Toán $\color{Blue}{\fbox{TOÁN 9} \text{Ôn thi học kì II+ Ôn thi vào lớp 10.}}$

[congchuaanhsang]

Bđt nào :v

Bài 3:
1\ Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c=1. Chứng minh rằng:

$(1+a)(1+b)(1+c)$\geq $8(1-a)(1-b)(1-c)$

$VT=[(a+b)+(a+c)][(b+a)+(b+c)][(c+a)+(c+b)]$

\geq $2\sqrt{(a+b)(a+b)}.2\sqrt{(b+a)(b+c)}.2\sqrt{(c+a)(c+b)}$

\Leftrightarrow $VT$ \geq $8(a+b)(b+c)(c+a)=8(1-a)(1-b)(1-c)=VP$

 

[duchieu300699]

Và tiện thể ai giúp mình bài này với được không ?

Cho $a,b>o$ và $a^2+b^2=1$. Tìm GTNN của biểu thức

$T=(1+a)\left ( 1+\frac{1}{b} \right )+(1+b)\left ( 1+\frac{1}{a} \right )$

Đang gấp có gì đừng ném đá nha )

$T=\dfrac{(a+1)(b+1)}{a}+\dfrac{(a+1)(b+1)}{b}$ \geq $2.\dfrac{(a+1)(b+1)}{\sqrt{ab}}$

Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{(a+1)(b+1)}{a}=\dfrac{(a+1)(b+1)}{b}$

$\leftrightarrow$ $a=b$ nên $a=b=\sqrt{0,5}$

Thay vào trên ta được min T = $4+3\sqrt{2}$

Rồi sao nữa bạn?

 

[trungthinh.99]

Đang gấp có gì đừng ném đá nha )

$T=\dfrac{(a+1)(b+1)}{a}+\dfrac{(a+1)(b+1)}{b}$ \geq $2.\dfrac{(a+1)(b+1)}{\sqrt{ab}}$

Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{(a+1)(b+1)}{a}=\dfrac{(a+1)(b+1)}{b}$

$\leftrightarrow$ $a=b$ nên $a=b=\sqrt{0,5}$

Thay vào trên ta được min T = $4+3\sqrt{2}$

Rồi sao nữa bạn?

Hiểu nhưng liệu khi làm bài thi, lập luận như thế có đc chấp nhận k nhể ?

 

[congchuaanhsang]

Cauchy-Schwarz: $a+b$ \leq $\sqrt{2(a^2+b^2)}=\sqrt{2}$

$T=(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})+(a+b)+(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})+2$

\geq $4+(a+b)+\dfrac{4}{a+b}$ = $4+[(a+b)+\dfrac{2}{a+b}]+\dfrac{2}{a+b}$

\geq $4+2\sqrt{2}+\dfrac{2}{\sqrt{2}}=4+3\sqrt{2}$

 

[trungthinh.99]

Rồi sao nữa bạn?

Min T đấy .... phải không ?

Cauchy-Schwarz: $a+b$ \leq $\sqrt{2(a^2+b^2)}=\sqrt{2}$

$T=(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})+(a+b)+(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})+2$

\geq $4+(a+b)+\dfrac{4}{a+b}$ = $4+[(a+b)+\dfrac{2}{a+b}]+\dfrac{2}{a+b}$

\geq $4+2\sqrt{2}+\dfrac{2}{\sqrt{2}}=4+3\sqrt{2}$

Khó hiểu nhế ??? mà sao thấy Cauchy-Schwarz gì lạ quá vậy ????

 

[eye_smile]

Cho $a,b>o$ và $a^2+b^2=1$. Tìm GTNN của biểu thức

$T=(1+a)\left ( 1+\frac{1}{b} \right )+(1+b)\left ( 1+\frac{1}{a} \right )$

Uả, theo tớ là không đánh giá như vậy đc mà:
Nhân tung ra đc:
$2+a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{a}{b}+ \dfrac{b}{a}$ \geq $4+2(a+b)+\dfrac{4}{a+b}-(a+b)$ \geq $4+4\sqrt{2}-(a+b)$
Có: ${(a+b)^2}$ \leq $2({a^2}+{b^2})=2$
\Rightarrow $a+b$ \leq $\sqrt{2}$
\Rightarrow BT \geq $4+3\sqrt{2}$
Dấu "=" giống trên
ps:congchua nhanh thế(

 

[duchieu300699]

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC NINH
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút

2\ Phân chia 9 số: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thành ba nhóm tùy í, mỗi nhóm ba số. Gọi $T_1$ là tích của ba số nhóm thứ nhất, $T_2$ là tích ba số nhóm thứ hai, $T_3$ là tích ba số nhóm thứ ba. Hỏi tổng $T_1+T_2+T_3$ có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu

Bài 5
1\ Tìm hai số nguyên a,b để $a^4+4b^4$ là số nguyên tố

P.s: m.n đừng trích cả nhé! lúc sang trang tìm đề cực lắm tốt nhứt là gõ, k thì trích phần mình làm thôi cũng được

Em đã trở lại mong các bác ủng hộ ) :=))

2) Có $T_1+T_2+T_3$ \geq $3\sqrt[3]{T_1T_2T_3}$

Có $T_1+T_1+T_3=9!=72.72.70>71^3$ nên $T_1+T_2+T_3>213$ \geq 214

Suy ra min $T_1+T_2+T_3$ = 214

5) Có: $A=a^4+4b^4=a^4+2a^3b+2a^2b^2-2a^3b-4a^2b^2-4ab^3+2a^2b^2+4ab^3+4b^4=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)$

A là số nguyên tố khi trong 2 thừa số, có giá trị là 1 và 1 số nguyên tố.

Xét các TH và kết luận

P/s: Chắc không đánh giá kiểu như thế được rồi, lần sau không làm kiểu đó nữa )

 

[trungthinh.99]

Cho phương trình $x-2\sqrt{x-1}+m=0$.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn:

$x_1+x_2=x_1x_2+\frac{3}{4}$

Và

Cho số thực x thỏa mãn điều kiện $x^2+(3-x)^2$\geq 5. Tim GTNN của:

$A=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-x)^2$

 

[duchieu300699]

Cho phương trình $x-2\sqrt{x-1}+m=0$.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn:

$x_1+x_2=x_1x_2+\frac{3}{4}$

Đặt $\sqrt{x-1}=a$ (a \geq 0), Pt ban đầu trở thành $a^2-2a+m+1=0$

Giờ ta tìm điều kiện để Pt có 2 nghiệm pb không âm là $\Delta'>0$, $P>0$, S \geq 0 $\rightarrow$ -1 \leq m < 0

Tiếp: $x_1+x_2=x_1x_2+\dfrac{3}{4}$

$\leftrightarrow$ $a_1^2+a_2^2+2=(a_1^2+1)(a_2^2+1)+\dfrac{3}{4}$

$\leftrightarrow$ $a_1^2+a_2^2+2=a_1^2a_2^2+a_1^2+a_2^2+1+\dfrac{3}{4}$

$\leftrightarrow$ $(a_1a_2)^2-\dfrac{1}{4}=0$

$\leftrightarrow$ $(m+1)^2=\dfrac{1}{4}$

Đến đây bạn giải và đối chiếu đk

 

[forum_]

Cho phương trình $x-2\sqrt{x-1}+m=0$.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn:

$x_1+x_2=x_1x_2+\frac{3}{4}$

Và

Cho số thực x thỏa mãn điều kiện $x^2+(3-x)^2$\geq 5. Tim GTNN của:

$A=x^4+(3-x)^4+6x^2(3-x)^2$

@for_: có hẳn 1 ví dụ về vụ đánh giá thế này là sai lắm .... thành thử ra ko nên làm thế )
1/ Theo Vi-et thôi, thế vào.........

2/

 

[forum_]

Ngồi không chán, tôi ra đề vậy

Giải PT :

$16x^4+5= 6.sqrt[3]{4x^3+x}$

Gợi ý : Cô-si và bđt phụ

sau 24h ko ai giải mình sẽ up lời giải !

 

[duchieu300699]

Ngồi không chán, tôi ra đề vậy

Giải PT :

$16x^4+5= 6.\sqrt[3]{4x^3+x}$

Gợi ý : Cô-si và bđt phụ

Áp dụng cô-si 3 số

$6.\sqrt[3]{4x^3+x}$ \leq $6.\dfrac{4x^3+x+1+1}{3}=8x^3+2x+4$

Suy ra: $16x^4+5$ \leq $8x^3+2x+4$

$\leftrightarrow$ $(2x-1)^2(4x^2+2x+1)$ \leq 0

Do $4x^2+2x+1$ > 0 nên Pt có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{1}{2}$

Nhìn cái latex thế cũng biết máy bị sao rồi ) http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php, dùng link này đọc thử đi

 

[congchuaanhsang]

Min T đấy .... phải không ?



Khó hiểu nhế ??? mà sao thấy Cauchy-Schwarz gì lạ quá vậy ????

Mình làm tắt thôi
Rút từ $(x+y)^2$ \leq $2(x^2+y^2)$

2 vế dương nên khai căn 2 vế ra là ok

 

[forum_]

Ờm, thằng Hiếu ngon thiệt )

Nhưng mà t thì làm khác 1 tí

ĐK:........=> x > 0

Ta chứng minh BĐT đúng sau:

$16x^4+5$ \geq $4x^2+4x+3$

(c/m = tương đương)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số ko âm...... ta có:

$4x^2+4x+3 = (4x^2+1)+4x+2$ \geq $3.\sqrt[3]{(4x^2+1).8x} = \sqrt[3]{4x^3+x}$

Do đó: VT \geq $4x^2+4x+3$ \geq VP

Dấu "=" xảy ra ở Cauchy và BĐT phụ khi $x=\dfrac{1}{2}$

Lỗi là ko đọc đc Latex ấy chứ , tức là ko nhìn thấy đề bài mà chỉ nhìn thấy lệnh gõ của cái đề :|

 

[forum_]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Tìm GTLN của biểu thức:

P = $\dfrac{1}{2a+3b+c+6}+\dfrac{1}{2b+3c+a+6}+\dfrac{1}{2c+3a+b+6}$

p/s: Chắc chắn là các bạn đều biết đây là trận thứ 116 ) nhưng mà yên tâm, hết hạn rồi nên mình up lên chơi đc chứ

 

[flytoyourdream99]

Từ pt thứ nhất:$x^3-8=2x^2y$ (x,y khác 0)
Từ pt thứ hai: $y^3-8=2xy^2$
Trứ vế theo vế:
$(x-y)(x^2+xy+y^2)=2xy(x-y) $
$x=y$ hoặc $x^2+xy+y^2=2xy \rightarrow x=y=0$ (loại)
Vậy, $x=y=2$ (thay x=y vào pt)

cho mình hỏi chỗ này được không
$x=y$ hoặc $x^2+xy+y^2=2xy \rightarrow x=y=0$ (loại)............> $ x=y= 0 $ là nhẩm nghiệm à
Vậy, $x=y=2$........> sao lại suy ra đưọc

mong các bạn giải thích giùm mình

 

[letsmile519]

cho mình hỏi chỗ này được không
$x=y$ hoặc $x^2+xy+y^2=2xy \rightarrow x=y=0$ (loại)............> $ x=y= 0 $ là nhẩm nghiệm à
Vậy, $x=y=2$........> sao lại suy ra đưọc

-> $x=y=0$ Thay vào pt đầu thấy vô lý nên loại nhé bạn!!

 

[flytoyourdream99]

$\Delta =(\frac{b^2+c^2-a^2}{b^2})^2-\frac{4c^2}{b^2}$

$\Delta =\frac{(b^2+c^2-a^2)^2-4c^2b^2}{b^2}$

$\Delta =\frac{(b^2+c^2-2bc-a^2)(b^2+c^2+2bc-a^2)}{b^2}$

$\Delta =\frac{[(b-c)^2-a^2][(b+c)^2-a^2]}{b^2}$

$\Delta =\frac{[(b-c-a)(b-c+a)][(b+c+a)(b+c-a)]}{b^2}$

Mà $b-c-a$<0

=> $\Delta$<0

$\Delta =\frac{(b^2+c^2-2bc-a^2)(b^2+c^2+2bc-a^2)}{b^2}$

từ phần này trở đi
- mẫu số phải là $ (b^2)^2$ = $ b^4$ chứ nhỉ bạn

 

[flytoyourdream99]

-> $x=y=0$ Thay vào pt đầu thấy vô lý nên loại nhé bạn!!

umk
nhưng $x=y=2 $ thì thay vào đâu để tính vậy bạn?

 

[letsmile519]

umk
nhưng $x=y=2 $ thì thay vào đâu để tính vậy bạn?

Giải thích lại nhé!

Từ $x^2+xy+y^2=2xy$

\Leftrightarrow$x^2+y^2-xy=0$ (nếu x=y=0 loại)

nếu khác 0 $(x-1/2y)^2+3/4y^2$>0 -> loại nốt

chỉ còn trưognf hợp x=y bạn thay vào pt đầu ý, xong giải pt bậc 3 ra