T
tanngoclai
Không ai thèm làm bài của em luôn à :-?
Ta cần c/m :
$\sum \dfrac{3+abc}{4+a-ab} - 3 = \sum \dfrac{abc+ab-a-1}{4+a-ab} \ge 0$
Tử không âm ~> ... :3 Mình nhầm không nhể :-?
Không ai thèm làm bài của em luôn à :-?
Ta cần c/m :
$\sum \dfrac{3+abc}{4+a-ab} - 3 = \sum \dfrac{abc+ab-a-1}{4+a-ab} \ge 0$
Tử không âm ~> ... :3 Mình nhầm không nhể :-?
H
huynhbachkhoa23
Cho $x,y,z \ge 0$ và $x+y+z=1$
Chứng minh $x^3+y^3+z^3+6xyz \ge \dfrac{1}{4}$
Em thì làm thế này:
$\leftrightarrow x^3+y^3+z^3+6xyz \ge \dfrac{(x+y+z)^3}{4}$
Đạo hàm toàn miền: $\dfrac{3}{4}(x+y+z)^2 \ge 0$ (đúng)
Cực trị không đạt tại tâm, ta chỉ cần xét trường hợp $1$ trong $3$ số bằng $0$ là đủ. Chọn số đó là $z$
$x^3+y^3 \ge \dfrac{1}{4}$
BDT trên đúng vì $x^3+y^3 \ge \dfrac{(x+y)^3}{4}=\dfrac{1}{4}$
BDT được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi $(x;y;z)=(0; \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2})$ và các hoàn vị.
Còn ai có cách khác ngắn hơn và sơ cấp hơn không :| Dùng dồn biến ý.
Chứng minh $x^3+y^3+z^3+6xyz \ge \dfrac{1}{4}$
Em thì làm thế này:
$\leftrightarrow x^3+y^3+z^3+6xyz \ge \dfrac{(x+y+z)^3}{4}$
Đạo hàm toàn miền: $\dfrac{3}{4}(x+y+z)^2 \ge 0$ (đúng)
Cực trị không đạt tại tâm, ta chỉ cần xét trường hợp $1$ trong $3$ số bằng $0$ là đủ. Chọn số đó là $z$
$x^3+y^3 \ge \dfrac{1}{4}$
BDT trên đúng vì $x^3+y^3 \ge \dfrac{(x+y)^3}{4}=\dfrac{1}{4}$
BDT được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi $(x;y;z)=(0; \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2})$ và các hoàn vị.
Còn ai có cách khác ngắn hơn và sơ cấp hơn không :| Dùng dồn biến ý.
H
huynhbachkhoa23
Công sức cả buổi ăn cơm của em 
(
Đặt $f(x;y;z)=x^3+y^3+z^3+6xyz$ và $t=\dfrac{y+z}{2}$ thì $x+y+z=1 \leftrightarrow x+2t=1$
Giả sử $x=\text{min{x;y;z}}$
Giờ ta chứng minh $f(x;y;z) \ge f(x;t;t)$
$\leftrightarrow (1-3x)(y-z)^2 \ge 0$ (đúng)
Ta có $x=1-2t \ge 0 \leftrightarrow 0\le t \le \dfrac{1}{2}$
$f(x;t;t)=f(1-2t;t;t)=-18t^3+18t^2-6t+1=18(t-\dfrac{1}{2})(-t^2+\dfrac{t}{2}-\dfrac{1}{12})+\dfrac{1}{4}\ge \dfrac{1}{4}$
Vậy ta có điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi $(x;y;z)=(0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2})$ và các hoán vị.
Dồn biến cổ điển hay quá @-) Ai có cách khác nữa thì đăng lên nhá.
(Đặt $f(x;y;z)=x^3+y^3+z^3+6xyz$ và $t=\dfrac{y+z}{2}$ thì $x+y+z=1 \leftrightarrow x+2t=1$
Giả sử $x=\text{min{x;y;z}}$
Giờ ta chứng minh $f(x;y;z) \ge f(x;t;t)$
$\leftrightarrow (1-3x)(y-z)^2 \ge 0$ (đúng)
Ta có $x=1-2t \ge 0 \leftrightarrow 0\le t \le \dfrac{1}{2}$
$f(x;t;t)=f(1-2t;t;t)=-18t^3+18t^2-6t+1=18(t-\dfrac{1}{2})(-t^2+\dfrac{t}{2}-\dfrac{1}{12})+\dfrac{1}{4}\ge \dfrac{1}{4}$
Vậy ta có điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi $(x;y;z)=(0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2})$ và các hoán vị.
Dồn biến cổ điển hay quá @-) Ai có cách khác nữa thì đăng lên nhá.
Last edited by a moderator:
T
tanngoclai
Công sức cả buổi ăn cơm của em
Đặt $f(x;y;z)=x^3+y^3+z^3+6xyz$ và $t=\dfrac{x+y}{2}$ thì $x+y+z=1 \leftrightarrow x+2t=1$
Giả sử $x=\text{min{x;y;z}}$
Giờ ta chứng minh $f(x;y;z) \ge f(x;t;t)$
$\leftrightarrow (1-3x)(y-z)^2 \ge 0$ (đúng)
Ta có $x=1-2t \ge 0 \leftrightarrow 0\le t \le \dfrac{1}{2}$
$f(x;t;t)=f(1-2t;t;t)=-18t^3+18t^2-6t+1=18(t-\dfrac{1}{2})(-t^2+\dfrac{t}{2}-\dfrac{1}{12})+\dfrac{1}{4}\ge \dfrac{1}{4}$
Vậy ta có điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi $(x;y;z)=(0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2})$ và các hoán vị.
Dồn biến cổ điển hay quá @-) Ai có cách khác nữa thì đăng lên nhá.
Hỏi luôn là bác mò ra biến dồn à
) Em không có học =))
H
huynhbachkhoa23
Hỏi luôn là bác mò ra biến dồn à
Em không có học =))
Em mới hiểu cái dồn biến cổ điển hôm qua thôi.
Hồi đó thì đọc cũng không hiểu cho lắm, giờ thì hiểu ra là cứ xông pha trận mạc là ra liền
)
T
tanngoclai
Em mới hiểu cái dồn biến cổ điển hôm qua thôi.
Hồi đó thì đọc cũng không hiểu cho lắm, giờ thì hiểu ra là cứ xông pha trận mạc là ra liền
Làm thế nào để tìm được biến dồn :3 Dồn cho những cái như nào :3
Bđt bậc cao thì thường dồn được k =))
H
huynhbachkhoa23
$x+y+z=...$ thì thường thường $t=\dfrac{y+z}{2}$ và biến còn lại là min hoặc max của các biến nếu cần.
$xyz=...$ thì thường dồn về $t=\sqrt{yz}$ và ...
$x^2+y^2+z^2=...$ thì $t=\sqrt{\dfrac{y^2+z^2}{2}}$
...
Và thể loại $xy+yz+zx=a$ thì dồn về $t$ sao cho $t^2+2tx=a$
Bậc cao thấy có mấy người làm rồi. Bậc 4
H
huynhbachkhoa23
Anh em chém tiếp đi )
Bài 1: Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thoả $a+b+c=2$. Chứng minh:
$$(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) \le 3$$
Bài 2: Giả sử $a,b,c$ là các số dương thoả mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh:
$\sum \dfrac{1}{\sqrt{1+(2x-y)^2}}\le \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
)Bài 1: Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thoả $a+b+c=2$. Chứng minh:
$$(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) \le 3$$
Bài 2: Giả sử $a,b,c$ là các số dương thoả mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh:
$\sum \dfrac{1}{\sqrt{1+(2x-y)^2}}\le \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
R
riverflowsinyou1
T
tanngoclai
Bác Khoa học cái gì về bđt về đạo hàm thì đăng lên đây cho tụi em đi ..................
Chú nhìn thấy tiêu đề topic không :| Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8 =))
H
huynhbachkhoa23
Không ai để ý đến cái pic này nữa nhỉ =))
Không dùng đạo hàm để giải.
Bài 1: $f(x)=x^2-3x+2$. Tìm GTLN và GTNN của $f(x)$ với $x\in \left [0;3 \right ]$.
Bài 2: $f(x)=x^3+x^2+5x+2$.
$(a)$ Chứng minh $x_1>x_2 \leftrightarrow f(x_1)>f(x_2)$.
$(b)$ Tìm GTNN và GTLN của $f(x)$ với $x\in \left [0;1 \right ]$
Không dùng đạo hàm để giải.
Bài 1: $f(x)=x^2-3x+2$. Tìm GTLN và GTNN của $f(x)$ với $x\in \left [0;3 \right ]$.
Bài 2: $f(x)=x^3+x^2+5x+2$.
$(a)$ Chứng minh $x_1>x_2 \leftrightarrow f(x_1)>f(x_2)$.
$(b)$ Tìm GTNN và GTLN của $f(x)$ với $x\in \left [0;1 \right ]$
T
tanngoclai
Nhắc lại lần nữa ~!
"[Toán 8] Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8" ~!
Thế nên không có đạo hàm đâu nên bác không cần nhắc :3
"[Toán 8] Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8" ~!
Thế nên không có đạo hàm đâu nên bác không cần nhắc :3
H
huynhbachkhoa23
Giải bài 1 cho bác Tân đỡ ức chế =))
$f(x)=x^2+\dfrac{9}{4}-3x-\dfrac{1}{4} \ge 3x-3x \dfrac{-1}{4}=\dfrac{-1}{4}$
$f(x)=x(x-3)+2 \le 2$ (Vì $x\ge 0$ và $x\le 3$)
$\text{min f(x)$=\dfrac{-1}{4}$}\leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$
$\text{max f(x)$=2$}\leftrightarrow x=0$ hoặc $x=3$
T
transformers123
Lâu rồi không vô cái topic này =))
Ủng hộ một bài, rất dễ, chỉ cần chú ý một chút là ra ngay =))
Cho $x,\ y,\ z$ dương, chứng minh:
$$\dfrac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}+\dfrac{8xyz}{(y+z)(z+x)(x+y)} \ge 4$$
Ủng hộ một bài, rất dễ, chỉ cần chú ý một chút là ra ngay =))
Cho $x,\ y,\ z$ dương, chứng minh:
$$\dfrac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}+\dfrac{8xyz}{(y+z)(z+x)(x+y)} \ge 4$$
Last edited by a moderator:
H
huynhbachkhoa23
T
transformers123
Đã sữa =))
Thêm câu nữa =))
Chứng minh với mọi số dương $a, b,c$ ta có bất đẳng thức sau:
$$abc+a^2+b^2+c^2+5 \ge 3(a+b+c)$$
Last edited by a moderator:
M
minhhieupy2000
T
transformers123
H
huynhbachkhoa23
Đề nghị nghiêm túc: $(a-2)bc+a^2+(b+c)^2+5\ge 3(a+b+c)$
Cố định tổng $b+c$ thì coi bất đẳng thức trên đơn điệu theo biến $bc\in \left(0, \dfrac{(b+c)^2}{4}\right]$
Khi đó theo định lý Look at the end point thì ta chỉ cần chứng minh khi $b=c$ hoặc $a=0$
Tự làm tiếp.
Cố định tổng $b+c$ thì coi bất đẳng thức trên đơn điệu theo biến $bc\in \left(0, \dfrac{(b+c)^2}{4}\right]$
Khi đó theo định lý Look at the end point thì ta chỉ cần chứng minh khi $b=c$ hoặc $a=0$
Tự làm tiếp.
M
minhhieupy2000
Chuẩn hóa $ a+b+c=3$.
$\rightarrow$ cầnc chứng minh $ a^2+b^2+c^2+abc \ge 4 $
Ta có: $2(a^2+b^2+c^2)+2abc = a^2+b^2+c^2-1+(a^2+b^2+c^2+2abc+1) \ge a^2+b^2+c^2 +2(ab+bc+ca) -1 =8$
$\rightarrow đpcm $ dấu '=' $\leftrightarrow a=b=c=1$
không biết có đúng k nhỉ :-SS:-SS
$\rightarrow$ cầnc chứng minh $ a^2+b^2+c^2+abc \ge 4 $
Ta có: $2(a^2+b^2+c^2)+2abc = a^2+b^2+c^2-1+(a^2+b^2+c^2+2abc+1) \ge a^2+b^2+c^2 +2(ab+bc+ca) -1 =8$
$\rightarrow đpcm $ dấu '=' $\leftrightarrow a=b=c=1$
không biết có đúng k nhỉ :-SS:-SS