Toán 8 Chuyên đề ôn BDT 8 và cực trị 8

[riverflowsinyou1]

Tiếp bài này:

Bài 1: Cho $x^2+y^2=1$

Chứng minh $\dfrac{1}{4} \le x^6+y^6 \le 1$

Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho $abc=1$

Tìm $\mathfrak{GTNN}$ của $P=\sum \dfrac{1}{a^3(b+c)}$

Bài 3: Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $\sum x^2 \ge \dfrac{1}{3}$

Chứng minh $\sum \dfrac{x^3}{2x+3y+5z} \ge \dfrac{1}{30}$

1) Từ đề ta có $x^2$ \geq $x^6$
$y^2$ \geq $y^6$
\Rightarrow $x^6+y^6$ \leq 1 .Cái kia em chịu

 

[huynhbachkhoa23]

1) Từ đề ta có $x^2$ \geq $x^6$
$y^2$ \geq $y^6$
\Rightarrow $x^6+y^6$ \leq 1 .Cái kia em chịu

Cái kia dùng Cauchy-Schwarz:

$x^6+y^6 \ge \dfrac{(\dfrac{x^4}{x}+\dfrac{y^4}{y})^2}{2} \ge \dfrac{\left[\dfrac{(x^2+y^2)^2}{x+y}\right]^2}{2}=\dfrac{ \dfrac {1}{(x+y)^2}}{2} \ge \dfrac{\dfrac{1}{2(x^2+y^2)}}{2} = \dfrac{1}{4}$

 

[riverflowsinyou1]

Cho tam giác $ABC$ có a \geq b \geq c \geq 1
C/m $a.\sqrt{b-1}+b.\sqrt{a-1}$ \leq $abc$

 

[huynhbachkhoa23]

Cho tam giác $ABC$ có a \geq b \geq c \geq 1
C/m $a.\sqrt{b-1}+b.\sqrt{a-1}$ \leq $abc$

Áp dụng BDT Cauchy:

$a\sqrt{b-1} \le \dfrac{a(b-1+1)}{2}=\dfrac{ab}{2}$

$b\sqrt{a-1} \le \dfrac{b(a-1+1)}{2}=\dfrac{ab}{2}$

Cộng vào: $VT \le ab$

Nhân $1 \le c$: $VT \le abc \;\; (\mathfrak{dpcm})$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=2, c=1$

 

[riverflowsinyou1]

1) Cho $a,b>0$ và $n \in N*$ C/m
$\frac{a^n+b^n}{2}$ \geq $\frac{(a+b)^n}{2^n}$
2) Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác . C/m
$abc$ \geq $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$

 

[ronaldover7]

$(a+b-c)(c+b-a)=b^2-(a-c)^2$ \leq$b^2$
CMTT $(a+b-c)(c+b-a)(a+c-b)^2$ \leq$ (abc)^2$
\Rightarrow dpcm

 

[su10112000a]

2) Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác . C/m
$abc$ \geq $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$

ta có: $a+b-c$\leq$c$ (1)
$b+c-a$\leq$a$ (2)
$c+a-b$\leq$b$ (3)
lấy (1).(2).(3), suy ra ĐPCM

 

[chonhoi110]

1) Cho $a,b>0$ và $n \in N*$ C/m
$\frac{a^n+b^n}{2}$ \geq $\frac{(a+b)^n}{2^n}$

1, Chứng minh theo quy nạp

Giả sử bđt đúng với n=k tức là $\dfrac{a^k+b^k}{2} \ge (\dfrac{a+b}{2})^k$, ta phải chứng minh bđt đúng với $n=k+1$

Xét hiệu $\dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-(\dfrac{a+b}{2})^{k+1}=\dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-(\dfrac{a+b}{2})^k.(\dfrac{a+b}{2})$

$\ge \dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-\dfrac{a^k+b^k}{2}.\dfrac{a+b}{2}$

$=\dfrac{(a-b)(a^k-b^k)}{4}=\dfrac{(a-b)^2(a^{k-1}-a^{k-2}b+...+b^{k-1})}{4} \ge 0 \Longrightarrow Q.E.D $

Dấu "=" xảy ra $\Longleftrightarrow a=b$

 

[thinhrost1]

1) Tìm giá trị lớn nhất của:

$T=\dfrac{a^2+1}{b^2+1}+\dfrac{b^2+1}{c^2+1}+ \dfrac{c^2+1}{a^2+1}$

Trong đó a,b,c là các số thực k âm và $a+b+c=1$

2)Cho x,y không âm thỏa mãn:

$x^3+y^3 \le 1$

Tìm Max: $2\sqrt{2}+\sqrt{y}$

3) Tìm giá trị lớn nhất:

$(x^{a_1}+x^{a_2}+...+x^{a_n})(\dfrac{1}{x^{a_1}}+\dfrac{1}{x^{a_2}}+..\dfrac{1}{x^{a_n}})$ trong đó x là số thực dương $x\ne1$, m,n là các số tự nhiên , n chẵn, và $a_1, a_2,..,a_n$ thuộc đoạn $[m,m+1]$

 

[riverflowsinyou1]

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$ . Tìm GTNN :
$A=x^3+y^3+z^3+(xyz)^2$

 

[riverflowsinyou1]

1) Tìm giá trị lớn nhất của:

$T=\dfrac{a^2+1}{b^2+1}+\dfrac{b^2+1}{c^2+1}+ \dfrac{c^2+1}{a^2+1}$

Trong đó a,b,c là các số thực k âm và $a+b+c=1$

1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
$T$ \geq $3.\sqrt[3]{\frac{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}{(b^2+1)(c^2+1)(a^2+1)}}=3$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

 

[huynhbachkhoa23]

1) Cho $a,b>0$ và $n \in N*$ C/m
$\frac{a^n+b^n}{2}$ \geq $\frac{(a+b)^n}{2^n}$

Áp dụng bất đẳng thức Holder :| khi $m=2$ :

$2^{n-1} (a^n+b^n) \ge (a+b)^n$

$\rightarrow \dfrac{a^n+b^n}{2} \ge \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^n$

 

[huynhbachkhoa23]

2)Cho x,y không âm thỏa mãn:

$x^3+y^3 \le 1$

Tìm Max: $2\sqrt{2}+\sqrt{y}$

$x, y \ge 0$ và $x^3+y^3 \le 1$

$\rightarrow x,y \in [0;1]$

$2\sqrt{2}+\sqrt{y} \le 1+2\sqrt{2}$

Đăng thức xảy ra khi $x=0; y=1$

 

[huynhbachkhoa23]

1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy :
$T$ \geq $3.\sqrt[3]{\frac{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}{(b^2+1)(c^2+1)(a^2+1)}}=3$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Đề là $GTLN$, không là $GTNN$ =))

................................

 

[thinhrost1]

$x, y \ge 0$ và $x^3+y^3 \le 1$

$\rightarrow x,y \in [0;1]$

$2\sqrt{2}+\sqrt{y} \le 1+2\sqrt{2}$

Đăng thức xảy ra khi $x=0; y=1$

Sai rồi bác )

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2: Cho các số thực dương $a,b,c$ sao cho $abc=1$

Tìm $\mathfrak{GTNN}$ của $P=\sum \dfrac{1}{a^3(b+c)}$

Bài 3: Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $\sum x^2 \ge \dfrac{1}{3}$

Chứng minh $\sum \dfrac{x^3}{2x+3y+5z} \ge \dfrac{1}{30}$

Hai bài này chém luôn cho đỡ tồn đọng =))

Bài 2:

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz và Cauchy:

$P=\sum \dfrac{1}{a^{3}(b+c)} \ge \dfrac{(\sum \dfrac{1}{a})^2}{2\sum ab}=\dfrac{(\sum ab)^2}{2\sum ab}=\dfrac{\sum ab}{2} \ge \dfrac{3\sqrt[3]{abc}^2}{2}=\dfrac{3}{2}$

Bài 3:

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz:

$\sum \dfrac{x^3}{2x+3y+5z} \ge \dfrac{(\sum x^2)^2}{2(\sum x^2)+8(\sum xy)} \ge \dfrac{(\sum x^2)^2}{10\sum x^2}=\dfrac{\sum x^2}{10} \ge \dfrac{1}{30}$

 

[huynhbachkhoa23]

Sai rồi bác )

Chỗ nào sai nhỉ

Hay đề là $2\sqrt{x}+\sqrt{y}$

@thinhrost: Ý căn x , sr)
@khoa: làm ngay và luôn đi =))

 

[riverflowsinyou1]

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. C/m :
$\sum \frac{2a}{b+a-c} \ge 6$

 

[huynhbachkhoa23]

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. C/m :
$\sum \frac{2a}{b+a-c} \ge 6$

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz:

$\sum \dfrac{2a}{b+a-c} =2\sum \dfrac{a^2}{ab+a^2-ac} \ge \dfrac{2(\sum a)^2}{\sum a^2} \ge \dfrac{6(ab+bc+ca)}{ab+bc+ca}=6$

Đẳng thức xảy ra khi $\Delta ABC$ đều.

@khoa: Bài sai rồi. =))

 

[huy14112]

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. C/m :
$\sum \frac{2a}{b+a-c} \ge 6$

hình như đề phải là $ \sum \dfrac{2a}{b+c-a}$ chứ nhỉ .