Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[huynhbachkhoa23]

Gợi ý bài 3

$xyz +2 > 2$

Bài 1: Cauchy bậc $m+n$ cho $n.m^2+m.n^2$


Bắt chước bác luôn đấy =))

 

[huy14112]

thôi bác cho bài mới đê dễ vào ......................................................................=))

 

[su10112000a]

Bài 3: Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$

Chứng minh: $\sum \dfrac{1}{x} > \dfrac{18}{xyz+2}$

Cauchy hết nhá =))

ta có:
$\sum \dfrac{1}{x}$ \geq $\dfrac{9}{x+y+z}$
\Rightarrow$\sum \dfrac{1}{x}$ \geq $9$ (1)
ta có:
$xyz$>$0$ ($x, y, z$>$0$)
\Rightarrow$xyz+2$>$2$
\Rightarrow$\dfrac{18}{xyz+2}<9$ (2)
từ (1) và (2) suy ra: $\mathfrak{đpcm}$ =))
P/s:đã sữa=))

 

[riverflowsinyou1]

Anh em ăn mừng chiến thẳng của anh nào )
Cho $a_1,a_2,...,a_n>0$ và $a_1+a_2+...+a_n=1$
Chứng minh $(\frac{1}{a_1}-1)(\frac{1}{a_2}-1)...(\frac{1}{a_n}-1) \ge (n-1)^n$

 

[riverflowsinyou1]

ta có:
$\sum \dfrac{1}{x}$ \geq $\dfrac{9}{a+b+c}$
\Rightarrow$\sum \dfrac{1}{x}$ \geq $9$ (1)
ta có:
$xyz$>$0$ ($x, y, z$>$0$)
\Rightarrow$xyz+2$>$2$
\Rightarrow$\dfrac{18}{xyz+2}<9$ (2)
từ (1) và (2) suy ra: $\mathfrak{đpcm}$ =))

Gì đó bất đẳng thức mới à ) .........................................................................

 

[su10112000a]

Cho $n$ số $a_1;a_2;...;a_n$>$0$ khi đó:
$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...\frac{1}{a_n}$ \geq $\frac{n^2}{a_1+a_2+...+a_n}$

cũng giống nhau thôi....................................................................=))

 

[huynhbachkhoa23]

$\sum \dfrac{1}{x} \ge \dfrac{9}{a+b+c}$

Vậy cho hỏi $a,b,c$ là cái bếp gì vậy =))

 

[riverflowsinyou1]

Cho a,b,c dương mà (a+b)(b+c)(c+a)=1 . Tìm max ab + bc +ac

 

[tanngoclai]

Đề thi thử KHTN đây mà =))
$1 = (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

Dùng Bunya ta có : $ abc \le \dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}$

$\to 1 \ge \dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

Lại có : $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ac) \to a+b+c \ge \sqrt{3(ab+bc+ac)}$

$\to 1 \ge \dfrac{8}{9}\sqrt{3(ab+bc+ac)}(ab+bc+ca) \to \dfrac{81}{64} \ge 3(ab+bc+ac)^3 \to ab+bc+ac \le \dfrac{3}{4}$

Dấu "=" \Leftrightarrow $a=b=c=\dfrac{1}{2}$

 

[congchuaanhsang]

Mình có mấy tài liệu về bđt đây. Ai thích cứ lấy nhé :v

 

[riverflowsinyou1]

Người sáng tác : Sâu toán.
Cho $a,b,c$ dương và $a+b+c=1$. Tim max $a^2b+b^2c +c^2a$

 

[riverflowsinyou1]

cho a,b,c dương thoả mãn abc=1
$\dfrac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\dfrac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\dfrac{c^3}{(1+a)(1+b)}$ \geq $ \dfrac{3}{4}$

Áp dụng bdt Cauchy :
$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8} \ge \frac{3a}{4}$
Tương tự suy ra :
$VT \ge \frac{2a+2b+2c-3}{4} \ge \frac{2.3.\sqrt[3]{abc}-3}{4}=\frac{6-3}{4}=VP$

 

[riverflowsinyou1]

Người sáng tác : Sâu toán.
Cho $a,b,c$ dương và $a+b+c=1$. Tim max $a^2b+b^2c +c^2a$

Lời giải của Hiếu A Master :
Giả sử $a$=max{a;b;c}
\Rightarrow $\sum a^2b \le a^2b+abc+\frac{c^2a}{2}.2=a(a+c)(b+\frac{c}{2})$
Áp dụng bất đẳng thức $\color{green}{\fbox{AM-GM}}$
$4.\frac{a}{2}.(\frac{a+c}{2})(b+\frac{c}{2}) \le \frac{4.(\frac{a.2+c.2}{2}+b)}{27}=\frac{4}{27}$

 

[su10112000a]

Hôm bữa em có đăng bài này mà ko thấy ai giải nhỉ
Cho bểu thức:
$M=\dfrac{x+1}{\sqrt{x}} + \dfrac{x.\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}} + \dfrac{x^2-\sqrt{x}+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-x\sqrt{x}}$ với $x>0$ và $x$#$1$
C/m $M>4$

 

[eye_smile]

Hôm bữa em có đăng bài này mà ko thấy ai giải nhỉ
Cho bểu thức:
$M=\dfrac{x+1}{\sqrt{x}} + \dfrac{x.\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}} + \dfrac{x^2-\sqrt{x}+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-x\sqrt{x}}$ với $x>0$ và $x$#$1$
C/m $M>4$

$x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ thì $M=4$
=================================================

 

[tanngoclai]

Lời giải của Hiếu A Master :
Giả sử $a$=max{a;b;c}
\Rightarrow $\sum a^2b \le a^2b+abc+\frac{c^2a}{2}.2=a(a+c)(b+\frac{c}{2})$
Áp dụng bất đẳng thức $\color{green}{\fbox{AM-GM}}$
$4.\frac{a}{2}.(\frac{a+c}{2})(b+\frac{c}{2}) \le \frac{4.(\frac{a.2+c.2}{2}+b)}{27}=\frac{4}{27}$

a,b,c dương :| Cậu tìm a,b,c ra coi :|

 

[su10112000a]

$x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$ thì $M=4$
=================================================

em ghi thiếu rồi đề là:
Cho bểu thức:
$M=\dfrac{x+1}{\sqrt{x}} + \dfrac{x.\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}} + \dfrac{x^2-x\sqrt{x}+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-x\sqrt{x}}$ với $x>0$ và $x$#$1$
C/m $M>4$

 

[eye_smile]

em ghi thiếu rồi đề là:
Cho bểu thức:
$M=\dfrac{x+1}{\sqrt{x}} + \dfrac{x.\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}} + \dfrac{x^2-x\sqrt{x}+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-x\sqrt{x}}$ với $x>0$ và $x$#$1$
C/m $M>4$

Rút gọn đc:
$M=\dfrac{x+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}+2 \ge 4$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=1$ (ktm)

\Rightarrow $M>4$

 

[su10112000a]

Cho $x, y, z > 0$, chứng minh bất đẳng thức sau:
$\sqrt{(x + y + z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}}) \ge 1 + \sqrt{ 1 + \sqrt{(x^2 + y^2 + z^2)(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} + \dfrac{1}{z^2})}}$

 

[su10112000a]

Cho $x, y, z > 1$, chứng minh bất đẳng thức sau:
$\sqrt{(x + y + z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}}) \ge 1 + \sqrt{ 1 + \sqrt{(x^2 + y^2 + z^2)(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} + \dfrac{1}{z^2})}}$

bài trên có vẻ hơi khó thôi em đăng bài dễ vậy=)):
Cho $0<a, b, c<1$. Chứng minh rằng:
$2a^3 + 2b^3 + 2c^3 < 3 + a^2b+b^2c + c^2a$
P/s: đã sửa