Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[evilfc]

1 bài cho topic đây

$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{a^2+c^2}{a+c}$\leq3$(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c})$với a,b,c là các số thực dương.

 

[su10112000a]

$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{a^2+c^2}{a+c}$\leq3$(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c})$

Đề sai khi $a=-1$, $b=-2$, $c=-3$ , phải có thêm ĐK :$a,b,c>0$

 

[ronaldover7]

bài trên có vẻ hơi khó thôi em đăng bài dễ vậy=)):
Cho $0<a, b, c<0$. Chứng minh rằng:
$2a^3 + 2b^3 + 2c^3 < 3 + a^2b+b^2c + c^2a$

WTF,cái gì vậy nè__________________________________________________

 

[su10112000a]

$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{a^2+c^2}{a+c}$\leq3$(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c})$với a,b,c là các số thực dương.

Ta có:
$\sum \dfrac{a^2+b^2}{a+b}=\sum \dfrac{(a+b)^2-2ab}{a+b}$
\Leftrightarrow$\sum \dfrac{a^2+b^2}{a+b}=\sum a+b-\dfrac{2ab}{a+b}$
\Leftrightarrow$\sum \dfrac{a^2+b^2}{a+b} \le \sum a+b-\dfrac{2ab}{2\sqrt{ab}}$
\Leftrightarrow$\sum \dfrac{a^2+b^2}{a+b} \le \sum a+b-\sqrt{ab}$
\Leftrightarrow$\sum \dfrac{a^2+b^2}{a+b} \le \sum a+b-\dfrac{a+b}{2}$
\Leftrightarrow$\sum \dfrac{a^2+b^2}{a+b} \le a+b+c$
lại có:
$3(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}) \ge 3.\dfrac{(a+b+c)^2}{3}.\dfrac{1}{a+b+c}$
\Leftrightarrow$3(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}) \ge a+b+c$
Suy ra :dpcm

 

[huynhbachkhoa23]

Ta có:
$\sum \dfrac{a^2+b^2}{a+b}=\sum \dfrac{(a+b)^2-2ab}{a+b}$
\Leftrightarrow$\sum \dfrac{a^2+b^2}{a+b}=\sum a+b-\dfrac{2ab}{a+b}$
\Leftrightarrow$\sum \dfrac{a^2+b^2}{a+b} \le \sum a+b-\dfrac{2ab}{2\sqrt{ab}}$
\Leftrightarrow$\sum \dfrac{a^2+b^2}{a+b} \le \sum a+b-\sqrt{ab}$
\Leftrightarrow$\sum \dfrac{a^2+b^2}{a+b} \le \sum a+b-\dfrac{a+b}{2}$
\Leftrightarrow$\sum \dfrac{a^2+b^2}{a+b} \le a+b+c$
lại có:
$3(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}) \ge 3.(\dfrac{\dfrac{(a+b+c)^2}{3}}{a+b+c})$
\Leftrightarrow$3(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}) \ge a+b+c$
Suy ra :dpcm

Ngược dấu rồi bác. Bước 3, Cauchy ngược dấu là có dấu $\ge$

 

[huynhbachkhoa23]

Cho bài dồn biến này =))

Cho $(x-4)^2+(y-4)^2+2xy \le 32$

Tìm GTLN, GTNN của $P(x,y)=(x+y)(x^2+y^2-xy)+3(xy-1)(x+y-2)$

 

[su10112000a]

Ngược dấu rồi bác. Bước 3, Cauchy ngược dấu là có dấu $\ge$

Ngược dấu chỗ nào bác chỉ ra coi=))...........................

 

[huynhbachkhoa23]

Ngược dấu chỗ nào bác chỉ ra coi=))...........................

Giờ bác chứng minh $\dfrac{2ab}{-(a+b)} \le \dfrac{2ab}{-2\sqrt{ab}}$ thử xem bài bác có bị ngược không. Em chấp =))

Bước $4 \to 5$ cũng bị ngược này. $\sqrt{ab} \le \dfrac{a+b}{2} \rightarrow -\sqrt{ab} \ge -\dfrac{a+b}{2}$. Đâu ra cái $ac \ge bc$ với $a \ge b, c < 0$ =))

 

[su10112000a]

Giờ bác chứng minh $\dfrac{2ab}{-(a+b)} \le \dfrac{2ab}{-2\sqrt{ab}}$ thử xem bài bác có bị ngược không. Em chấp =))

Bước $4 \to 5$ cũng bị ngược này. $\sqrt{ab} \le \dfrac{a+b}{2} \rightarrow -\sqrt{ab} \ge -\dfrac{a+b}{2}$. Đâu ra cái $ac \ge bc$ với $a \ge b, c < 0$ =))

Vậy à giải lại =)).......................................................................

 

[su10112000a]

bài trên có vẻ hơi khó thôi em đăng bài dễ vậy=)):
Cho $0<a, b, c<1$. Chứng minh rằng:
$2a^3 + 2b^3 + 2c^3 < 3 + a^2b+b^2c + c^2a$
P/s: đã sửa

Vì $a, b<1$ nên: $a^2<1, b<1$
\Rightarrow $(1-a^2)(1-b)>0$
\Leftrightarrow$1+a^2b-a^2-b>0$
\Leftrightarrow$1+a^2b>a^2+b$
Mặt khác $0<a, b<1$ nên: $a^2<a^3$, $b<b^3$
Nên: $1+a^2b>a^3+b^3$
tương tự:
$1+b^2c>b^3+c^3$
$1+c^2a>c^3+a^3$
suy ra: $\mathfrak{dpcm}$

 

[huynhbachkhoa23]

Nhớ lại dồn biến là phải dùng đến đạo hàm với bảng biến thiên, thôi làm đại bài này :|

Chứng minh với mọi số thực dương $a,b,c$ thì:

$$\sum \dfrac{2a-b-c}{b+c} \ge \sum (\dfrac{a-b}{\sum a})^2$$

 

[riverflowsinyou1]

Nhớ lại dồn biến là phải dùng đến đạo hàm với bảng biến thiên, thôi làm đại bài này :|

Chứng minh với mọi số thực dương $a,b,c$ thì:

$$\sum \dfrac{2a-b-c}{b+c} \ge \sum (\dfrac{a-b}{\sum a})^2$$

$VT=\sum \frac{(a-b)^2}{(b+c)(a+c)}$
Ta có $(b+c)(a+c)=ab+ac+cb+c^2<(a+b+c)^2$
\Rightarrow $\fraC{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}>\frac{(a-b)^2}{(a+b+c)^2}$
Tương tự \Rightarrow đpcm

 

[riverflowsinyou1]

1) Cho $x,y,z>0$ sao cho $x+y+z \ge 6$ . Tìm GTNN :
$P=\sum \frac{x^3}{y+z}$
2) Cho $x,y,z>0$ sao cho $x+y+z \le \frac{3}{2}$.
C/m $\sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}} \ge 3.\sqrt{17}$

 

[huynhbachkhoa23]

1) Cho $x,y,z>0$ sao cho $x+y+z \ge 6$ . Tìm GTNN :
$P=\sum \frac{x^3}{y+z}$
2) Cho $x,y,z>0$ sao cho $x+y+z \le \frac{3}{2}$.
C/m $\sum \sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}} \ge 3.\sqrt{17}$

Eo ơi, bác đùa à =))

Bài 1:

Cauchy-Schwarz và vài BDT phụ (đầy đủ hơn mấy hôm trước =))):

$P=\sum \dfrac{x^3}{y+z}=\sum \dfrac{x^4}{xy+xz} \ge \dfrac{(\sum x^2)^2}{2\sum xy} \ge \dfrac{(\sum x^2)^2}{2\sum x^2}=\dfrac{\sum x^2}{2} \ge \dfrac{(\sum x)^2}{6} \ge 6$

$\text{minP=6}\leftrightarrow x=y=z=2$

Bài 2:

Sửa đề lại đi, phải là $\dfrac{3\sqrt{17}}{2}$

Minkovsky và Cauchy:

$\sum \sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}} \ge \sqrt{(\sum x)^2+(\sum\dfrac{1}{x})^2}=\sqrt{k(\sum x)^2 + (\sum \dfrac{1}{x})^2- (k-1)(\sum x)^2}$
$ \ge \sqrt{2\sqrt{k}.(\sum x)(\sum \dfrac{1}{x})-\dfrac{9}{4}(k-1)}\ge \sqrt{18\sqrt{k}-\dfrac{9}{4}(k-1)}$

Chọn $k=16$ =))


@thinhrost1: đẳng thức xảy ra khi nào? (biết rồi nhưng hỏi chơi ) )
@khoa: Khi VT=VP =))

 

[huynhbachkhoa23]

Bài của em:

Có thể viết lại BDT:

$\sum \dfrac{2a}{b+c} \ge 3 + \sum \dfrac{(a-b)^2}{(\sum a)^2}$

Chuẩn hoá $a+b+c=1$ (do $f(a;b;c)=f(ta;tb;tc)$ nói chung là cái bếp thuần nhất =)))

$VT = \sum \dfrac{2a^2}{ab+ac} \ge \dfrac{(\sum a)^2}{\sum ab}=\dfrac{1}{\sum ab}$

$VT=3+\sum (a-b)^2=3+2(\sum a^2 -\sum ab)=5-6\sum ab$

Giờ ta cần chứng minh $\dfrac{1}{\sum ab} \ge 5-6\sum ab \leftrightarrow \sum ab \le \dfrac{1}{3}\;\;\;\;$

$\sum ab \le \dfrac{(\sum a)^2}{3}=\dfrac{1}{3} $

BDT được chứng minh.

Có vẻ chuẩn hoá hơi dài nhỉ =))

 

[huynhbachkhoa23]

Chứng minh với mọi $x,y,z \in \mathbb{R}$ thì:
$$ 6(\sum x)(\sum x^2) \le 27xyz +10 (\sum x^2)^{\large \frac{3}{2}} $$

Không biết giải nhá =))

 

[riverflowsinyou1]

Cho a,b,c thỏa mãn abc=1.
Tìm GTLN của $N=\sum \frac{a}{a+b^2+c^2}$

 

[thinhrost1]

Bài của em:

Có thể viết lại BDT:

$\sum \dfrac{2a}{b+c} \ge 3 + \sum \dfrac{(a-b)^2}{(\sum a)^2}$

Chuẩn hoá $a+b+c=1$ (do $f(a;b;c)=f(ta;tb;tc)$ nói chung là cái bếp thuần nhất =)))

$VT = \sum \dfrac{2a^2}{ab+ac} \ge \dfrac{(\sum a)^2}{\sum ab}=\dfrac{1}{\sum ab}$

$VT=3+\sum (a-b)^2=3+2(\sum a^2 -\sum ab)=5-6\sum ab$

Giờ ta cần chứng minh $\dfrac{1}{\sum ab} \ge 5-6\sum ab \leftrightarrow \sum ab \le \dfrac{1}{3}\;\;\;\;$

$\sum ab \le \dfrac{(\sum a)^2}{3}=\dfrac{1}{3} $

BDT được chứng minh.

Có vẻ chuẩn hoá hơi dài nhỉ =))

Phương pháp chuẩn hóa này có vẻ mới nhỉ !, nếu muốn làm trong đề thi phải chứng minh nó chứ.

Áp dụng giải bài này thử xem:

Cho a,b,c>0. Tìm min

$\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+ \dfrac{1}{2}(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}- \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca})$

 

[huynhbachkhoa23]

Phương pháp chuẩn hóa này có vẻ mới nhỉ !, nếu muốn làm trong đề thi phải chứng minh nó chứ.

Áp dụng giải bài này thử xem:

Cho a,b,c>0. Tìm min

$P=\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+ \dfrac{1}{2}(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}- \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca})$

Ta có: $\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}=3+(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca})(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$

$ \ge 3+\dfrac{9(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{ab+bc+ac}=\dfrac{9(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}-6$

$\Longrightarrow P \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{2}(\dfrac{9(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}-6-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca})$

$\ge 3(\dfrac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac})+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}-3$

$\ge 3.2\sqrt{\dfrac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}-3=4$

Dấu "=" xảy ra $\Longleftrightarrow a=b=c$

 

[riverflowsinyou1]

Cho các số thực a,b,c,d sao cho : a+b+c+d=2
CMR: $a^2 + b^2 + c^2 +d^2 \ge 1$