Toán $\color{Blue}{\fbox{TOÁN 9} \text{Ôn thi học kì II+ Ôn thi vào lớp 10.}}$

[letsmile519]

Cho phương trình: [TEX]x^2+(m^2+1)x+m=2[/TEX] với m là tham số.
1- CMR với mọi gtri cỉa m, pt có 2 nghiệm phân biệt.
2- Gọi [TEX]x_{1}[/TEX], [TEX] x_{2}[/TEX] là các nghiệm của pt, tìm tất cả các gtri của m sao cho:
[TEX]\frac{2x_{1} - 1}{x_{2}} + \frac{2x_{2} - 1}{x_{1}} = x_{1}x_{2} + \frac{55}{x_{1}x_{2}}[/TEX]

a)Ta có Delta=$(m^2+1)^2-4(m-2)$=$m^4+2m^2-4m+8+1$=$m^4+2(m^2-2m+1)+7$ >0

-> luon có 2 nghiệm p.b

B)
Theo Viet

$\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2=-m^2-1 & \\
x_1.x_2=m-2 &
\end{matrix}\right.$

Từ đây ta tính được b.thức trên

P.s : mình ngại gõ nên ... )

 

[letsmile519]

Tiếp này:

Câu cuối đề thi lớp 10 Hà Tĩnh

Cho số thực x,y thay đổi thoả mãn 0<x;y<1

Chứng minh $x+y+x\sqrt[]{1-y^2}+y\sqrt[]{1-x^2}$\leq $\frac{3\sqrt[]{3}}{2}$

 

[naniliti]

$x_1;x_2$ là 2 cạnh của tam giác vuông nên nó phải >0
$\rightarrow$ $x_1+x_2$ > 0 $\rightarrow$ 2(m+1) > 0 $\rightarrow$ m>-1
$x_1x_2>0$ $\rightarrow$ m > 0
Kết hợp 2 đk suy ra m > 0

Có $x_1^2+x_2^2=12$ $\leftrightarrow$ $(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=12$
$\leftrightarrow$ $4(m+1)^2-4m=12$
$\leftrightarrow$ $4m^2+4m+4=12$
Giải được nghiệm dương m=1

P/s: Bạn ý cần cách trình bày mà

Mèn ơi
cái điều kiện
Ta nói tiếc không chịu được
Tiếc quá đi thôi.
câu này có 0,5 mong là vẫn ăn đc 0,25 đ
Thôi thì cũng là kinh nghiệm để sau này thi cấp 3

 

[riverflowsinyou1]

1) Cho $a,b,c,d \in Z$ thỏa mãn $ab=cd$ . C/m $a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}+d^{2014}$ là hợp số.
2) $a,b,c,d \in N*$ thỏa mãn $a^2+b^2=c^2+d^2$. C/m $S=a+b+c+d$ là hợp số.
3) C/m với mọi $a,b,c$ nguyên dương ta luôn có :
$\sum \sqrt{\frac{a^2+2b^2}{a^2+ab+ac}}$ \geq $3$

 

[duchieu300699]

1) Cho $a,b,c,d \in Z$ thỏa mãn $ab=cd$ . C/m $a^{2014}+b^{2014}+c^{2014}+d^{2014}$ (2) là hợp số.

$ab=cd$ (1)

Đặt ƯCLN(a,c)=A (A $\in$ N*) $\rightarrow$ a=Ax ; c=Ay với (x;y)=1

Thay vào (1) ta được Axb=Ayd $\rightarrow$ bx=dy $\rightarrow$ b $\vdots$ y ; d $\vdots$ x. Do (x;y)=1

Đặt b=By; d=Bx

(2)=$A^{2014}.x^{2014}+B^{2014}.y^{2014}+A^{2014}.y^{2014}+B^{2014}.x^{2014}=(A^{2014}+B^{2014})(x^{2014}+y^{2014})$

Do $A^{2014}+B^{2014}$ và $x^{2014}+y^{2014}$ \geq 2 nên (2) là hợp số

 

[goku123123]

Đặt (a,c)=p với p $\in$ N*
\Rightarrow a=px và c=py với x,y là số nguyên tố.
Ta có ab=cd \Rightarrow bx=yd \Rightarrow b chia hết cho y và d chia hết cho x. Đặt b=my, d=mx( m khác 0)
Ta có: $a^2014+b^2014+c^2014+d^2014$
=$p^2014.x^2014+m^2014.y^2014+p^2014.y^2014+m^2014.x2014$
=$(p^2014+m^2014)(x^2014+y^2014)$ \Rightarrow DPCM

 

[riverflowsinyou1]

Viết tổng $\frac{2}{1}+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}+...+ \frac{2^n}{n}$ thành phân số tối giản $\frac{p}{q}$ . C/m $p$ chia hết cho 8 \forall $n \geq 4$ ( $n \in N$)

 

[naniliti]

Cho 3 điểm M, N, P theo thứ tự cùng nằm trên 1 đg thẳng. 1 đg tròn (O) thay đổi luôn đi qua 2 điểm M,N. Từ P kẻ 2 tiếp tuyến PT và PT' với (O)
a) cminh khi (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua MN thì T và T' thuộc đg tròn cố định
b) I là giao của TT' với PO
J là giao của TT' với PM
C/m đg tròn ngoại tiếp tam giác OIJ luôn đi qua 2 điểm cố định
c) Tìm tập hợp các điểm I

Giết nó cho tuiii !!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[congchuaanhsang]

Đề thi vào 10 Thanh Hóa năm ngoái:

Cho a,b,c>0 và $ab+bc+ca=3$. Cm

$\dfrac{a^4}{a+3b}+\dfrac{b^4}{b+3c}+\dfrac{c^4}{c+3a}$ \geq $\dfrac{3}{4}$

 

[duchieu300699]

Đề thi vào 10 Thanh Hóa năm ngoái:

Cho a,b,c>0 và $ab+bc+ca=3$. Cm

$A=\dfrac{a^4}{a+3b}+\dfrac{b^4}{b+3c}+\dfrac{c^4}{c+3a}$ \geq $\dfrac{3}{4}$

$A=\dfrac{a^4}{a+3b}+\dfrac{b^4}{b+3c}+\dfrac{c^4}{c+3a}$ \geq $\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4(a+b+c)}$

Cm được $a^2+b^2+c^2$ \geq $ab+bc+ca=3$
$\rightarrow$ $(a+b+c)^2$ \geq $3(ab+bc+ca)=9$
$\rightarrow$ $a+b+c$ \geq 3
$\rightarrow$ $4(a^2+b^2+c^2)^2$ \geq $4.3^2=36$

Ta có $\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4(a+b+c)}$ \geq $\dfrac{3}{4}$
$\leftrightarrow$ $4(a^2+b^2+c^2)^2$ \geq $12(a+b+c)$ \geq $12.3=36$

BĐT dưới đúng, suy ra đpcm

Dấu "=" khi: $a=b=c=1$

 

[riverflowsinyou1]

Gpt: $2x+\sqrt{4-2x^2} +\sqrt{y-6}+\sqrt{22-y} = 10$

 

[duchieu300699]

Gpt: $2x+\sqrt{4-2x^2} +\sqrt{y-6}+\sqrt{22-y} = 10$

$2x+\sqrt{4-2x^2} +\sqrt{y-6}+\sqrt{22-y} = 10$

Có $(2x+\sqrt{4-2x^2})^2=[\sqrt{2}(\sqrt{2}x)+\sqrt{4-2x^2}]^2$ \leq $(2x^2+4-2x^2)(2+1)=12$
$\rightarrow$ $2x+\sqrt{4-2x^2}$ \leq $\sqrt{12}$

Xét tương tự với $(\sqrt{y-6}+\sqrt{22-y})^2$ \leq $(1^2+1^2)(y-6+22-y)=32$
$\rightarrow$ $\sqrt{y-6}+\sqrt{22-y}$ \leq $\sqrt{32}$

Vậy $2x+\sqrt{4-2x^2} +\sqrt{y-6}+\sqrt{22-y}$ \leq $\sqrt{12}+\sqrt{32}$ < 10
Suy ra Pt vô nghiệm

 

[tensa_zangetsu]

$2x+\sqrt{4-2x^2} +\sqrt{y-6}+\sqrt{22-y} = 10$

Có $(2x+\sqrt{4-2x^2})^2=[\sqrt{2}(\sqrt{2}x)+\sqrt{4-2x^2}]^2$ \leq $(2x^2+4-2x^2)(2+1)=12$
$\rightarrow$ $2x+\sqrt{4-2x^2}$ \leq $\sqrt{12}$

Xét tương tự với $(\sqrt{y-6}+\sqrt{22-y})^2$ \leq $(1^2+1^2)(y-6+22-y)=32$
$\rightarrow$ $\sqrt{y-6}+\sqrt{22-y}$ \leq $\sqrt{32}$

Vậy $2x+\sqrt{4-2x^2} +\sqrt{y-6}+\sqrt{22-y}$ \leq $\sqrt{12}+\sqrt{32}$ < 10
Suy ra Pt vô nghiệm

Áp dụng Bunyakovsky:
$VT \ge \sqrt{5(2x^2+4-2x^2+y-6+22-y)}=10$

Dấu "=" không xảy ra ($x^2=4-2x^2=y-6=22-y$ vô nghiệm)

PT vô nghiệm

 

[riverflowsinyou1]

cho tam giác ABC, đường phân giác AD, đường cao BH, đường trung tuyến CE đồng quy tại điểm O. CMR: AC.cosA=BC.cosC

 

[tensa_zangetsu]

cho tam giác ABC, đường phân giác AD, đường cao BH, đường trung tuyến CE đồng quy tại điểm O. CMR: AC.cosA=BC.cosC

Có:
$AC.\cos A = \dfrac{AC.AH}{AB}$
$BC.\cos C = HC$

Có $\dfrac{AH.DC.BE}{HC.BD.AE}=1$ (Ceva)
$BE=EA$ $\leftrightarrow \dfrac{AH.DC}{HC.BD}=1$

Có $\dfrac{DC}{BD}=\dfrac{AC}{AB}$

$\leftrightarrow \dfrac{AH.AC}{HC.AB}=1$
$\leftrightarrow \dfrac{AC.AH}{AB}=HC \leftrightarrow AC.\cos A =BC .\cos C$ (dpcm)

 

[eye_smile]

Đề thi vào 10 Thanh Hóa năm ngoái:

Cho a,b,c>0 và $ab+bc+ca=3$. Cm

$\dfrac{a^4}{a+3b}+\dfrac{b^4}{b+3c}+\dfrac{c^4}{c+3a}$ \geq $\dfrac{3}{4}$

$A$ \geq $\dfrac{{({a^2}+{b^2}+{c^2})^2}}{4(a+b+c)}=\dfrac{{(\sqrt{{a^2}+{b^2}+{c^2}})^4}}{4(a+b+c)}$
Có: ${(a+b+c)^2}$ \leq $3({a^2}+{b^2}+{c^2})$
\Leftrightarrow $a+b+c$ \leq $\sqrt{3}.\sqrt{{a^2}+{b^2}+{c^2}}$
\Rightarrow $A$ \geq $\dfrac{{(\sqrt{{a^2}+{b^2}+{c^2}})^4}}{4\sqrt{3}.\sqrt{{a^2}+{b^2}+{c^2}}}=\dfrac{{(\sqrt{{a^2}+{b^2}+{c^2}})^3}}{4\sqrt{3}}$ \geq $\dfrac{3.\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\dfrac{3}{4}$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c=1$

 

[heni]

Cho 3 điểm A,B,C thẳng hàng. ( B thuộc AC ). Đường tròn (O) đi qua B và C, đường kính DE vuông góc BC tại K, AD cắt (O) tại F, EF cắt AC tại I. CMR:
a) Tứ giác DFIK nội tiếp
b) AF . AD = AI . AK

 

[duchieu300699]

Cho 3 điểm A,B,C thẳng hàng. ( B thuộc AC ). Đường tròn (O) đi qua B và C, đường kính DE vuông góc BC tại K, AD cắt (O) tại F, EF cắt AC tại I. CMR:
a) Tứ giác DFIK nội tiếp
b) AF . AD = AI . AK

a) $\widehat{DFI}=\widehat{DKB}=1v$ $\rightarrow$ tgnt

b) $\Delta AFI\sim \Delta AKD$ $\rightarrow$ $AF . AD = AI . AK$

 

[heni]

a) $\widehat{DFI}=\widehat{DKB}=1v$ $\rightarrow$ tgnt

b) $\Delta AFI\sim \Delta AKD$ $\rightarrow$ $AF . AD = AI . AK$

Chứng minh như thế thì chứng minh làm gì???? Sao tớ không biết cách làm, nhưng tớ không nhìn ra góc và cách vẽ hình thôi. Câu b ý, để chứng minh đc đẳng thức thì lúc nào mà chẳng phải xét 2 tam giác đồng dạng / nhưng tại sao nó đồng dạng mới là cái tớ hỏi chứ @-)

 

[congchuaanhsang]

Hey bđt đây

Cho a,b,c>0 và $abc=8$. Tìm min:

$P=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}$