Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

  • Thread starter riverflowsinyou1
  • Ngày gửi
  • Replies 1,008
  • Views 70,057

H

huynhbachkhoa23

huy14112 said:
hình như đề phải là $ \sum \dfrac{2a}{b+c-a}$ chứ nhỉ .
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Nếu đề như thế thì em giải luôn:

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz:

$\sum \dfrac{2a}{b+c-a} =2\sum \dfrac{a^2}{ab+ca-a^2} \ge \dfrac{2(\sum a)^2}{2(\sum ab) - \sum a^2} \ge \dfrac{6\sum ab}{\sum ab} = 6$

Đẳng thức xảy ra khi $\Delta ABC$ đều.
 
N

ngobaotuan

Chứng minh rằng :
a2+2.a.b+b2a2−b.a+b2 4
Thật vậy : Xét hiệu 4.a2−4.a.b+4.b2−a2−2.a.b−b2=3.a2−6.a.b+3.b2=3.(a−b)2 0
(a2+2.a.b+b2).(a+b)(a2−b.a+b2).(a+b) 82 (đpcm)
:)>-nho cam on nhe
 
R

riverflowsinyou1

Cho 2014 điểm $A_1,A_2,....,A_{2014}$ và một đường tròn có bán kính là 1. C/m luôn tồn tại 1 điểm $M$ nào đó sao cho :
$MA_1+MA_2+...+MA_{2014} \ge 2014$
 
E

evilfc

mình biến đổi cái đầu thôi nhé:
ta có: $\dfrac{a^2}{b^2+c^2}-\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{a(ab+ac-b^2-c^2)}{(b^2+c^2)(b+c)}=\dfrac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b^2+c^2)(b+c)}$
2 cái còn lại biến đổi tương tự , cộng lại rồi đặt nhân tử chung là ra bạn nhé
 
E

eye_smile

Trừ theo từng số như trên ấy
Sâu đó cộng lại, đc:
$VT-VP=\sum bc(b-c)(\dfrac{1}{({a^2}+{c^2})(a+c)}-\dfrac{1}{({a^2}+{b^2})(a+b)})$

Do $a;b;c$ bình đẳng nên g/s $a$ \geq $b$ \geq $c>0$

\Rightarrow các số trong ngoặc đều \geq 0

\Rightarrow VT \geq VP
 
H

huynhbachkhoa23

Cho các số thực dương $a,b,c$ có tích $abc=1$.

Chứng minh rằng: $\sum \dfrac{bc}{a^2(b+c)} \ge \dfrac{3}{2}$
 
E

eye_smile

huy14112 said:
nhưng chưa được cm chị eye_smile ợ .

$\sum \dfrac{bc}{a^2(b+c)} = \sum \dfrac{b^2c^2}{a^2b^2c+a^2c^2b} =\sum \dfrac{b^2c^2}{ab+ac}$

Đến đây dễ rồi chỉ cần 1 lần schwarz và 1 lần AM-GM nữa là ok .
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Là sao em? :)
Biến đổi tí là nó thành bài kia:))
$\dfrac{bc}{{a^2}(b+c)}=\dfrac{abc}{{a^3}(b+c)}= \dfrac{1}{{a^3}(b+c)}$ mà
 
H

huynhbachkhoa23

huy14112 said:
nhưng chưa được cm chị eye_smile ợ .

$\sum \dfrac{bc}{a^2(b+c)} = \sum \dfrac{b^2c^2}{a^2b^2c+a^2c^2b} =\sum \dfrac{b^2c^2}{ab+ac}$

Đến đây dễ rồi chỉ cần 1 lần schwarz và 1 lần AM-GM nữa là ok .
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Troll thôi =))

Cách khác ngoài 2 cách kia: =))

Đăt ẩn phụ nghịch đảo $x,y,z$ của $a,b,c$ với $xyz=1$

$\sum \dfrac{bc}{a^2(b+c)}=\sum \dfrac{x^2}{y+x} \ge \dfrac{(\sum x)^2}{2\sum x} \ge \dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}$

Có vẻ ngắn gọn hơn cái bài thứ 2 của em =))
 
Last edited by a moderator:
H

huy14112

à mà nó cm ngay ở dưới còn gì ........................................................................-_-
 
R

riverflowsinyou1

1) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+xz=xyz$ . C/m
$\sum \frac{y}{x^2} \ge 3.(\sum \frac{1}{x^2})$
2) Người sáng tác : Trần Quốc Anh.
Cho các sô thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a}{b^3+16} \ge \frac{3}{16}$
 
H

huynhbachkhoa23

riverflowsinyou1 said:
Cho a,b,c>0. C/m
$\sum \frac{(b+c-a)^2}{b^2+c^2+2bc+a^2}$ \geq $\frac{3}{5}$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Hai bài trên khó quá, không đủ trình, chém bài dễ =))

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz:

$\sum \dfrac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2} \ge \dfrac{(\sum a)^2}{\sum (a+b)^2 + \sum a^2} \ge \dfrac{3\sum ab}{5\sum ab} \ge \dfrac{3}{5}$

P/s: Dấu $\ge, \le$ bác ghi \ge, \le vào trong ngoặc latex luôn, cho đẹp. Dù cảm ơn bác đã cho đề nhưng nhìn bài mất thẩm mỹ :|
 
H

huynhbachkhoa23

Có 1 bài hồi trước post, chưa ai giải, giờ post lại =))

Các số thực $x,y,u,v$ thoả:

$x^2+y^2=u^2+v^2=1$

Chứng minh $|u(x-y)+v(x+y)| \le \sqrt{2}$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom