Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

  • Thread starter riverflowsinyou1
  • Ngày gửi
  • Replies 1,008
  • Views 70,061

D

duchieu300699

riverflowsinyou1 said:
Tiếp nào :cool::cool:
Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Chứng minh rằng :
$\frac{x^3}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{y^3}{\sqrt{1+z^2}}+\frac{z^3}{\sqrt{1+x^2}}$ \geq $\frac{3}{\sqrt{2}}$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

$ \dfrac{x^3}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{y^3}{\sqrt{1+z^2}}+\dfrac{z^3}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x^4}{x\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{y^4}{y\sqrt{1+z^2}}+\dfrac{z^4}{z\sqrt{1+x^2}} $ \geq $\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+z^2}+z\sqrt{1+x^2}}$

Mặt khác: $(x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+z^2}+z\sqrt{1+x^2})^2$ \leq $(x^2+y^2+z^2)(x^2+y^2+z^2+3)$$=2(x^2+y^2+z^2)^2$

$\rightarrow$ $x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+z^2}+z\sqrt{1+x^2}$ \leq $\sqrt{2}(x^2+y^2+z^2)$

Vậy $\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+z^2}+z\sqrt{1+x^2}}$ \geq $\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{\sqrt{2}(x^2+y^2+z^2)}$=$\dfrac{3}{\sqrt{2}}$
 
C

congchuaanhsang

Tớ góp 1 bài nhé :v

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a+2b+3c$ \geq 20. Tìm min:

$P=a+b+c+\dfrac{3}{a}+\dfrac{9}{2b}+\dfrac{4}{c}$
 
S

su10112000a

Cho các số dương $a, b, c$. Chứng minh:
$\dfrac{ab}{c(c+a)} + \dfrac{bc}{a(a+b)} + \dfrac{ca}{b(b+c)}$ \geq $\dfrac{a}{c+a} + \dfrac{b}{a+b} + \dfrac{c}{b+c}$
 
Last edited by a moderator:
R

riverflowsinyou1

su10112000a said:
theo đề bài, ta cần c/m
$b^2$\geq$\frac{9abc}{a+b+c}$-$2ac$
vì $a+b+c$>0 nên ta có thể quy đồng:
$b^2$\geq$\frac{9abc}{a+b+c}$-$2ac$
\Leftrightarrow$b^2.(a+b+c)$\geq$9abc$-$2ac.(a+b+c)$
\Leftrightarrow$ab^2$+$b^3$+$b^2c$\geq$9abc$-$2a^2c$-2abc-$2ac^2$
\Leftrightarrow$ab^2$+$b^3$+$b^2c$+$2a^2c$+$2ac^2$\geq$7abc$
ta có:
$ab^2$+$b^3$+$b^2c$+$2a^2c$+$2ac^2$
=$ab^2$+$b^3$+$b^2c$+$a^2c$+$a^2c$+$ac^2$+$ac^2$
\Rightarrow$ab^2$+$b^3$+$b^2c$+$2a^2c$+$2ac^2$\geq7.$\sqrt[7]{a^7b^7c^7}$
\Rightarrow$ab^2$+$b^3$+$b^2c$+$2a^2c$+$2ac^2$\geq$7abc$
suy ra đpcm
nhìn mãi mới ra Cau-chy 7 số
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Mình thì bước đầu giống bạn nhưng dễ hơn :p
Cần chứng minh $b^2$ \geq $\frac{9abc}{a+b+c}-2ac$
Hay $b^2(a+b+c)$ $\geq $9abc-2ac(a+b+c)$
Hay $(a+b+c)(b^2+2ac)$ \geq $9abc$
Thật vậy theo bất đẳng thức Cauchy ta có :
$a+b+c$ \geq $3.\sqrt[3]{abc}$
$b^2+2ac=b^2+ac+ac$ \geq $3.\sqrt[3]{b^2.ac.ac}=3.\sqrt[3]{b^2.a^2.c^2}$
\Rightarrow $(a+b+c)(b^2+2ac)$ \geq $9abc$ đã được chứng minh.
 
F

flytoyourdream99


với $ a, b, c $ là các dương thỏa mãn điều kiện: $ a + b + c + ab + bc + ca + = 6abc $

chứng minh:
[TEX] \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq 3[/TEX]

 
S

su10112000a

flytoyourdream99 said:

với $ a, b, c $ là các dương thỏa mãn điều kiện: $ a + b + c + ab + bc + ca + = 6abc $

chứng minh:
[TEX] \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq 3[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Theo đk, chia cả 2 vế cho $abc$, ta đc:
$\dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ca} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$=$6$
áp dụng bất đẳng thức: $x^2 + y^2$ \geq $2xy$, ta có:
$\dfrac{1}{ab}$=$\dfrac{2ab}{2a^2b^2}$\leq$\dfrac{1}{2}$ . $\dfrac{a^2+b^2}{(ab)^2}$
\Rightarrow$\dfrac{1}{ab}$\leq$\dfrac{1}{2} . (\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2})$
tương tự, ta có:
$\dfrac{1}{bc}$\leq$\dfrac{1}{2} . (\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2})$ ; $\dfrac{1}{ca}$\leq$\dfrac{1}{2} . (\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{a^2})$
$\dfrac{1}{a}$\leq$\dfrac{1}{2} . (1+\dfrac{1}{a^2})$ ; $\dfrac{1}{b}$\leq$\dfrac{1}{2} . (1+\dfrac{1}{b^2})$ ; $\dfrac{1}{c}$\leq$\dfrac{1}{2} . (1+\dfrac{1}{c^2})$
cộng lại, ta có:
$\dfrac{3}{2}.(\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} +1)$\geq$6$
\Leftrightarrow$\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} +1$\geq$4$
\Leftrightarrowđpcm
hôm bữa mình down một số bài tập bất đẳng thức có bài này trong mục bất đẳng thức lớp 10 thì phải:D:D:D:D:D
 
Last edited by a moderator:
R

riverflowsinyou1

tensa_zangetsu said:
Cái xích ma trong Casio là như thế này:
$\sum\limits_{x=1}^{n} x^3 = 1^3+2^3+3^3+...+n^3$

có loại khác, không biết tên là gì: $\prod\limits_{x=1}^{n} \dfrac{x(x+2)}{(x+1)(x+3)}=\dfrac{1.3}{2.4}.\dfrac{2.5}{3.6}.....\dfrac{n(n+2)}{(n+1)(n+3)}$

Giờ mới biết $\sum$ cũng có nghĩa là hoán vị :|
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Cái này hình như là nhị thức Newton phải không nhỉ @-) đoán sàm ấy mà.
 
S

su10112000a

Cho a, b, c là các số thực nhỏ hơn 1. Chứng minh:
$a^2+b^2+c^2$\leq$a^2b+b^2c+c^2a+1$
 
R

riverflowsinyou1

0 \geq $(a-1)(b-1)(c-1)=abc-1-a(b-1)-b(c-1)-c(a-1)$ \geq $-1+a^2(1-b)+b^2(1-c)+c^2(1-a)$ \Rightarrow dpcm
 
R

riverflowsinyou1

Lời giải :
Áp dụng $AM-GM$ : $\sum (a^4+b^4+a^4)$ \geq $3\sum a^2b$ \Leftrightarrow $\sum a^4$ \geq $\sum a^2b=3$
 
R

riverflowsinyou1

Nói 1 chút.
Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x+y+z=1$. Tìm Min
$P=\frac{5xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{2xz}{y}$
Bài giải của Nghiêm Thanh Bách :
$\alpha \frac{xy}{z}+\frac{yz}{2x}$ \geq $2y.\sqrt{\frac{\alpha}{2}}$
$\beta \frac{xz}{y}+\frac{yz}{2x}$ \geq $2z. \sqrt{\frac{\beta}{2}}$
$(5-\alpha).\frac{xy}{z}+(2-\beta).\frac{zx}{y}$ \geq $2x.\sqrt{(5-\alpha)(5-\beta)}$
Xác định hệ số khi cho $\sqrt{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{\beta}{2}}= \sqrt{(5-\alpha)(2-\beta)}$
 
E

evilfc

áp dụng BDT a^4 +b^4\geqa^3b+ab^3
\Leftrightarrow2(a^4+b^4)\geqa^4+b^4+a^3b+ab^3
\Leftrightarrow2(a^4+b^4)\geq(a+b)(a^3 +b^3)
\Rightarrowdpcm do a+b \geq2
 
S

su10112000a

cho $a, b, c>0$, chứng minh rằng:
$(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)$\geq$9(xy+yz+zx)$
hướng dẫn: áp dụng nguyên lí Dirichlet
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom