Toán $\color{Blue}{\fbox{TOÁN 9} \text{Ôn thi học kì II+ Ôn thi vào lớp 10.}}$

[riverflowsinyou1]

Bài của thầy Minh hocmai ở Hà Nội .
Cho 2 số thực $x;y$ tìm Min của
$A=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+2)^2+(y+2)^2}$

 

[demon311]

$(pt1): x^3-125+3xy^2-15=0 \\
(x-5)(x^2+5x+25)+3xy^2-15=0 \\
(x-5)(5x^2+25x+125)+15xy^2-75=0 \\
(pt2): 5x(x-5)+2y(x-5)+5y^2-x=0 \\
(x-5)(5x+2y)+5y^2-x=0 \\
(x-5)(5x^2+2xy)+5xy^2-x^2=0 \\
(x-5)(15x^2+6xy)+15xy^2-3x^2=0\\
(pt2)-(pt1): \\
(x-5)(10x^2+6xy-25x-125)-3(x^2-25)=0 \\
(x-5)(10x^2+6xy-25x-125)-3(x-5)(x+5)=0 \\
(x-5)(10x^2+6xy-25x-125-3x-15)=0 $
Giải phương trình tích là xong

 

[huy14112]

ĐH Quốc Gia Hà Nội 2001-2002.
Giải pt:
$\sqrt{x-1}+\sqrt{x^3+x^2+x+1}$=$1+\sqrt{x^4-1}$

Ô hô hô giải được 1 bài thi đại học )

Đặt $\sqrt{x-1}=a ; \sqrt{x^3+x^2+x+1} =b $

Dể dàng nhận thấy $\sqrt{x^4-1}=ab$

Thay vào có : $ a+b=ab+1$

$(a-1)(b-1)=0$

Xét 2 th rồi tìm x

 

[demon311]

ĐH Quốc gia Hà Nội 2003-2004.
Tìm các số nguyên $x;y$ thỏa mãn:
$x^2+xy+y^2=(xy)^2$

Ta có:
(x+y)^2=xy(xy+1)$
$xy$ và $xy+1$ là 2 sô nguyên liên tiếp, mà tích của chúng là số chính phương nên:
xy=0 => x=0 ; y=0
hoặc xy+1=0 => x=1 or x=-1 ...loại
Vậy (x;y)=(0;0);(1;-1);(-1;1)

 

[sonad1999]

ĐH Quốc Gia Hà Nội 2001-2002.
Giải pt:
$\sqrt{x-1}+\sqrt{x^3+x^2+x+1}$=$1+\sqrt{x^4-1}$

Ta có:[TEX]\sqrt{x-1}+\sqrt{x^3+x^2+x+1}[/TEX]=[TEX]1+\sqrt{x^4-1}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\sqrt{x-1} + \sqrt{(x+1)(x^2+1)}[/TEX] = [TEX]1 + \sqrt{(x-1)(x+1)(x^2+1)}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\sqrt{x-1} + \sqrt{(x+1)(x^2+1)} - 1 -\sqrt{(x-1)(x+1)(x^2+1)[/TEX]=0
\Leftrightarrow [TEX](\sqrt{x-1} - 1)[/TEX][TEX](1 - \sqrt{(x+1)(x^2+1)})[/TEX]=0
\Rightarrow [TEX]x-1 =1[/TEX]
hoặc [TEX](x+1)(x^2+1)=1[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x=2[/TEX]
hoặc [TEX]x^3 + x^2 + x +1 =1[/TEX] (1)
giải (1) \Rightarrow x=0
Vậy ....

 

[v.sone]

Bài 4

4. b, Theo câu a : ADEH ntiếp \Rightarrow HAE=HDE ( cùng chắn cung HE ) .
ECH (ACH)+HAE (HAC)=90* ; HDE+BDE=90*
\Rightarrow BDE=ECH
Mà ECH+ECB=180* \Rightarrow BED+ECB=180*
\Rightarrow BDEC nội tiếp \RightarrowEBH=EDC .
c, Gọi tâm đường tròn đường kính CH là O \Rightarrow OE=OC=CH/2=a/2 . Ta cần tính EOC .
ABC=45* \Rightarrow BAH=HA+DAE=45* (1)
Theo CM câu b : BDEC nội tiếp \Rightarrow AED=ABC=45* ( cùng bù với DEC )
ADEH nội tiếp \Rightarrow AHD=AED=45* ( cùng chắn cung AD )
\Rightarrow DHO=DHE+EHO=45* (2)
Mặt khác : DHE= DAE ( cùng chắn cung DE do ADEH nội tiếp )
Từ (1) và (2) \Rightarrow EHO=HAC
OH=OE \Rightarrow OHE}=EHO \Rightarrow EOC=2.EHO=2.HAC
Tam giác vuông AHB có ABC=45* \Rightarrow Vuông cân tại H \Rightarrow AH=BH=HC+BC=a+a.căn3=a.( 1+ căn3 )
\Rightarrow tan góc HAC= a/a.( 1+ căn3 )= 1/1+ căn3 \Rightarrow HAC = 20,1*
\Rightarrow EOC=2.HAC= 2.20,1=40,2*
\Rightarrow diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi cung EC và hai bán kính đi qua E và C của đường tròn đường kính CH là : {pi.[( a/2 )^2].40,2}/360 = 0,09.a^2

 

[duchieu300699]

Tuyển sinh vào lớp ĐHKHTN năm 2013-2014.
Thêm câu bất đẳng thức hạng "nhẹ" :
Cho a;b;c thuộc Z thỏa mãn $x+y+z$=$4$. C/m
$a^3+b^3+c^3-3abc$ \geq $4$

Đề là $a+b+c=4$ chứ bạn

Có $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$ \geq (a+b+c)=4

 

[0973573959thuy]

Tuyển sinh vào lớp ĐHKHTN năm 2013-2014.
Giải hệ pt
$\sqrt{2x-1}$+$\sqrt{3x+1}$=$4x-1$.
Thêm câu bất đẳng thức hạng "nhẹ" :
Cho a;b;c thuộc Z thỏa mãn $x+y+z$=$4$. C/m
$a^3+b^3+c^3-3abc$ \geq $4$

Đề bài 1 có vấn đề. Đề chuẩn phải là như này :

Giải pt: $\sqrt{3x + 1} + \sqrt{2 - x} = 3$ (1)

ĐKXĐ: $\dfrac{-1}{3} \le x \le 2$

Bình phương hai vế của (1) ta có:

$3x + 1 + 2 - x + 2\sqrt{(3x + 1)(2 - x)} = 9$

$\leftrightarrow 2x + 3 + 2\sqrt{(3x + 1)(2 - x)} = 9$

$\leftrightarrow 2\sqrt{(3x + 1)(2 - x)} = 9 - 2x - 3 = 6 - 2x = 2(3 - x)$

$\leftrightarrow \sqrt{(3x + 1)(2 - x)} = 3 - x$ (2)

Với điều kiện $3 - x \ge 0 \leftrightarrow x \le 3$ ta có (2) $\leftrightarrow (3x + 1)(2 - x) = (3 - x)^2 \leftrightarrow 6x - 3x^2 + 2 - x = -3x^2 + 5x + 2 = x^2 - 6x + 9$

$\leftrightarrow 4x^2 - 11x + 7 = 0 \leftrightarrow 4x(x - 1) - 7(x - 1) = (4x - 7)(x - 1) = 0$

$\leftrightarrow x = 1; x = \dfrac{7}{4}$ thỏa mãn điều kiện đặt ra

Vậy pt đã cho có hai nghiệm $x_1 = 1; x_2 = \dfrac{7}{4}$

P.s: Cái kia là đề thi vào chuyên KHTN do trường ĐH Quốc Gia mở chứ không phải đề thi đại học nhá! Tưởng bở hả =))

 

[demon311]

Đề là $a+b+c=4$ chứ bạn

Có $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$ \geq (a+b+c)=4

Đề sai mà không phát hiện ra: phải là $a^3+b^3+c^3-3abc \ge 0$
Bạn không phát hiện ra cái chỗ sai trong bài của mình:
$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \ge 1$ thì $a+b+c \ge 4$
Lần sau gõ latex thì gõ \ge là được, không cần dùng geq đâu

 

[letsmile519]

Bài của thầy Minh hocmai ở Hà Nội .
Cho 2 số thực $x;y$ tìm Min của
$A=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+2)^2+(y+2)^2}$

Đề tiếp theo: Đề thi tuyển lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định (Chuyên)

Bài 1: (2 điểm)
1) Cho x,y là các số không âm. Chứng minh:
$\sqrt{x+\sqrt[3]{x^{2}y}}+\sqrt{y+\sqrt[3]{y^{2}x}}=(\sqrt{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}})^{3}$.
2) Cho a,b,c là các số phân biệt thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} a+\frac{2}{b}=b+\frac{2}{c} =c+\frac{2}{a}& \\ abc\neq 0& \end{matrix}\right.$
Chứng minh $\left | abc \right |=2\sqrt{2}$.

Bài 2: (2,5 điểm)
1) GIải phương trình: $x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+1=0$.
2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} xy-3x-2y=3 & \\ x^{2}+y^{2}-x-3y=38& \end{matrix}\right.$

Bài 3: (3 điểm) Cho tamgiác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Các tiếp tuyến của đường tròn tại B,C cắt nhau ở T. Đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D.
1) Chứng minh AB.CD=AC.BD
2) Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh $\angle BAD=\angle CAM$.

Bài 4: (1,5 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x;y) thoả mãn: (xy+7)2=$x^{2}+y^{2}$
2) Tìm n nguyên dương thoả mãn:
$\frac{4.1}{4.1^{4}+1}+\frac{4.2}{4.2^{4}+1}+...+\frac{4n}{4n^{4}+1}=\frac{220}{221}4$

Bài 5: (1 điểm) Có 2010 người xếp thành một vòng tròn, lúc đầu mỗi người cầm 1 chiếc kẹo. Mỗi bước chọn hai người có kẹo và thực hiện: Mỗi người chuyển 1 chiếc kẹo cho người bên cạnh (về bên trái hoặc phải). Sau hữu hạn bước có thể xảy ra trường hợp tất cả số kẹo chuyển về một người hay không?

 

[duchieu300699]

Đề tiếp theo: Đề thi tuyển lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định (Chuyên)


Bài 2: (2,5 điểm)
1) GIải phương trình: $x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+1=0$.

Pt \Leftrightarrow $(x-1)^2(x^2-3x+1)=0$
\Rightarrow x=.....

 

[duchieu300699]

Đề tiếp theo: Đề thi tuyển lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định (Chuyên)


Bài 2: (2,5 điểm)
2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} xy-3x-2y=3 & \\ x^{2}+y^{2}-x-3y=38& \end{matrix}\right.$

Từ pt(1) \Rightarrow $y=\frac{3x+3}{x-2}$

Thế vào pt(2) \Leftrightarrow $x^{2}+(\frac{3x+3}{x-2})^{2}-x-3.\frac{3x+3}{x-2}=38$
\Leftrightarrow $(x^4-4x^3+4x^2)+(9x^2+18x+9)-(x^3-4x^2+4x)-(9x^2-9x-18)=38(x^2-4x+4)$

\Leftrightarrow $x^4-5x^3-30x^2+175x-125=0$

\Leftrightarrow $(x-5)^2(x^2+5x-5)=0$

\Rightarrow x=... \Rightarrow y=...

 

[duchieu300699]

Đề tiếp theo: Đề thi tuyển lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định (Chuyên)

Bài 1: (2 điểm)
1) Cho x,y là các số không âm. Chứng minh:
$\sqrt{x+\sqrt[3]{x^{2}y}}+\sqrt{y+\sqrt[3]{y^{2}x}}=(\sqrt{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}})^{3}$.(1)

Đặt $ \sqrt[3]{x}=a$ ; $\sqrt[3]{y}=b$
\Rightarrow (1) \Leftrightarrow $\sqrt{a^3+a^2b}+\sqrt{b^3+ab^2}=(\sqrt{a+b})^3$
\Rightarrow $a^3+a^2b+ab^2+2\sqrt{(a^3+a^2b)(b^3+ab^2)}=(a+b)^3$
\Rightarrow $\sqrt{(a^3+a^2b)(b^3+ab^2)}=a^2b+ab^2$
Đẳng thức dưới đúng \Rightarrow đpcm

 

[duchieu300699]

Đề tiếp theo: Đề thi tuyển lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định (Chuyên)


Bài 4: (1,5 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x;y) thoả mãn: (xy+7)2=$x^{2}+y^{2}$

Bài này nếu đề đúng thì ko có nghiệm đâu

Có $x^2-2xy+y^2=14$
\Rightarrow $x-y=\sqrt{14}$
Không phải nghiệm nguyên

 

[forum_]

2) Cho a,b,c là các số phân biệt thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} a+\frac{2}{b}=b+\frac{2}{c} =c+\frac{2}{a}& \\ abc\neq 0& \end{matrix}\right.$
Chứng minh $\left | abc \right |=2\sqrt{2}$.

$a+\dfrac{2}{b}=b+\dfrac{2}{c}$

\Rightarrow $a-b=\dfrac{2}{c}-\dfrac{2}{b}$

\Leftrightarrow $a-b=\dfrac{2(b-c)}{bc}$ (1)

Tương tự ta cũng có:

$b-c=\dfrac{2(c-a)}{ac}$ (2)

$c-a=\dfrac{2(a-b)}{ab}$ (3)

Nhân (1),(2), (3) vế theo vế ta đc $a^2b^2c^2=8$ \Rightarrow $| abc |=2\sqrt{2}$

(ĐPCM)

4.2: đề lỗi

 

[riverflowsinyou1]

Nhằm phục vụ ôn thi nên em xin gửi 1 số bài toán hình.
1) Cho a;b;c>0 thoả mãn :
a.$(b-c)^2$+b.$(c-a)^2$+c.$(a-b)^2$+4a.b.c > $a^3+b^3+c^3$.
C/m a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
2) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (C) và M là 1 điểm thay đổi trên cung nhỏ BC, N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB. K là trực tâm của tam giác NAB. Giả sử MC cắt AB tại D, hạ KE vuông góc BC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, P là trung điểm HK. C/m D;E;P thẳng hàng.
( Trích đề tuyển tin vào THPT Toán Tin năng khiếu ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2004-2005)
3) Cho tam giác ABC , O nằm trong tam giác ( O không thuộc cạnh tam giác ). M nằm trên tia OA ( M khác O;A) sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM còn cắt tia OB tại N khác B và đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM còn cắt OC tại P khác C. Gọi I;J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tam giác MNP. C/m O;I;J thẳng hàng.
( Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu).

 

[0973573959thuy]

Nhằm phục vụ ôn thi nên em xin gửi 1 số bài toán hình.
1) Cho a;b;c>0 thoả mãn :
a.$(b-c)^2$+b.$(c-a)^2$+c.$(a-b)^2$+4a.b.c > $a^3+b^3+c^3$.
C/m a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.

Chuyển hết các hạng tử sao 1 vế rồi rút gọn, phân tích ra ta được: $(a + b - c)(c + b - a)(c + a - b) > 0$

Lúc này có 2 trường hợp xảy ra :

$TH_1$: Có một ngoặc tròn dương, 2 ngoặc tròn âm

Giả sử a + b - c < 0; c + b - a < 0 $\rightarrow 2b < 0 \rightarrow b < 0$ (trái gt cho b > 0)

Vậy $TH_1$ không xảy ra

$TH_2$: 3 dấu ngoặc đều dương
Khi đó ta có : a + b > 0; c + b > a; c + a > b

Cả 3 số dương a;b;c thỏa mãn bđt tam giác nên a;b;c là số đo 3 cạnh tam giác

P.s: Về cái phân tích tại sao ra (a + b - c)(c + b - a)(c + a - b) > 0 thì chiều mình giải chi tiết nhé! Giờ măm cơm đã

 

[riverflowsinyou1]

Chuyển hết các hạng tử sao 1 vế rồi rút gọn, phân tích ra ta được: $(a + b - c)(c + b - a)(c + a - b) > 0$

Lúc này có 2 trường hợp xảy ra :

$TH_1$: Có một ngoặc tròn dương, 2 ngoặc tròn âm

Giả sử a + b - c < 0; c + b - a < 0 $\rightarrow 2b < 0 \rightarrow b < 0$ (trái gt cho b > 0)

Vậy $TH_1$ không xảy ra

$TH_2$: 3 dấu ngoặc đều dương
Khi đó ta có : a + b > 0; c + b > a; c + a > b

Cả 3 số dương a;b;c thỏa mãn bđt tam giác nên a;b;c là số đo 3 cạnh tam giác

P.s: Về cái phân tích tại sao ra (a + b - c)(c + b - a)(c + a - b) > 0 thì chiều mình giải chi tiết nhé! Giờ măm cơm đã

Giả sử $a$ \geq $b$ \geq $c$ > $0$
$a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2+4abc$>$a^3+b^3+c^3$
$a(b-c)^2-a^3+b(a-c)^2-b^3+c(a-b)^3-c^3+4abc$>0
$a[(b-c)^2-a^2]+b[(a-c)^2-b^2]+c[(a-b)^2+4ab-c^2]$>0
$a(b-c+a)(b-c-a)+b(c-a+b)(c-a-b)+c(a+b+c)(a+b-c)$ > 0
$(a+b-c)[a.(b-c-a)+b(c-a+b)+c(a+b+c)]$>0
$(a+b-c)[a.(b-c-a)+b(b-c-a+2]+c(a+b+c)]$>0
$(a+b-c)[a(b-c-a)-b(b-c-a+2)+c(a+b+c)]$>0
$(a+b-c)[(b-c-a).a-b(b-c-a)-b.2.c+c(a+b+c)]$>0
$(a+b-c)[(b-c-a)(a-b)+c.(a+c-b)]$>0
$(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)$>0 \Rightarrow $c+b$>$a$ \Rightarrow đpcm

 

[congchuaanhsang]

Mọi người thử nào

Tìm min $P=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}$
với x,y,z>0 và $x^2+y^2+z^2$\leq3

(Trích Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội năm 2002-2003 môn Toán chung)

 

[demon311]

Cái này giờ thì dùng được, ban nãy ở pic kia thì ngược dấu, may có congchuaanhsang nhắc

$P \ge \dfrac{ 9}{3+xy+yz+xz} \ge \dfrac{ 9}{3+x^2+y^2+z^2} \ge \dfrac{ 9}{3+3}=\dfrac{ 3}{2}$