Toán [Chuyên đề 4] Tổ hợp, dãy số!!

rua_it · 12 Tháng một 2011

thesecond_jerusalem said:
1 bài khá hay nhé: =((

CM biểu thức sau không phụ thuộc vào x :

[tex]A=[ \sum_{k=0}^{2011}k^{2}.C_{2011}^{k}.x^{k}.(1-x)^{2011-k} ]- 2010.2011.x^2+2011.(1-x)[/tex]

[TEX]\huge \fbox{k^2. C_n^k = (k-1)k C_n^k + k . C_n^k = n(n-1) C_{n-2}^{k-2} + n.C_{n-1}^{k-1}} [/TEX]

Áp dụng vào bài toán ta có :

[TEX]\huge \sum_{k=0}^{2011}k^{2}.C_{2011}^{k}.x^{k}.(1-x)^{2011-k} \\= C_{2011}^1 x(1-x)^{2010}+\sum_{k=2}^{2011}2011.(2011-1).C_{2011-2}^{k-2}.x^k.(1-x)^{2011-k} \\ = 2011x(1-x)^{2010} +2011.2010.x^2 \sum_{k=2}^{2011} C_{2009}^{k-2}.x^{k-2}.(1-x)^{2009-(k-2)} \\ = 2011x(1-x)^{2010}+ 2011.2010. x^2 .( x+ (1-x) )^{2009} \\ = 2011.2010.x^2 + 2011.x(1-x)^{2010}[/TEX]

[TEX]\huge \fbox{A = 2011x(1-x)^{2010} +2011(1-x) [/TEX]

Có phụ thuộc mà :-?

giaosu_fanting_thientai · 14 Tháng một 2011

Lấy 1 số q sao cho a<q<1

Nhưng bài còn lại cứ từ từ...

Mí bài chưa nghĩ ra :|

Tìm giới hạn dãy số xđ bởi
[TEX](u_n)=sin sin sin....sinx [/TEX](n kí hiệu sin)

* Phát biểu định lý bằng lời:

thesecond_jerusalem · 14 Tháng một 2011

1 bài khá hay nữa

Cho 8 gói quà.Hỏi có bao nhiêu cách để chia 8 gói quà này cho 4 người sao cho mỗi người đều có ít nhất 1 gói quà

Ai chém bài này đi,mình chưa nghĩ ra

(

thesecond_jerusalem said:
1 bài khá hay nhé: =((

CM biểu thức sau không phụ thuộc vào x :

[tex]A=[ \sum_{k=0}^{2011}k^{2}.C_{2011}^{k}.x^{k}.(1-x)^{2011-k} ]- 2010.2011.x^2+2011.(1-x)[/tex]

nhocngo976 · 15 Tháng một 2011

1,tính: [TEX]\huge\ S= 1-10C_{2n}^1+10^2C_{2n}^3-10^3C_{2n}^5+.......... {-10^{2n-3}C_{2n}^{2n-1}+10^{2n}}[/TEX]

2, với n nguyên dương. CMR

[TEX]\huge\ 2C_n^2+3.2C_n^3+...+n(n-1)C_n^n=n(n-1).2^{n-2}[/TEX]

duynhana1 · 15 Tháng một 2011

nhocngo976 said:
1,tính: [TEX]\huge\ S= 1-10C_{2n}^1+10^2C_{2n}^3-10^3C_{2n}^5+.......... {-10^{2n-3}C_{2n}^{2n-1}+10^{2n}}[/TEX]

2, với n nguyên dương. CMR

[TEX]\huge\ 2C_n^2+3.2C_n^3+...+n(n-1)C_n^n=n(n-1).2^{n-2}[/TEX]

[TEX]\huge 2) \ Ap\ dung:\ \\ \red{\fbox{k.(k-1).C_n^k = n(n-1) C_{n-2}^{k-2}}[/TEX]

gayal · 16 Tháng một 2011

[TEX]CMR \forall n \geq 1[/TEX]: [TEX]T_n=(n+1)(n+2)...(n+n)=2^n.1.3.5...(2n-1)[/TEX]

bước chứng minh [TEX]T_{k+1}=(k+2)(k+3)...(k+1+k+1)=2^{k+1}.1.3...(2k+1)[/TEX]
Ta có:
[TEX]T_{k+1}=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)...(k+k)(2k+1)(2k+2)}{k+1}[/TEX]
Mình không hiểu là tại sao từ (k+1+k+1) khai triển ra được (k+k)(2k+1)(2k+2).

Bài này được trích trong bài giảng của thầy Khải trên Học Mãi, mình không hiểu một số ý như thế mong các bạn chỉ rõ giúp mình! Cảm ơn rất nhiều

duynhana1 · 16 Tháng một 2011

gayal said:
[TEX]CMR \forall n \geq 1[/TEX]: [TEX]T_n=(n+1)(n+2)...(n+n)=2^n.1.3.5...(2n-1)[/TEX]

bước chứng minh [TEX]T_{k+1}=(k+2)(k+3)...(k+1+k+1)=2^{k+1}.1.3...(2k+1)[/TEX]
Ta có:
[TEX]T_{k+1}=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)...(k+k)(2k+1)(2k+2)}{k+1}[/TEX]
Mình không hiểu là tại sao từ (k+1+k+1) khai triển ra được (k+k)(2k+1)(2k+2).

Bài này được trích trong bài giảng của thầy Khải trên Học Mãi, mình không hiểu một số ý như thế mong các bạn chỉ rõ giúp mình! Cảm ơn rất nhiều

[TEX]\huge T_{k+1} = \frac{T_k . (2k+1)(2k+2)}{k+1} [/TEX] .

Bạn để ý số hạng đầu và số hạng cuối của mỗi cái

duynhana1 said:
[TEX]\huge T_{k+1} = \frac{T_k . (2k+1)(2k+2)}{k+1} [/TEX] .

Mình vẫn chưa hiểu rõ vấn đề bạn ạ, bạn có thể nói rõ hơn giúp mình được không . Cảm ơn bạn nhiều

Bạn đừng bỏ bước là hiểu mà : [TEX]T_{k+1} = (k+2)(k+3)...(2k)(2k+1).(2k+2) = (k+2)(k+3)...(2k)(2k+1).2(k+1) = 2.(2k+1) .T_k[/TEX]

nhocngo976 · 16 Tháng một 2011

típ

1,tính[TEX]\huge\ S=C_{2002}^0C_{2002}^{2001}+C_{2002}^1C_{2002}^{2001}+...+.C_{2002}^kC_{2002-k}^{2001-k}+...+C_{2002}^{2002}C_1^0[/TEX]

2,Với n là số nguyên dương, CMR

[TEX]\huge\ C_n^0+\frac{C_n^1}{1+1}+\frac{C_n^2}{1+2}+...+ \frac{C_n^k}{1+k} +...+\frac{C_n^n}{1+n}=\frac{2^{n+1}-1}{1+n}[/TEX]

duynhana1 · 16 Tháng một 2011

nhocngo976 said:
2,Với n là số nguyên dương, CMR

[TEX]\huge\ C_n^0+\frac{C_n^1}{1+1}+\frac{C_n^2}{1+2}+...+\frac{C_n^k}{1+k}+...+\frac{C_n^n}{1+n}=\frac{2^{n+1}-1}{1+n}[/TEX]

Bài 2:

[TEX]\red \huge Ap\ dung:\ \\ \frac{1}{k+1}.C_n^k = \frac{1}{n+1} . C_{n+1}^{k+1} [/TEX]

giaosu_fanting_thientai · 17 Tháng một 2011

duynhana1 · 17 Tháng một 2011

[TEX]\huge \frac{2}{sin 2x } - cot x = \frac{1}{sin x . cos x } - \frac{cos x}{sin x} = tan x [/TEX]

[TEX]\huge \Rightarrow \lim_{x \to 0 } \frac{2}{sin 2x} - cot x = \lim_{x \to 0} tan x = 0 [/TEX]

[TEX]A =\lim_{x \to + \infty} \bigg( ( \sqrt{x^2+2x} - x) - ( \sqrt[3]{x^3+3x^2} - x ) \Bigg) [/TEX]

[TEX]\huge * \lim_{x \to + \infty}( \sqrt{x^2+2x} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x} = \frac22 = 1 [/TEX]

[TEX]\huge * \lim_{x \to +\infty} ( \sqrt[3]{x^3+3x^2} - x ) = \frac{3x^2}{(\sqrt[3]{x^3+3x^2})^2 + x^2 + x.\sqrt[3]{x^3+3x^2}} = \frac{3}{3} = 1 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow A = 1- 1 =0 [/TEX]

nhocngo976 · 23 Tháng một 2011

Cho dãy số [TEX]u_n[/TEX]xác định bởi [TEX]\left{\begin{ u_1=11 \\ u_{n+1}=10u_n +1-9n, n \in N[/TEX]
Tìm công thức tính u_n theo n

minhkhac_94 · 24 Tháng một 2011

nhocngo976 said:
Cho dãy số [TEX]u_n[/TEX]xác định bởi [TEX]\left{\begin{ u_1=11 \\ u_{n+1}=10u_n +1-9n, n \in N[/TEX]
Tìm công thức tính u_n theo n

Từ CT truy hồi ta có
[TEX]u_{n+1}-(n+1)=10(u_n-n)[/TEX]

Đặt [TEX]u_{n+1}-(n+1)=v_n [/TEX]
thì [TEX]v_n=10v_{n-1}[/TEX] dễ dàng tìm được CTTQ

duynhan1 · 7 Tháng hai 2011

giaosu_fanting_thientai said:

[TEX]Dat\ \left{ A = \sqrt{3+2x+x^2- 2 cos 2x} \\ B = \sqrt[4]{2+4x+x^3 - \sqrt{1+2x^2} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow \left{ \lim_{x\to0}B = 1 \\ \lim_{x \to 0} (A+B) = 2 [/TEX]
[TEX]\Large (P) = \lim_{x \to 0} \frac{A^2 - B^2 }{x^2(A+B)} \\ = \lim_{x \to 0}$\frac{x^2}{x^2(A+B)} + \frac{2- 2 cos2x}{x^2(A+B)} + \frac{1 + 2x - B^2}{x^2(A+B)}$ \\ = \frac12 + 2 + \lim_{x \to 0}\frac{4x^2 + 4x +1 - 2 - 4x-x^3 + \sqrt{1+2x^2}}{x^2(A+B)(1+2x+B^2)} \\ = \frac52 + \lim_{x \to 0} $ \frac{4}{(A+B)(1+2x+B^2)} - \frac{x}{(A+B)(1+2x+B^2)} + \frac{\sqrt{1+2x^2} - 1}{x^2.(A+B)(1+2x+B^2)}$ \\ = \frac52 + 1 - 0 + \frac14 . \lim_{x\to0} \frac{2x^2}{x^2( 1 + \sqrt{1+2x^2} ) } \\ = \frac72 + \frac14 .1 = \frac{15}{4} [/TEX]

duynhan1 · 7 Tháng hai 2011

Cho [TEX]a,b,p,q \in R [/TEX]. Xác định số hạng tổng quát của dãy số [TEX](U_n)[/TEX] được cho bởi CT truy hồi :

[TEX]\left{ u_o=a, \ u_1 =b \\ u_{n+1} = (p+q) - pq u_{n-1}[/TEX]
Xét tất cả các TH xảy ra đối với các tham số p,q.

Tìm [TEX]x_n; y_n[/TEX] thỏa mãn :

[TEX]\left{ x_o =2 ; y_o = 0 \\ 4x_{n+1} = 2x_n - 3y_n (1) \\ 2y_{n+1} = 2x_n + y_n (2) [/TEX]

chontengi · 7 Tháng hai 2011

Tìm [TEX]x_n; y_n[/TEX] thỏa mãn :

[TEX]\left{ x_o =2 ; y_o = 0 \\ 4x_{n+1} = 2x_n - 3y_n (1) \\ 2y_{n+1} = 2x_n + y_n (2) [/TEX]

có [TEX]x_{n+1} = x_n + d_1 = x_0 + 2d_1[/TEX] (*)

[TEX]y_{n+1} = y_0 + 2d_2[/TEX](**)

(2) - (1) có

[TEX]2y_{n+1} - 4x_{n+1} = 4y_n [/TEX]
thế (*) và (**) vào

--->[TEX] d_1 = -1[/TEX]

--> [TEX]d_2 = \frac{2}3[/TEX]

--> [TEX]x_n = 1[/TEX]

[TEX]y_n = \frac{2}3[/TEX]

cuong_dolly · 7 Tháng hai 2011

Chém bài 2 :

Từ (1 )

$gif.latex$

Cái này đơn giản rồi :-"

Tới đây phải chuyển sang lượng giác, nhiều bạn vẫn chưa biết mà

duynhan1 · 8 Tháng hai 2011

cuong_dolly said:
Chém bài 2 :

Từ (1 )

$gif.latex$

Cái này đơn giản rồi :-"

Tiếp bài này :

Phương trình đặc trưng :
[TEX]X^2 - X + 1 = 0 \Leftrightarrow X = \frac12 \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i[/TEX]

[TEX]r = (\frac12)^2 + ( \frac{\sqrt{3}}{2} )^2 = 1 [/TEX]

[TEX]tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac12} = \sqrt{3} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3}[/TEX]

Số hạng tổng quát của dãy là :
[TEX]y_n = 1^n (A . cos {\frac{n\pi}{3}} + Bsin {\frac{n\pi}{3}} ) \\ =A . cos {\frac{n\pi}{3}} + Bsin{\frac{n\pi}{3}}[/TEX]

Lại có :
[TEX]\left{ y_o = 0 \\ y_1= 2 \right. \Rightarrow \left{ A = 0 \\ B = \frac{4\sqrt{3}}{3} [/TEX]
Thay vào ta có CTTQ của [TEX]y_n[/TEX] từ đó suy ra CTTQ của [TEX]x_n[/TEX]

silvery21 · 8 Tháng hai 2011

1;Khai triển đa thức:[TEX](1 - 3x)^{20} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{20}}{x^{20}}.[/TEX]

Tính tổng: [TEX]S= \left| {{a_0}} \right| + 2\left| {{a_1}} \right| + 3\left| {{a_2}} \right| + ... + 21\left| {{a_{20}}} \right|[/TEX]

2;Tính tổng:

[TEX]C_{100}^0 - C_{100}^2 + C_{100}^4 - C_{100}^6 + ... - C_{100}^{98} + C_{100}^{100}[/TEX]

duynhana1 · 8 Tháng hai 2011

silvery21 said:
1;Khai triển đa thức:[TEX](1 - 3x)^{20} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{20}}{x^{20}}.[/TEX]

Tính tổng: [TEX]S= \left| {{a_0}} \right| + 2\left| {{a_1}} \right| + 3\left| {{a_2}} \right| + ... + 21\left| {{a_{20}}} \right|[/TEX]

2;Tính tổng:

[TEX]C_{100}^0 - C_{100}^2 + C_{100}^4 - C_{100}^6 + ... - C_{100}^{98} + C_{100}^{100}[/TEX]

Ta có :
[TEX](1 - 3x)^{20} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{20}}{x^{20}}.[/TEX]
Suy ra :
[TEX](1+3x)^{20} ={|a_0|} + {|a_1|}x + {|a_2|}{x^2} + ... + {|a_{20}|}{x^{20}} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x(1+3x)^{20} = {|a_0|}x + {|a_1|}x^2 + {|a_2|}{x^3} + ... + {|a_{20}|}{x^{21}}[/TEX]

Lấy đạo hàm 2 vế :
[TEX](1+3x)^{20} + x.20.3.(1+3x)^{19} ={|a_0|} + 2{|a_1|}x + {3|a_2|}{x^2} + ... + {21|a_{20}|}{x^{20}} [/TEX]
Cho x = 1 ta có :
[TEX]S = 4^{20} + 60.4^{19} = 4^{22} [/TEX]

duynhana1 · 8 Tháng hai 2011

silvery21 said:
2;Tính tổng:
[TEX]S_2 = C_{100}^0 - C_{100}^2 + C_{100}^4 - C_{100}^6 + ... - C_{100}^{98} + C_{100}^{100}[/TEX]

Xét 2 khai triển :
[TEX] (1 - i)^{100} = \sum_{k=1}^{100} C_{100}^k (-i)^k [/TEX]
[TEX](1+i)^{100} = \sum_{k=1}^{100} C_{100}^k (i)^k[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (1-i)^{100} + (1+i)^{100} = 2S_2 [/TEX]

Lại có :
[TEX](1-i)^{100} = (-2i)^{50} = 2^{50}[/TEX]
[TEX](1+i)^{100} = (2i)^{50} = 2^{50} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow S_2 = 2^{50} [/TEX]

Tìm kiếm

Tìm kiếm

Toán [Chuyên đề 4] Tổ hợp, dãy số!!

rua_it

giaosu_fanting_thientai

thesecond_jerusalem

nhocngo976

duynhana1

gayal

duynhana1

nhocngo976

duynhana1

giaosu_fanting_thientai

duynhana1

nhocngo976

minhkhac_94

duynhan1

duynhan1

chontengi

cuong_dolly

duynhan1

silvery21

duynhana1

duynhana1