Toán [Chuyên đề 4] Tổ hợp, dãy số!!

[longt]

Cho dãy số (Un) xác định bởi [TEX]\left{ u_1 = 1 \\ u_{n+1} = \frac{(n+2).u_n}{2n} \forall n \ge 1[/TEX]
a) Chứng minh:
Un= n(n+1)/2^n , với mọi n>=1

b) Xét tính đơn điệu và bị chặn của dãy số (Un)

 

[duynhan1]

2 bài là 1 nên chỉ làm bài 1 thôi , bài 2 thêm xíu
Ta có :
[TEX]\huge \lim \frac{1}{4^n . sin^2 (\frac{a}{2^n})} = \lim \frac{(\frac{a}{2^n})^2 }{a^2. sin^2 (\frac{a}{2^n})} = \frac{1}{a^2} [/TEX]

[TEX]\huge K + \frac{1}{a^2} = lim ( \sum_{i=1}^n \frac{1}{4^i.cos^2{\frac{a}{2^i}}} +\frac{1}{4^n . sin^2 (\frac{a}{2^n})}) [/TEX]

Và ta để ý rằng :
[TEX]\huge \frac{1}{4^n . sin^2 (\frac{a}{2^n})} + \frac{1}{4^n . cos^2 (\frac{a}{2^n})} = \frac{1}{4^{n-1} . sin^2{\frac{a}{2^n}} } [/TEX]

nên ta có :

[TEX]K + \frac{1}{a^2} = \frac{1}{sin^2 a} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow K = \frac{1}{sin^2 a} - \frac{1}{a^2} [/TEX]

 

[thuyduong_10a1]

Bài tập ôn tập CSC, CSN

bài 1:t/giác ABC có: a, b, c là độ dài các cạnh và thoả : Tan(A/2).Tan(B/2)=1/3
c/m: c=(a+b)/2
bài 2: t/giác ABC có AB= c , BC=b , AC=a. thoả mãn: b+c=2a.
cmr: 2SinA = SinB + SinC
bài 3: t/giác ABC nếu : Cot A, Cot B, Cot C lập thành CSC thì [tex]a^2, b^2, c^2[/tex] lập thành CSC.
bài 4: t/g ABC nội tiếp đường tròn bk =1. A, B, C là các góc , a,b,c là các cạnh . Biết A,B,C lập thành CSN, công bội =2. Tính tổng [tex]( a^2 + b^2 + c^2)[/tex].
bài 5: t/giác ABC có [tex] Sin^2.B + Sin^2.C = 2 Sin^2.A[/tex]
cmr A\leq 60

 

[ngomaithuy93]

bài 3: t/giác ABC nếu : Cot A, Cot B, Cot C lập thành CSC thì [tex]a^2, b^2, c^2[/tex] lập thành CSC.

[TEX]cotA=\frac{b^2+c^2-a^2}{abc}.R[/TEX]
[TEX]cotB=\frac{a^2+c^2-b^2}{abc}.R[/TEX]
[TEX]cotC=\frac{a^2+b^2-c^2}{abc}.R[/TEX]
cotA, cot B, cot C theo thứ tự lập CSC nên:
[TEX] (\frac{b^2+c^2-a^2}{abc}+\frac{a^2+b^2-c^2}{abc}).R=2R\frac{a^2+c^2-b^2}{abc} \Leftrightarrow a^2+c^2=b^2 (dpcm)[/TEX]

bài 2: t/giác ABC có AB= c , BC=b , AC=a. thoả mãn: b+c=2a.
cmr: 2SinA = SinB + SinC

[TEX]b+c=2a \Leftrightarrow 2RsinB+2RsinC=2.2RsinA \Leftrightarrow sinB+sinC=2sinA (dpcm)[/TEX]

 

[duynhan1]

bài 1:t/giác ABC có: a, b, c là độ dài các cạnh và thoả : Tan(A/2).Tan(B/2)=1/3
c/m: c=(a+b)/2

[TEX](gt) \Leftrightarrow 3 sin {\frac{A}{2}} . sin {\frac{B}{2}} = cos {\frac{A}{2}} . cos {\frac{B}{2}} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2 sin {\frac{A}{2}} . sin {\frac{B}{2}} = cos {\frac{A}{2}} . cos {\frac{B}{2}} - sin {\frac{A}{2}}.sin {\frac{B}{2}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow cos {\frac{A-B}{2}} - cos {\frac{A+B}{2}} = cos {\frac{A+B}{2}} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2 sin {\frac{C}{2}} = cos {\frac{A-B}{2}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2 sin{\frac{C}{2}}. 2cos{\frac{C}{2}} = 2cos {\frac{A-B}{2}}.sin {\frac{A+B}{2}}.[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2 sin C = sin A + sin B[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2c = a+b[/TEX]

bài 2: t/giác ABC có AB= c , BC=b , AC=a. thoả mãn: b+c=2a.
cmr: 2SinA = SinB + SinC

Chia giả thiết cho 2R ta có điều phải chứng minh.

bài 3: t/giác ABC nếu : Cot A, Cot B, Cot C lập thành CSC thì [tex]a^2, b^2, c^2[/tex] lập thành CSC.

[TEX]cot A + cot C = 2 cot B [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{sin B}{ sin A . sin C} = \frac{2 cos B}{sin B} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin^2 B = 2 cos B . sin A . sin C [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin^2 B = cos(A+C) ( -2 sin A . sin C)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2 sin^2 B = 2 cos (A+C) . ( cos(A+C) -cos (A-C) ) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2 sin^2 B = 2 cos^2 B - cos 2A - cos 2C [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 4 sin^2 B = ( 1 - cos 2A) + ( 1- cos 2C)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2 sin^2 B = sin^2A + sin^2C[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2b^2 = a^2 + c^2[/TEX]

bài 4: t/g ABC nội tiếp đường tròn bk =1. A, B, C là các góc , a,b,c là các cạnh . Biết A,B,C lập thành CSN, công bội =2. Tính tổng [tex]( a^2 + b^2 + c^2)[/tex].

[TEX]\left{ A = \frac{\pi}{7} \\ B = \frac{2\pi}{7} \\ C = \frac{4\pi}{7}[/TEX]

[TEX]a^2 + b^2 + c^2 \\ = 4R^2 ( sin^2 A + sin^2B + sin^2 C) \\ = 4 ( sin^2 A+ sin^2 B + sin^2C) \\ = 2 ( 2 sin^2 B + 2 + 2 . cos B . cos(A-C) ) \\ = 2 . ( 4 + 2 cos B ( cos(A-C) - cos B) ) \\ = 2.( 4 + 4 . cosB. cos A . cos C) [/TEX]

Mà : [TEX]\Large cos A . cos B . cos C = cos {\frac{\pi}{7}}.cos {\frac{2\pi}{7}}.cos {\frac{4\pi}{7}} = \frac{8 sin {\frac{\pi}{7}} . cos {\frac{\pi}{7}}.cos {\frac{2\pi}{7}}.cos {\frac{4\pi}{7}}}{8 sin {\frac{\pi}{7}}} = \frac{ sin {\frac{8 \pi}{7}}}{8 sin {\frac{\pi}{7}} }= -\frac18[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 = 2. ( 4 - \frac12) = 7 [/TEX]

Cách làm là vậy, còn đs thì

bài 5: t/giác ABC có [tex] Sin^2.B + Sin^2.C = 2 Sin^2.A[/tex]
cmr A\leq 60

[TEX](gt) \Leftrightarrow1 - 2 sin^2 A = cos(B+C) . cos(B-C) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2 cos^2 A - 1 = - cos A . cos(B-C) \ge -|cos A| [/TEX]

[TEX] \Rightarrow2 cos^2 A + | cos A| - 1 \ge 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ( 2 | cos A | - 1)( | cos A | + 1 ) \ge 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow | cos A | \ge \frac12 [/TEX]

Hình như đề thiếu dữ kiện tam giác nhọn

 

[duynhan1]

Cho dãy số (Un) xác định bởi [TEX]\left{ u_1 = 1 \\ u_{n+1} = \frac{(n+2).u_n}{2n} \forall n \ge 1[/TEX]
a) Chứng minh:
Un= n(n+1)/2^n , với mọi n>=1

b) Xét tính đơn điệu và bị chặn của dãy số (Un)

a) Ct đã cho đúng với n=2. Giả sử đúng với n=k.
Ta cần chứng minh nó đúng với n=k+1

[TEX]U_{k+2} = \frac{(k+3).U_{k+1}}{2(k+1)} = \frac{(k+3) . (k+1)(k+2)}{2^{k+1} . 2.(k+1)} = \frac{(k+2)(k+3)}{2^{k+2}}[/TEX]
Vậy Ct đúng [TEX]\forall n \in N, n \ge 2[/TEX]

b) [TEX]\frac{U_n}{U_{n+1}} = \frac{2.n(n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{2n}{n+2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \left{ U_n \le U_{n+1} \ \ \text{khi } \ n \le 2 \\ U_{n} > U_{n+1} \ \ \text{khi } \ n > 2[/TEX]

Vậy dãy số không tăng không giảm.

Từ nhận định trên ta có :
[TEX]U_n \le U_2 = \frac{2.3}{2^2} = \frac32[/TEX]

[TEX]\Rightarrow[/TEX] Dãy bị chặn trên.

TA có với mọi số hạng của dãy đều là số dương, nên dãy bị chặn dưới

\Rightarrow Dãy bị chặn.

 

[silvery21]

cminh


[TEX]{\left( {C_{2009}^0} \right)^2} - {\left( {C_{2009}^1} \right)^2} + {\left( {C_{2009}^2} \right)^2} - ... - {\left( {C_{2009}^{2009}} \right)^2} = 0[/TEX]

 

[duynhan1]

cminh


[TEX]{\left( {C_{2009}^0} \right)^2} - {\left( {C_{2009}^1} \right)^2} + {\left( {C_{2009}^2} \right)^2} - ... - {\left( {C_{2009}^{2009}} \right)^2} = 0[/TEX]

[TEX]\left( {C_{2009}^0} \right)^2+\left( {C_{2009}^2} \right)^2+....+ \left( {C_{2009}^{2008}} \right)^2 = {\left( {C_{2009}^{2009}} \right)^2} + {\left( {C_{2009}^{2007}} \right)^2}+....+(C_{2009}^1 )^2[/TEX]

Hiển nhiên đúng vì : [TEX]C_n^k = C_n^{n-k}[/TEX]

 

[duynhana1]

Cho dãy số được xác định như sau :
[TEX]\left{ u_1 = 2 \\ n^2.u_n = \sum_{i=1}^{n}u_i [/TEX]

Tính :
[TEX]S = \sum_{i=1}^{2011} u_i[/TEX]

 

[duynhan1]

Cho dãy số được xác định như sau :
[TEX]\left{ u_1 = 2 \\ n^2.u_n = \sum_{i=1}^{n}u_i [/TEX]

Tính :
[TEX]S = \sum_{i=1}^{2011} u_i[/TEX]

Tự xử vậy!!
[TEX]\Large (n+1)^2 u_{n+1} - n^2.u_n= u_{n+1} \\ \Leftrightarrow (n+2) u_{n+1} = n.u_n \\ \Leftrightarrow (n+2)(n+1) u_{n+1} = (n+1)n.u_n =...= 2.1.u_1 =4 \\ \Rightarrow u_n = \frac{4}{n(n+1)} = 4( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) \\ \Rightarrow S = 4( 1 - \frac{1}{2012} ) = \frac{2011}{503}[/TEX]



Khó hơn xíu :
---> Tương tự bài trên nhưng tính :[TEX]\blue \huge S = \sum_{i=1}^{2011}\frac{1}{u_i}[/TEX]

 

[utit_9x]

1, Tìm số hạng tổng quát của dãy:
[TEX]\left\{\begin{matrix} U_{1}=1;{U}_{2}=2\\ {U}_{n+1}=\frac{{U}_{n}+{U}_{n-1}}{2}(n\geq 2)\end{matrix}\right.[/TEX]


[TEX]2,Cho: {U}_{1},{U}_{2},...,{U}_{n}>0[/TEX] lập thành một cấp số cộng:
CM:
[TEX]\frac{1}{\sqrt{{U}_{1}}+\sqrt{{U}_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{{U}_{2}}+\sqrt{{U}_{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{{U}_{n-1}}+\sqrt{{U}_{n}}}=\frac{n-1}{\sqrt{{U}_{1}}+\sqrt{{U}_{n}}}[/TEX]

 

[nhocngo976]

1

[TEX]2,Cho: {U}_{1},{U}_{2},...,{U}_{n}>0[/TEX] lập thành một cấp số cộng:
CM:
[TEX]\frac{1}{\sqrt{{U}_{1}}+\sqrt{{U}_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{{U}_{2}}+\sqrt{{U}_{3}}}+...+\frac{1}{\sqrt{{U}_{n-1}}+\sqrt{{U}_{n}}}=\frac{U-1}{\sqrt{{U}_{1}}+\sqrt{{U}_{n}}}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{\sqrt{u_1}+\sqrt{u_2}}=\ frac{\sqrt{u_1}-\sqrt{u_2}}{u_1-u_2}= \frac{\sqrt{u_2}-\sqrt{u_1}}{d}[/TEX]

[TEX]\frac{1}{\sqrt{u_2}+\sqrt{u_3}}=\frac{\sqrt{u_3}-\sqrt{u_2}}{d}[/TEX]

....[TEX]\frac{1}{\sqrt{u_{n-1}}+\sqrt{u_n}}= \frac {\sqrt{u_n}-\sqrt{u_{n-1}}}{d}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]VT= \frac{\sqrt{u_n}-\sqrt{u_1}}{d}=\frac{u_n-u_1}{d(\sqrt{u_n}+\sqrt{u_1})}=\frac{(n-1)d}{d(\sqrt{u_n}+\sqrt{u_1}}=\frac{n-1}{\sqrt{u_1}+\sqrt{u_n}}[/TEX][TEX][/TEX][TEX][/TEX]

 

[tungcon_94]

1, Tìm số hạng tổng quát của dãy:
[TEX]\left\{\begin{matrix} U_{1}=1;{U}_{2}=2\\ {U}_{n+1}=\frac{{U}_{n}+{U}_{n-1}}{2}(n\geq 2)\end{matrix}\right.[/TEX]

[TEX] 2{U}_{n+1}-{U}_{n}-{U}_{n-1}=0[/TEX]ptđt [TEX] 2x^2-x-1=0 x=1 , x=0.5 {U}_{n}=C_1.1^n + C_2 . {0,5}^n[/TEX]
thay U_1 và U_2 vào giải hệ là xong

 

[lamtrang0708]

Trong kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2011. Trường A có 5 học sinh gồm 3 nam và 2 nữ cùng đậu vào khoa X của một trường đại học. Số học sinh này được chia ngẫu nhiên thành 4 lớp. Tính xác suất để có một lớp có đúng 2 nam và 1 nữ ?

 

[duynhana1]

Trong kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2011. Trường A có 5 học sinh gồm 3 nam và 2 nữ cùng đậu vào khoa X của một trường đại học. Số học sinh này được chia ngẫu nhiên thành 4 lớp. Tính xác suất để có một lớp có đúng 2 nam và 1 nữ ?

3 nam nên chỉ có thể xảy ra 1 lớp có đúng 2 nam 1 nữ.

[TEX]C_1^4 . C_2^3 .C_1^2 . 3.3= 216[/TEX]

Xác suất : [tex]\frac{216}{4^5} = \frac{27}{128} [/tex]

Nghi ngờ )

 

[nguyenanhvu07k]

Bài 1:
Cho các chữ số : 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập đc bao nhiu số có 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5 từ các chữ số trên .
Bài 2:
Cho các chữ số : 0,1,2,3,4,5,6,7 .Có thể lập đc bao nhiu số có 5 chữ số khác nhau và phải có mặt 2 chữ số 1 và 7

Bài này mình giải ra có nhìu đáp án wá ko bik cái nào đúng ai pro giải hộ cái )

 

[xlovemathx]

Anh duynhan1 ơi giảng cho em cách làm bài này với !

Chứng minh : [TEX]C_r^{0}C_q^p + C_r^{1}.C_q^{p-1}+...+ C_r^{p}C_q^0 = C_{r+q}^p[/TEX]

 

[duynhan1]

Anh duynhan1 ơi giảng cho em cách làm bài này với !

Chứng minh : [TEX]C_r^{0}C_q^p + C_r^{1}.C_q^{p-1}+...+ C_r^{p}C_q^0 = C_{r+q}^p[/TEX]

Công thức đúng trong TH :
[TEX]p \le min \{ q;r \}[/TEX]
Cách 1: Đồng nhất hệ số.
Xét khai triển :
[TEX]\Rightarrow (1+x)^r.(1+x)^q =(C_r^0+C_r^1x+C_r^2x^2+...+C_r^rx^r) (C_q^0+C_q^1x+...+C_q^qx^q) [/TEX]

Tổng hệ số của [TEX]x^p[/TEX] trong khai triển trên chính là VT.

Lại xét khai triển :
[TEX](1+x)^{q+r} = ...[/TEX]

Hệ số của [TEX]x^p[/TEX] trong khai triển trên chính là VP.

Đồng nhất hệ số của [TEX]x^p[/TEX] trong 2 khai triển ta có điều phải chứng minh.
Cách 2: Phương pháp đếm 2 lần.

Xét 1 rổ quả gồm [TEX]r+q[/TEX] quả giống nhau.
Số cách lấy p quả từ rổ quả trên là : [TEX]C_{r+q}^p[/TEX] cách.

Chia rổ quả trên thành 2 phần: Phần 1 có r quả, phần 2 có q quả.
Để lấy p quả ta lấy k quả từ rổ 1, sau đó lấy p-k quả từ rổ 2
Suy ra số cách lấy p quả từ 2 phần trên là :
[TEX]C_r^0.C_q^p + C_r^1.C_q^{p-1} +...+C_r^p.C_q^0[/TEX]

Do 2 cách lấy như nhau nên ta có điều phải chứng minh!

 

[chiro006]

1, cho hình vuông ABCD. Trên 4 cạnh AB,BC,CD,DA lần lượt lấy 3điểm, 4điểm, 9 điểm, 10 điểm phân biệt không trùng với 4 đỉnh. Tìm số tam giác có 3 đỉnh dc lấy từ 26 điểm đã cho

2. Có 9 viên bi xanh, 5 đỏ, 4 vàng kích thước đôi 1 khác nhau.
Có ? cách chọn 6 viên sao cho có đúng 2 viên bi đỏ
CÓ? cách chọn 6 viên sao cho số bi xanh = số bi đỏ

3. Từ A= {0,1,...,9}
Số có 6 chữ số đôi 1 khác nhau và số lập được luôn > 537689

 

[thuwshai]

Tính tổng :

cái này có = [TEX] (1+a)^n[/TEX] không nhỉ
......................................................................