H
huynhbachkhoa23
Đáp án bài dễ nhất trước 
)
Bài 2:
Đặt $(a,b,c)=\left(x^2,y^2,z^2\right)$ với $x,y,z >0$
Ta sẽ chứng minh biểu thức trên không bé hơn $1$
Khi đó bất đẳng thức trở thành:
$$\dfrac{x}{\sqrt{8y^2+z^2}}+\dfrac{y}{\sqrt{8z^2+x^2}}+\dfrac{z}{\sqrt{8x^2+y^2}} \ge 1$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$\sum_{cyc} \dfrac{x}{\sqrt{8y^2+z^2}}=\sum_{cyc}\dfrac{x^2}{x\sqrt{8y^2+z^2}} \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{\sum_{cyc} x\sqrt{8y^2+z^2}}$$
Do đó, ta chỉ cần chuyển về chứng minh:
$$(x+y+z)^2 \ge x\sqrt{8y^2+z^2}+y\sqrt{8z^2+x^2}+z\sqrt{8x^2+y^2}$$
Ta phá căn, sử dụng nguyên lý đồng bậc, ta có thể đánh giá như sau:
$$2\sqrt{8y^2+z^2} \le \dfrac{(Ay+Bz)^2+8y^2+z^2}{Ay+Bz}$$
Ta có thể chọn $A=2, B=1$ để đảm bảo dấu bằng và cho bất đẳng thức dễ nhìn.
Khi đó:
$$RHS \le \sum_{cyc}x\left(\dfrac{6y^2+2yz+z^2}{2y+z}\right) = \sum_{cyc} x\left(3y+z-\dfrac{3yz}{2y+z}\right)$$
Vì thế nên ta cần chứng minh:
$$x^2+y^2+z^2+3xyz\sum_{cyc} \dfrac{1}{2y+z} \ge 2(xy+yz+zx)$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$\sum_{cyc} \dfrac{1}{2y+z} \ge \dfrac{3}{x+y+z}$$
Ta phải chứng minh thêm:
$$x^2+y^2+z^2+\dfrac{9xyz}{x+y+z} \ge 2(xy+yz+zx)
\leftrightarrow (x-y)[x(x-z)-y(y-z)]+z(x-z)(y-z) \ge 0$$
Giả sử $x\ge y\ge z$ thì bất đẳng thức cuối đúng.
Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
Thấy dài thế chứ nhìn tổng quan thì khá đơn giản.
)Bài 2:
Đặt $(a,b,c)=\left(x^2,y^2,z^2\right)$ với $x,y,z >0$
Ta sẽ chứng minh biểu thức trên không bé hơn $1$
Khi đó bất đẳng thức trở thành:
$$\dfrac{x}{\sqrt{8y^2+z^2}}+\dfrac{y}{\sqrt{8z^2+x^2}}+\dfrac{z}{\sqrt{8x^2+y^2}} \ge 1$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$\sum_{cyc} \dfrac{x}{\sqrt{8y^2+z^2}}=\sum_{cyc}\dfrac{x^2}{x\sqrt{8y^2+z^2}} \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{\sum_{cyc} x\sqrt{8y^2+z^2}}$$
Do đó, ta chỉ cần chuyển về chứng minh:
$$(x+y+z)^2 \ge x\sqrt{8y^2+z^2}+y\sqrt{8z^2+x^2}+z\sqrt{8x^2+y^2}$$
Ta phá căn, sử dụng nguyên lý đồng bậc, ta có thể đánh giá như sau:
$$2\sqrt{8y^2+z^2} \le \dfrac{(Ay+Bz)^2+8y^2+z^2}{Ay+Bz}$$
Ta có thể chọn $A=2, B=1$ để đảm bảo dấu bằng và cho bất đẳng thức dễ nhìn.
Khi đó:
$$RHS \le \sum_{cyc}x\left(\dfrac{6y^2+2yz+z^2}{2y+z}\right) = \sum_{cyc} x\left(3y+z-\dfrac{3yz}{2y+z}\right)$$
Vì thế nên ta cần chứng minh:
$$x^2+y^2+z^2+3xyz\sum_{cyc} \dfrac{1}{2y+z} \ge 2(xy+yz+zx)$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$\sum_{cyc} \dfrac{1}{2y+z} \ge \dfrac{3}{x+y+z}$$
Ta phải chứng minh thêm:
$$x^2+y^2+z^2+\dfrac{9xyz}{x+y+z} \ge 2(xy+yz+zx)
\leftrightarrow (x-y)[x(x-z)-y(y-z)]+z(x-z)(y-z) \ge 0$$
Giả sử $x\ge y\ge z$ thì bất đẳng thức cuối đúng.
Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
Thấy dài thế chứ nhìn tổng quan thì khá đơn giản.
Last edited by a moderator:
