Toán [Chuyên đề 4] Tổ hợp, dãy số!!

[duynhan1]

Một tập hợp có 100 phần tử.Hỏi có bao nhiêu tập con có nhiều hơn 2 phần tử

Số tập con của tập đó là : [TEX]\huge 2^{100} [/TEX]

Số tập con có 0 phần tử là 1, có 1 phần tử là 100, có 2 phần tử là [TEX]\huge C_{100}^2 [/TEX]

Vậy số tập con thoả mãn đề bài là :
[TEX]\huge 2^{100}- C_{100}^2 - 1 - 100 [/TEX]

Hoàn thành nhiệm vụ

 

[nhocngo976]

Xét tính đơn điệu của dãy số [TEX](1+\frac{1}{n})^n[/TEX]

Mọi ng` làm theo cách học ở lớp 11 cái...mik mới chỉ học bài dãy số, chưa thấm đâu vào đâu cả :-SS

___________________________________

 

[huu_thuong]

tìm giới hạn :

 

[duynhan1]

tìm giới hạn :

TA CÓ :

[TEX]\huge \frac{1}{n(n+1)(n+2) } = \frac12 . \frac{(n+2)-n}{n(n+1)(n+2)} = \frac12( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} ) [/TEX]

Nên suy ra:
[TEX]\huge S = \frac12 . lim ( \frac{1}{1.2} - \frac{1}{2.3} + \frac{1}{2.3} - \frac{1}{3.4} + ...+ \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} ) = \frac12 lim ( \frac12 - \frac{1}{(n+1)(n+2)})=\frac14 [/TEX]

 

[herrycuong_boy94]

next

 

[duynhana1]

next

 

[thesecond_jerusalem]

CM:
[tex]1) \frac{1}{2}C_{2n}^1+\frac{1}{4}C_{2n}^3+\frac{1}{6}C_{2n}^5+.....+\frac{1}{2n}C_{2n}^{2n-1}=\frac{2^{2n} -1}{2n+1}[/tex]

[tex]2) C_n^1+2.\frac{C_n^2}{C_n^1}+3\frac{C_n^3}{C_n^2}+....+n.\frac{C_n^n}{C_n^{n-1}}=C_{n+1}^2[/tex]

[tex]3) C_n^1+2^2.C_n^2+3^2.C_n^3+....+n^2.C_n^n=n.(n+1).2^{n-2}[/tex]

 

[duynhana1]

CM:
[tex]1) \frac{1}{2}C_2n^1+\frac{1}{4}C_2n^3+\frac{1}{6}C_2n^5+.....+\frac{1}{2n}C_2n^2n-1=\frac{2^2n -1}{2n+1}[/tex]

[TEX]\frac{1}{k}C_{2n}^{k-1} = \frac{(2n)!}{k!.(2n-k+1)!} = \frac{1}{2n+1} C_{2n+1}^k [/TEX]

[tex]2) C_n^1+2.\frac{C_n^2}{C_n^1}+3\frac{C_n^3}{C_n^2}+....+n.\frac{C_n^n}{C_n^{n-1}}=C_{n+1}^2[/tex]

[TEX]k.\frac{C_n^k}{C_{n}^{k-1}} = n-k+1[/TEX]

[TEX]\Rightarrow VT = n^2 - \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{n(n+1)}{2} = VP [/TEX]

[tex]3) C_n^1+2^2.C_n^2+3^2.C_n^3+....+n^2.C_n^n=n.(n+1).2^{n-2}[/tex]

Ta có CT sau:
[TEX]\huge k.C_n^k = n . C_{n-1}^{k-1} [/TEX]

Áp dụng :
[TEX]\huge VT = n.( C_{n-1}^0 +2 C_{n-1}^{1} + 3.C_{n-1}^{2}+.....+nC_{n-1}^{n-1}) \\ = n \bigg( (C_{n-1}^0 + C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1})+(C_{n-1}^1+2.C_{n-1}^2+...+nC_{n-1}^{n-1} ) \bigg) \\ =n \bigg( 2^{n-1} + (n-1) . 2^{n-2} \bigg) \\ = n(n+1).2^{n-2}[/TEX]

 

[duynhan1]

[TEX]\huge \left{ u_1 = \frac12 \\ u_{n+1} = u_n^2+2005u_n \\S_n = \frac{u_1}{u_2}+\frac{u_2}{u_3}+...+\frac{u_n}{u_{n+1}} \\ lim \frac{1}{U_n} = 0[/TEX]
[TEX]lim S_n = ??[/TEX]

Từ giả thiết ta suy ra : [TEX]\frac{u_n}{u_{n+1}} = \frac{1}{u_n+2005} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{u_i+2005} [/TEX]

Lại có : [TEX]\frac{1}{u_{n+1}} = \frac{1}{u_n(u_n+2005)} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{2005}{u_{n+1}} = \frac{1}{u_n}- \frac{1}{u_n + 2005} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{u_n +2005} = \frac{1}{u_n} - \frac{2005}{u_{n+1}}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \huge S_n = \frac{1}{u_1} - \frac{2005}{u_2} + \frac{1}{u_2} - \frac{2005}{u_2} +...+\frac{1}{u_n} - \frac{2005}{u_{n+1}} \\ = \frac{2005}{u_1} - 2004 \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{u_i} - \frac{2005}{u_{n+1}}[/TEX]

Lưu tạm bài mai làm tiếp

 

[nhocngo976]

Ta sẽ đi qua dạng mới, và giải bài toán khá nổi tiếng " Dãy số Fibonacci"
Xác định CT tổng quát của dãy số được xác định bởi :
[TEX]\huge \left{ u_0 = 1 \\ u_1 = 1 \\ u_n= u_{n-1} + u_{n-2} \ \ \forall n \ge 2 [/TEX]

Khó hơn )

Xác định CT tổng quát của dãy số được xác định bởi :
[TEX]\huge \left{ u_0 = -1 \\ u_1 = 3 \\ u_n-5.u_{n-1} + 6u_{n-2}= 2n^2 + 2n + 1 \ \ \forall n \ge 2 [/TEX]

bài này chưa giải nè

cụ thể, chi tiết chút nhé :d + pp giải lun đi

_____________________________________

 

[rua_it]

Bạn tham khảo quyển này

 

[lamtrang0708]

Có 7 ô trống trên một hàng, 3 viên bi đỏ phân biệt kích thước, 3 viên bi xanh không phân biệt.
Hỏi: Có bao nhiêu cách xếp 6 viên bi trên vào 7 ô trống (mỗi ô 1 bi) sao cho 3 bi xanh cạnh nhau, 3 bi đỏ cạnh nhau

Gợi ý: Phân 2 TH rồi lấy đối xứng, hoặc có thể phân thẳng 4TH

Từ tập S={0,1,2,3,4,5} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên n sao cho 1010≤n≤2010.

Có 7 ô trống trên một hàng, 3 viên bi đỏ phân biệt kích thước, 3 viên bi xanh không phân biệt.
Hỏi: Có bao nhiêu cách xếp 6 viên bi trên vào 7 ô trống (mỗi ô 1 bi) sao cho 3 bi xanh cạnh nhau, 3 bi đỏ cạnh nhau


Từ tập S={0,1,2,3,4,5} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên n sao cho 1010≤n≤2010.

chia TH đối xứng đc ạh ?
còn bài dưới.................

 

[puu]

chia TH đối xứng đc ạh ?
còn bài dưới.................

bài đầu
coi 3 bi xanh là 1
3 bi đỏ là 1
số cách xếp là [TEX]C_3^2[/TEX]
nhưng vì 3 bi đỏ khác nhau nên trong số các bi đỏ có 3! cách xếp nữa
vậy số cách :[TEX]3!.C_3^2[/TEX]

Bài giải sai ạ !!

 

[nhocngo976]

Có 7 ô trống trên một hàng, 3 viên bi đỏ phân biệt kích thước, 3 viên bi xanh không phân biệt.
Hỏi: Có bao nhiêu cách xếp 6 viên bi trên vào 7 ô trống (mỗi ô 1 bi) sao cho 3 bi xanh cạnh nhau, 3 bi đỏ cạnh nhau
.

[TEX]3!.3![/TEX]cách
---------------------------------------------------

Từ tập S={0,1,2,3,4,5} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên n sao cho 1010≤n≤2010.


.

abcd

*[TEX] 1010[/TEX]\leq[TEX]abcd[/TEX]

- a=1, b=0 \Rightarrow c có 5 cách, d có 6 cách \Rightarrowcó 5.6 số
- a=1, b # 0, b có 5 cách, cd có [TEX]A_6^2[/TEX]cách \Rightarrow [TEX]5.A_6^2[/TEX]
-a={2,3,4,5} \Rightarrow bcd có [TEX]A_6^3[/TEX]cách \Rightarrowcó [TEX]4.A_6^3[/TEX]

\Rightarrow abcd \geq1010 có [TEX]5.6+5.A_6^2+4.A_6^3=660[/TEX]số

*[TEX]abcd > 2010[/TEX]

- a=2, b=0,\Rightarrowc có 4 cách , d có 6 cách \Rightarrowcó 4.6 số
-a=2, b={1,2,3,4,5}, cd có [TEX]A_6^2[/TEX]\Rightarrowcó [TEX]5.A_6^2[/TEX]
-a={3,4,5} , bcd có [TEX]A_6^3[/TEX]\Rightarrowcó [TEX]3.A_6^3[/TEX]

\Rightarrowabcd > 2010 có [TEX]4.6+5A_6^2+3.A_6^3=534[/TEX]số


\Rightarrow1010 \leqn\leq2010 có [TEX]660-534=126[/TEX]số

 

[banhmi_va_keo]

Cho dãy [TEX](a_n): 1, 4, 10, 19, 31,........[/TEX]
Dãy [TEX](b_n): 3, 6, 9, 12, ...............[/TEX]đc tạo thành bằng cách lấy hiệu của 2 số hạng liên tiếp của dãy [TEX](a_n)[/TEX]. Tính[TEX] a_120[/TEX]

 

[minhkhac_94]

Cho dãy [TEX](a_n): 1, 4, 10, 19, 31,........[/TEX]
Dãy [TEX](b_n): 3, 6, 9, 12, ...............[/TEX]đc tạo thành bằng cách lấy hiệu của 2 số hạng liên tiếp của dãy [TEX](a_n)[/TEX]. Tính[TEX] a_{120}[/TEX]

Dễ thấy
[tex]{u_n} - {u_{n - 1}} = 3(n - 1)\\[/tex]
u_n chỉ có thể là bậc 2
[tex]{u_n} = a{n^2} + bn + c\\[/tex]
[tex]{u_n} - {u_{n - 1}} = a{n^2} + bn + c - a{(n - 1)^2} + b(n - 1) + c = 2an - a + b = 3(n - 1),\forall n\\[/tex]
[tex] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\\[/tex]
[tex]\Rightarrow {u_n} = \frac{3}{2}{n^2} - \frac{3}{2}n + c\\[/tex]
[tex]{u_1} = 1 \Rightarrow c = 1\\[/tex]
[tex]Vay:{u_n} = \frac{3}{2}{n^2} - \frac{3}{2}n + 1\\[/tex]
[tex]\Rightarrow {u_{120}} = \frac{3}{2}{.120^2} - \frac{3}{2}.120 + 1 = 21421[/tex]

Cho dãy [TEX](a_n): 1, 4, 10, 19, 31,........[/TEX]
Dãy [TEX](b_n): 3, 6, 9, 12, ...............[/TEX]đc tạo thành bằng cách lấy hiệu của 2 số hạng liên tiếp của dãy [TEX](a_n)[/TEX]. Tính[TEX] a_{120}[/TEX]

Ngoài ra có thể dùng cách này

[tex]{u_n} - {u_{n - 1}} = 3(n - 1)\\[/tex]
[tex] \Leftrightarrow {u_n} + \frac{3}{2}n + \frac{3}{4} = 3[{u_{n - 1}} + \frac{3}{2}(n - 1) + \frac{3}{4}]\\[/tex]
[tex]{a_n} = {u_n} + \frac{3}{2}n + \frac{3}{4} \Rightarrow {a_n} = 3{a_{n - 1}}[/tex]

Từ đó viết được CTTQ

 

[minhkhac_94]

Cho dãy số -5;-3;11;43;99;185;307;471
Hãy tìm quy luật biểu diễn của dãy số và tìm 2 số tiếp theo

 

[duynhan1]

Cho dãy số -5;-3;11;43;99;185;307;471
Hãy tìm quy luật biểu diễn của dãy số và tìm 2 số tiếp theo

[TEX]u_n = n^3 -5n - 1 [/TEX]

Hai số tiếp theo là :

[TEX]\left{ u_9 =... \\ u_{10} = ...[/TEX]

Cho dãy [TEX](a_n): 1, 4, 10, 19, 31,........[/TEX]
Dãy [TEX](b_n): 3, 6, 9, 12, ...............[/TEX]đc tạo thành bằng cách lấy hiệu của 2 số hạng liên tiếp của dãy [TEX](a_n)[/TEX]. Tính[TEX] a_120[/TEX]

[TEX]u_n = u_{n-1} + 3(n-1) [/TEX]

Bài toán tổng quát :
[TEX]\huge u_n = u_{n-1} + f(n)[/TEX]
Ta sẽ đưa về dạng :

[TEX]u_n - g(n) = u_{n-1} - g(n-1)[/TEX]
nên ta sẽ phân tích sao cho [TEX]g(n) - g(n-1) = f(n)[/TEX]

Dễ dàng nhận thấy g(n) là đa thức lớn hơn đa thức [TEX]f(n)[/TEX] một bậc và không có hệ số tự do

Áp dụng vào bài toán cụ thể ở phía trên ta có :
[TEX]g(n) = an^2+bn \\ g(n)-g(n-1) = 3(n-1) \\ \Leftrightarrow a (n^2 - (n-1)^2 ) + b =3(n-1) \\ \Leftrightarrow 2a n - a+b = 3n- 3 \Leftrightarrow \left{ 2a = 3 \\ b-a = -3 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left{ a =\frac32 \\ b = -\frac32[/TEX]
[TEX]u_n - g(n) = u_{n-1}-g(n-1) =....=u_1- g(1) = 1 - 0 = 1 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow u_n = \frac32 n^2 -\frac32 n +1 [/TEX]

Mấy cái đó chẳng qua làm cho có logic toán chứ ta nhận thấy nó có đạng đa thức bậc 2 thì đặt [TEX]u_n = an^2 + bn + c [/TEX] rồi cho n=1;2;3 nhập vào máy tính là ra ngay mà không sợ sai

 

[giaosu_fanting_thientai]

1.a. Cho 2 dãy số [TEX](u_n)[/TEX] và [TEX](v_n)[/TEX]. CM nếu [TEX] lim u_n=0[/TEX] và [TEX]lim v_n=0[/TEX] thì [TEX]lim(u_n+v_n)=0[/TEX]

b. Cho 2 dãy số [TEX](u_n)[/TEX] và [TEX](v_n)[/TEX]. CM nếu [TEX]lim u_n=a[/TEX] và [TEX]limv_n=b[/TEX] thì [TEX]lim(u_n+v_n)=a+b[/TEX]

2. Cho 1 số a>1 và 1 số nguyên dương k. CM [TEX]lim \frac{n^k}{a^n}=0[/TEX]

3.a. Cho dãy[TEX] (u_n)[/TEX]. CMR nếu [TEX]lim u_n=0[/TEX] thì:

[TEX]lim\frac{u_1+u_2+u_3+.......+u_n}{n}=0[/TEX]

b.Cho dãy[TEX] (u_n)[/TEX]. CMR nếu [TEX]lim u_n=m[/TEX] thì:

[TEX]lim\frac{u_1+u_2+u_3+.......+u_n}{n}=m[/TEX]

4. CMR với mọi a>0 thì[TEX] lim\sqrt[n]{a}=1[/TEX]

5. /q/<1 và dãy [TEX](u_n)[/TEX] xác định bởi[TEX] u_n=q+2q^2+...+nq^n[/TEX]
Tìm [TEX]lim u_n[/TEX]

6. Cho dãy số dương [TEX](u_n)[/TEX]. CMR nếu[TEX] lim \sqrt[n]{u_n}=a; a<1 [/TEX]thì [TEX]limu_n=0[/TEX]


Những bài này sử dụng định nghĩa + suy luận logic \Rightarrow hey @};-

 

[giaosu_fanting_thientai]

cho cái pic nì lên

 

[minhkhac_94]

[tex]\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } } = \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt {2 + 2c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}} } } = \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt {2 + 2\cos \frac{\pi }{8}} } } = 2\cos \frac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}\\[/tex]
[tex]\sqrt {2 - \sqrt {2 + ... + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } } = \sqrt {2 - 2\cos \frac{\pi }{{{2^n}}}} = 2\sin \frac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}\\[/tex]
[tex]VT = 2(\cos \frac{\pi }{{{2^{n + 1}}}} + \sin \frac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}) = 2\sqrt 2 c{\rm{os(}}\frac{\pi }{{{2^{n + 1}}}} - \frac{\pi }{4}) = VP[/tex]