Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Phan Bội Châu (Nghệ An) năm học 2013-2014
Câu 1 (7 điểm)
a) Giải phương trình $(\sqrt{2x+3}+2)(\sqrt{x+6}-\sqrt{x+1})=5$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{3}y+2y=3\\ y^{3}(3x-2)=1 \end{matrix}\right.$
Câu 2 (2 điểm)
Cho hai số nguyên $x,y$. Chứng minh rằng $(x-y)(x-2y)(x-3y)(x-4y)+y^{4}+2 $không thể là một số chính phương.
Câu 3 (2 điểm)
Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a$ \geq $0$, $b$ \geq $0$ ,$ c$ \geq $1 $ và $a+b+c=2$. Tìm MAX
$T=(6-a^{2}-b^{2}-c^{2})(2-abc)$
Câu 4 (7 điểm)
Cho đường tròn $(O)$ đường kính $BC$. Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $A$ khác $B$. Kẻ các tiếp tuyến $AD,AE$ của $(O)$ ($D,E$ là các tiếp điểm). Kẻ $DH$ vuông góc với$ EC$ tại$ H$. Gọi $K$ là trung điểm của $DH$, $I$ là giao điểm của $AC$ và $DE$. $CK$ cắt $(O)$ tại $Q $khác$ C$, $AQ$ cắt $(O)$ tại $M$ khác$ Q$. Chứng minh rằng
a)$ AB.CI=AC.BI
$
b) $QD$ vuông góc với $QI
$
c) $DM$ song song với $OC$
Câu 5 (2 điểm)
Trong mặt phẳng cho 7 điểm (không có 3 điểm nào thẳng hàng). Gọi h là độ dài lớn nhất trong các đoạn thẳng nối 2 trong 7 điểm đã cho. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 tam giác có các đỉnh là 3 trong số 7 điểm đã cho thoả mãn diện tích nhỏ hơn $\dfrac{h^{2}(4\pi -3\sqrt{3})}{24}$
(
