phương trình (2) ta có :
[tex] \log_5 (x+y) + \log_7(35) - \log_7(x+y) = 2 (1)[/tex]

Xét [TEX]f(t) = \log_5(t) - \log_7(t) \forall t>0 [/TEX]
[TEX]f'(t) = \frac{1}{5t} - \frac{1}{7t} >0[/TEX]
Do đó hàm f(t) đồng biến khi đó ta có :
[TEX]f(t) = 2 - \log_7(35)[/TEX] có nhiều nhất 1 nghiệm Nhận thấy [TEX]t=5[/TEX] là 1 nghiệm do đó :
[TEX](1) \Leftrightarrow f(x+y) = 2 - \log_7(35) \\ \Leftrightarrow x+y =5 [/TEX]
Thay vào (1) ta tìm được x,y.

 

[phoxanh2]

bài này thì sao các bạn

giải Pt
[TEX]2x+1+x\sqrt{x^{2}+2}+(x+1)\sqrt{x^{2}+2x+3}=0[/TEX]>-

 

[nhocngo976]

giải Pt
[TEX]2x+1+x\sqrt{x^{2}+2}+(x+1)\sqrt{x^{2}+2x+3}=0[/TEX]>-

[TEX]x \in R \\\\ \Leftrightarrow (x+1) ( \sqrt{x+1)^2+2}+1) =(-x)(\sqrt{(-x)^2+2}+1) \\\\ xet \ f(t) = t(\sqrt{t^2+2}+1) \\\\ f'(t) = ...>0 \Rightarrow f(t) \ DB \ tren \ R \\\\ -\Rightarrow f(x+1)=f(-x) \Leftrightarrow x+1=-x \Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}[/TEX]

 

[siengnangnhe]

Giai he phuong trinh:
[TEX]\left\{\begin{matrix}x.\sqrt{x^2-y^2}-y=17 (1)\\y.\sqrt{x^2-y^2}-x=7 (2)\end{matrix}\right.[/TEX]

 

[boy_vip_chua_iu]

bạn ơi cho mình hỏi ở pt (1) chỗ đó là 17 hay la 7 vậy

 

[duynhan1]

[TEX]8x^2-8x+3=8x\sqrt{2x^2-3x+1}[/TEX]
Đề dự bị đại học KB-2010

[TEX]8x^2- 8x + 3 - 8ax = 8x ( \sqrt{2x^2-3x+1} -a) = \frac{8x(2x^2-3x+1-a^2)}{\sqrt{2x^2-3x+1}+a} [/TEX]
Để rút nghiệm ta phải có :
[TEX]8: (-8-8a) : 3 = 2 : (-3) : (1-a^2) \\ \Rightarrow a= \frac12 [/TEX]

[TEX]DK : \left[ x \le \frac12 \\ x \ge 1[/TEX]
[TEX](pt) \Leftrightarrow 8x^2- 12 x + 3 = 4x (2 \sqrt{2x^2-3x+1}-1) \\ \Leftrightarrow 8x^2 - 12 x + 3 = \frac{4x(8x^2- 12x+3)}{2\sqrt{2x^2-3x+1}+1} \\ \Leftrightarrow \left[ 8x^2-12 x+3 = 0 \\ 2\sqrt{2x^2-3x+1} = 4x-1[/TEX]

Cơ bản rồi !!!

 

[thancongvu2006]

bạn ơi cho mình hỏi ở pt (1) chỗ đó là 17 hay la 7 vậy

chắc là 7 , vì 17 thì giải tới sáng ! đối xứng loại 1 ???

 

[duynhan1]

[tex]\left{ \sqrt{x^2+y^2-z^2} + \sqrt{y^2+z^2-x^2} + \sqrt{x^2+z^2-y^2} = x+y+z \\ xyz-x^2-y^2 -\frac13(\sqrt{xy} +\sqrt{yz} + \sqrt{zx} ) + 2 = 0 [/tex]
Đề dự bị đại học KB-2010

Điều kiện : [tex] x,y,z \ge 0 [/tex]

Xét phương trình (1) ta có :
[tex] \sqrt{x^2+y^2-z^2} + \sqrt{y^2+z^2-x^2} \le \sqrt{2.2y^2} = 2y [/tex]

Tương tự rồi cộng lại ta CM được :
[tex] \sqrt{x^2+y^2-z^2} + \sqrt{y^2+z^2-x^2} + \sqrt{x^2+z^2-y^2} \le x+y+z[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi : [tex] x=y=z [/tex]

Thay vào (2) ta có :
[tex] x^3 - 2x^2-x+2 = 0 \\ \Leftrightarrow x=2(chon)\\ x=1(chon) \\ x=-1 (loai) [/tex]
Kết luận :
[TEX]S = \{ (1;1;1);(2;2;2) \} [/tex]

 

[nguoimaytinh]

[tex]\left\{\begin{matrix}(x-4)(x+1)=y(y+5)(1)\\log_{x-2} {y+2}=\frac{x-2}{y^2}(2)\end{matrix}\right.[/tex]